Esercizio: pendolo sferico. Soluzione

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1 Esercizio: pendolo sferico Si consideri un punto materiale di massa m vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie di una sfera di raggio R e soggetto alla forza di gravita. Ridurre il moto alle quadrature e discutere l andamento qualitativo delle soluzioni. Scrivere inoltre la reazione vincolare in funzione delle coordinate e dei dati iniziali. Soluzione Il sistema ha due gradi di liberta e lo spazio delle configurazioni e S 2 (superficie sferica di raggio uno in R 3 ). Fissiamo un sistema di riferimento con origine nel centro della sfera e asse z orientato in verso opposto alla gravita (cfr. fig. 1). Siano (r, θ, φ) le corrispondenti coordinate sferiche. L equazione del vincolo e allora semplicemente r = R. E inoltre naturale scegliere come coordinate lagrangiane del punto vincolato P la coppia (θ, φ), θ (0, π), φ [0, 2π). Si osservi che abbiamo escluso gli estremi 0, π dell intervallo di variabilita di θ, corrispondenti al caso in cui P si trovi in uno dei due poli della sfera. Questo perche nei poli la coordinata φ non e definita. In altri termini le coordinate (θ, φ) non possono essere usate come coordinate lagrangiane per descrivere il moto di P quando P passa per uno dei poli. In tali situazioni dovremo usare altre coordinate lagrangiane non singolari ai poli, come ad esempio le coordinate cartesiane (x, y) di P. Le coordinate cartesiane di P in funzione delle coordinate lagrangiane scelte (θ, φ) si scrivono x = R sin θ cos φ y = R sin θ sin φ z = R cos θ (1) Quindi per le componenti della velocita si ha ẋ = R cos θ θ cos φ R sin θ sin φ φ ẏ = R cos θ θ sin φ + R sin θ cos φ φ ż = R sin θ θ (2)

2 Dalle (2) si ricava l energia cinetica di P in funzione di (θ, φ) T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) = 1 2 mr2 ( θ 2 + sin 2 θ φ 2 ) L energia potenziale corrispondente alla forza peso, che e l unica forza attiva, si scrive U(z) U(0) = z 0 ( mg)dξ = mgz Posto U(0) = 0 e facendo uso di (1) si ha U(θ) = mgr cos θ. La lagrangiana del sistema e allora L = T U = 1 2 mr2 ( θ 2 + sin 2 θ φ 2 ) mgr cos θ (3) La lagrangiana (3) e naturalmente ben definita fuori dai poli θ = 0, π. equazioni di Lagrange sono Le corrispondenti mr 2 θ = mr 2 sin θ cos θ φ 2 + mgr sin θ (4) d dt (mr2 sin 2 θ φ) = 0 (5) Vogliamo ora studiare i punti di equilibrio e la loro stabilita. Siccome l energia potenziale per θ 0, π si scrive U(θ) = mgr cos θ e quindi U = mgr sin θ, θ U = 0, risulta che al di fuori dei poli non ci sono posizioni di equilibrio. φ In un intorno del polo nord (θ = 0), usando le coordinate cartesiane x, y di P, il vincolo si scrive cosicche l energia potenziale e Risulta allora z = R 2 x 2 y 2 (6) U 1 (x, y) = mg R 2 x 2 y 2 (7) U 1 x = mgx U 1 R2 x 2 y 2 y = mgy R2 x 2 y 2 (8) 2 U 1 x = mg R 2 y 2 2 U 1 2 (R 2 x 2 y 2 ) 3/2 y = mg R 2 x 2 2 (R 2 x 2 y 2 ) 3/2 (9) 2 U 1 x y = mg xy (R 2 x 2 y 2 ) 3/2 (10)

3 Da (8)(9)(10) si ricava subito che il polo nord e un equilibrio instabile. Procedendo in modo analogo, in un intorno del polo sud (θ = π) il vincolo si scrive e l energia potenziale e z = R 2 x 2 y 2 (11) U 2 (x, y) = mg R 2 x 2 y 2 (12) E quindi facile verificare che il polo sud e un equilibrio stabile. Vogliamo ora ridurre il moto di P alle quadrature facendo uso degli integrali primi. Siccome la lagrangiana non dipende dal tempo si conserva l energia. Inoltre la variabile φ e ciclica e quindi il corrispondente momento cinetico si conserva, come risulta dalla equazione (5). Abbiamo cosi i due integrali primi E = 1 2 mr2 ( θ 2 + sin 2 θ φ 2 ) + mgr cos θ (13) p φ = mr 2 sin 2 θ φ (14) Si osservi che p φ e la componente z del momento angolare L z m(xẏ yẋ) = mr 2 sin 2 θ φ. La sua conservazione, per il teorema di Noether, e diretta conseguenza dell invarianza del sistema per rotazioni intorno all asse z. Ricavando φ da (14) e sostituendo in (13) si ha E = 1 2 mr2 θ2 + 2mR 2 sin 2 + mgr cos θ (15) θ La (15) esprime la conservazione dell energia per un punto materiale che si muove sull intervallo (0, π) con una energia potenziale p 2 φ V eff = 2mR 2 sin 2 + mgr cos θ (16) θ Procedendo come nei problemi unidimensionali, la (15) puo essere integrata e si puo ricavare, a meno di quadrature, θ(t). Sostituendo poi θ(t) in (14) e integrando si puo ricavare φ(t). La determinazione del moto e cosi ridotta a quadrature. Naturalmente la soluzione sara prolungabile fino al primo istante t 1 in cui θ(t 1 ) = 0 o π. Passiamo ora all analisi qualitativa del moto di P. E evidente che l andamento di V eff e molto diverso nei casi p φ = 0, p φ 0. Distinguiamo allora i due casi. p 2 φ

4 a) p φ = 0 Il moto avviene lungo un cerchio massimo passante per i poli e coincide quindi con il moto di un pendolo semplice (verificare, facendo attenzione alle coordinate che si usano quando P passa per i poli). b) p φ 0 In questo caso le coordinate θ, φ sono sempre adeguate a descrivere il moto perche V eff e tale da impedire a P di passare per i poli. Risulta infatti che V eff e regolare in (0, π) e diverge positivamente agli estremi dell intervallo. Inoltre V eff(θ) = p2 φ sin θ cos θ mr 2 sin 4 mgr sin θ (17) θ I punti critici di V eff sono quindi le soluzioni dell equazione p2 φ sin 4 θ = cos θ (18) m 2 gr3 La (18) ha una sola soluzione θ ( π, π) (cfr. fig. 2) e quindi V 2 eff ha un unico minimo in θ. In figura 3 e mostrato l andamento qualitativo del grafico di V eff. Se risulta E = V eff ( θ) allora si ha θ(t) = θ p e, sostituendo in (14), φ(t) = φ mr 2 sin 2 θ t + φ 0. Il moto di P e allora circolare uniforme. L orbita e il parallelo θ = θ e il periodo e T = 2πmR 2 sin 2 θ p φ. E facile determinare le condizioni iniziali θ 0, θ 0, φ 0, φ 0 per cui si ha una soluzione periodica di questo tipo. Siccome la soluzione deve essere della forma θ(t) = θ 0, φ(t) = φ 0 t + φ 0 (19) allora deve essere anzitutto θ 0 = 0. Inoltre deve essere soddisfatta la condizione (18), tenendo conto che p φ = mr 2 sin 2 θ 0 φ0. Imponendo che valga la (18) si ottiene la relazione 1 + R g cos θ 0 φ 2 0 = 0 (20) La (20) e θ 0 = 0 sono le condizioni sui dati da imporre per avere la soluzione richiesta. Si noti che φ 0 puo essere arbitrario, come e naturale aspettarsi per la simmetria del problema. Si verifichi che si ottiene lo stesso risultato imponendo che le (19) siano soluzione delle equazioni di Lagrange. Consideriamo ora il caso in cui E > V eff ( θ). Il moto nella variabile θ e periodico, con estremi di oscillazione θ 1, θ 2, con θ 1 < θ 2, che si ottengono come soluzioni dell equazione E = V eff (θ). Risulta inoltre θ 2 > π. 2

5 Il periodo di tale moto periodico e θ2 T θ = 2 θ 1 dθ 2 (E V mr 2 eff (θ)) Il moto di P risultera allora compreso fra i due paralleli θ = θ 1, θ = θ 2. Dalla (14) risulta che φ ha segno costante, cosicche P gira sempre nello stesso verso intorno all asse z. L equazione dell orbita di P si ottiene da dφ dθ = dφ dt dt dθ = p φ mr 2 sin 2 θ 1 2 (E V mr 2 eff (θ)) In generale l orbita di P non e chiusa. Calcoliamo allora l angolo di precessione φ, definito come l angolo φ spazzato dal raggio vettore di P in una oscillazione completa dell angolo θ θ2 φ = 2 θ 1 dθ 2mR sin 2 θ E V eff (θ) L orbita di P e chiusa, e quindi il moto e periodico, se e solo se esistono due numeri interi m, n tali che φ = 2π m n. Passiamo infine a studiare la reazione vincolare su P. Le equazioni di Newton-D Alembert per il moto di P sono p φ (21) (22) (23) ẍ = g + λ G m (24) G x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0 (25) Derivando due volte rispetto al tempo l equazione del vincolo (25) si ha d 2 G dt 2 = v2 + x ẍ = 0 (26) dove si e posto v = ẋ. Sostituendo (24) in (26) si ha v 2 + x g + λ m x G = 0 (27) Dalla (27) si puo ricavare λ, e quindi la reazione vincolare, in funzione di posizione e velocita di P. Usando poi la conservazione dell energia si puo eliminare v 2 dalla (27). Si ha cosi

6 3mg cos θ λ = E (28) 2R R 2 La (28) fornisce la reazione vincolare in funzione dei dati iniziali (attraverso E) e della coordinata θ di P. Nel caso particolare delle traiettorie periodiche trovate precedentemente λ sara costante lungo ciascuna traiettoria.

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