Dipartimento di Fisica a.a. 2003/2004 Fisica Medica 2 Indici statistici 22/4/2005

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1 Dipartimento di Fisica a.a. 23/24 Fisica Medica 2 Indici statistici 22/4/25

2 Ricerca statistica La ricerca può essere deduttiva (data una legge teorica nota cerco verifica tramite più misure) ovvero induttiva (partendo dai dati sperimentali cerco di determinare una legge generale) La finalità può essere descrittiva: (osservazione di un campione estratto da una popolazione o di tutta la popolazione) analisi demoscopica ovvero comparativa (confronto tra campioni o situazioni diverse) confronto tra due farmaci oppure longitudinale (esame di un campione nel tempo) follow-up di un evento clinico

3 Concetto di misura I differenti fenomeni (fisici) vengono osservati e rappresentati da leggi e relazioni matematiche che contemplano quantità osservabili Un osservabile può essere oggetto di una operazione di misura Una misura è il risultato di procedure che permettono di identificare un carattere con un valore numerico o con un attributo Esistono caratteri che rimangono costanti nel tempo (ad es. sesso, luogo e data di nascita, gruppo sanguigno) ed altri che variano nel tempo (ad es. età, peso, altezza, stato civile)

4 Scala nominale Scala nominale o categorica si usa per misure qualitative di una categoria L attribuzione ad una categoria deve seguire precise norme per escludere l inserimento in un altra (comune di nascita) La situazione più semplice è la classificazione in due categorie mutuamente escludentesi (sesso) Ad ogni categoria può essere associato un numero di riferimento allo scopo di identificare il gruppo univocamente: maschio (M) = 1, femmina (F) = 2 nessuna indicazione sulla importanza relativa o come espressione (misura) di grandezza!

5 Esempio 1 Nella misura dello stato civile che osservabili si presentano? celibe/nubile, coniugato/a, separato/a, divorziato/a, vedovo/a Tutte queste osservabili sono dicotomiche dato che possono assumere solo due valori (binari) opposti tra loro

6 Scala ordinale Scala ordinale o per ranghi si usa per misure semiqualitative Ogni osservazione si identifica come valore di una categoria che segue un ordine gerarchico (graduazione di una patologia:,, +, ++, +++) classificazione con criterio maggiore/minore Non esistendo un unità di misura, gli intervalli tra le diverse classificazioni non hanno nessun significato dal punto di vista matematico Scala Mercalli: non è vero che un terremoto di magnitudo 6 = 2 terremoti di magnitudo 3!

7 Scala quantitativa Scale quantitative risultato di misure fisiche E ora possibile valutare se due misure sono diverse, qual è la maggiore e (in opportune unità) l entità della loro differenza Si definiscono intervallari o di rapporto a seconda che esista uno zero assoluto (ossia il punto di origine del conteggio) Le misure di peso, lunghezza, velocità usano, ad esempio, scale di rapporto ed anche la temperatura quando viene espressa nel Sistema Internazionale ( K = o C)

8 Scala di rapporto Esistendo intervalli ben definiti è ora possibile raggruppare i dati in gruppi (pur subendo una perdita di informazione) Età studentesca suddivisa ad intervalli di 5 anni Si può inoltre passare facilmente da una scala quantitativa ad una ordinale (mentre l opposto non è possibile!) Età studentesca suddivisa tra maggiorenni e minorenni

9 Esempio 2 E possibile esprimere le seguenti informazioni di età: 25, 9, 7, 1, 5, 11, 27, 2, 17, 16, 19, 35 in una scala nominale? Maggiorenni: 5 ( 25, 27, 2, 19, 35) Minorenni: 7 ( 9, 7, 1, 5, 11, 17, 16) Età pari: 3 ( 1, 2, 16) Età dispari: 9 ( 25, 9, 7, 5, 11, 27, 17, 19, 35) Queste operazioni provocano però una perdita di informazione!

10 Raggruppamenti Sia data l altezza (in cm) di un gruppo di persone presentazione dei dati in forma più leggibile Spoglio N TOT = = 51

11 Tabelle cm n % cm n % cm n % cm n % Certo ora è un po meglio! si possono dare le percentuali v % = n / N TOT = 1 % ma un disegno (plot), forse, sarebbe più chiaro

12 Istogramma Presentano i dati in forma più immediata (Grafico a barre) Poco chiaro! si può però apprezzare il range dei valori

13 Diagramma (Grafico a punti) Dati ancora confusi Occorre compattare i dati in classi (vedi spoglio) perdendo però dell informazione!

14 Numero eventi Istogrammi 3D < >18 Classi di altezza (cm) Cominciamo ad esserci (il 3D è un sovrappiù)! I dati sono presentati in modo chiaro anche se manca un elemento fondamentale: gli assi devono sempre essere indicati!

15 Areogrammi Molto utilizzati dai giornali Scientifico!? 29% 29% 14% 8% 8% <16 cm 8% 14% 8% 14% 14% cm cm 27% cm 27% cm >18 cm Diagramma a torta visualizzazione immediata e spettacolare

16 Indici di tendenza centrale Tabelle di dati e rappresentazioni grafiche sono notevoli strumenti di divulgazione ma non sintesi dell informazione Scopo della statistica è quello di evidenziare determinate situazioni ricavandole da un collettivo di misure Operiamo quindi una scelta di un indice che possa meglio rappresentare in modo obiettivo una massa di informazioni Poiché una sintesi comporta una perdita d informazione occorre privilegiare l indice che minimizza questa perdita

17 Range Il range è dato dalla differenza del valore massimo e del valore minimo della serie dei dati R = x MAX x min estimatore può essere R m (punto medio) ma tiene conto, solo di due tra tutte le N osservazioni R m = (x MAX +x min )/

18 Medie analitiche La media (aritmetica semplice) le considera tutte m = x i / N i = 1, N La medie pesata (o ponderata) utilizza la frequenza f i di ciascuna osservazione m = f i x i / f i i = 1, N ovvero la frequenza relativa w i = f i / N (peso) poiché f i = N m = w i x i i = 1, N

19 Moda La media non può essere utilizzata in presenza di misure con ordini di grandezza molto diversi Viene quindi utilizzata la moda ossia l indicazione del gruppo più numeroso (quello con frequenza maggiore) ovvero più alla moda Vi possono essere più valori di moda: Distribuzioni monomodali e plurimodali Altezze

20 Mediana La mediana, indicata per misure almeno ordinali, indica il valore centrale delle osservazioni dividendole in due parti uguali Alte zze In questo caso il valore è unico e può essere un numero intero o un numero frazionario mediana Il valore 169 cm divide i dati in due parti (24 inferiori e 23 superiori)

21 Quantili In analogia alla mediana vi sono valori che dividono in modo preordinato una serie di dati I quartili (Q 1,Q 2, Q 3, Q 4 ) la dividono in 4 parti I decili (D 1,D 2,.. D 1 ) in 1 parti I percentili (P 1,P 2,.. P 1 ) in 1 parti La mediana, Q 2, D 5, P 5 sono coicidenti Q 1 < 25% mediana 25% media 25% Q 3 > 75% IQR = Q 3 -Q 1 = 5%

22 Indici di dispersione Due distribuzioni possono avere stessa media, moda e mediana ma essere del tutto differenti a causa della dispersione dei dati Il più elementare indice di dispersione è l intervallo di variazione, ossia il range Scarto di ogni misura rispetto alla media ε i = x i m ε i = Devianza δ = (x i m) 2

23 Varianza La devianza non tiene conto del numero di dati Per inserire questa dipendenza: varianza s 2 = (x i m) 2 / N Ovvero la varianza corretta s 2 = (x i m) 2 / (N 1) ove ν = N 1 sono osservazioni indipendenti conoscendo N 1 variabili e la varianza possiamo univocamente determinare la N esima variabile che ha permesso di calcolare la varianza stessa

24 Deviazione standard La variabilità di una distribuzione può essere espressa da un indice di tendenza centrale e da un indice di dispersione (stesse unità di misura) Deviazione standard (o scarto quadratico medio) s = s 2 = [ (x i m) 2 / (N 1) ] dispersione media di una serie di dati Errore standard o deviazione standard della media s m = s / N errore non sui singoli dati ma sulla loro media!