a.a. 2005/2006 Laurea Specialistica in Fisica Corso di Fisica Medica 1 Dinamica dei fluidi 7/3/2006

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1 a.a. 2005/2006 Laurea Specialistica in Fisica Corso di Fisica Medica 1 Dinamica dei fluidi 7/3/2006

2 Fluido in moto Difficile da calcolare: modelli matematici! la forma più semplice è il moto laminare scorrimento degli strati del fluido a contatto con la superficie ogni strato trascina gli strati sottostanti superficie fondo d A v forza che agisce sul fluido F v = η A v / d η costante caratteristica del fluido detta viscosità

3 Viscosità La viscosità è la misura della forza necessaria per far scorrere gli strati l uno sull altro F v = η A v / d fluidi newtoniani o fluidi veri η = F d /A v L unità di viscosità è il poiseuille (PI) 1 PI = N s / m 2 utilizzato ancora il poise (P, cgs) 1 P = 1/10 Pi valore elevato di η corrisponde ad alta viscosità (acqua minore di olio oppure melassa)!

4 Moto di un fluido in un condotto flusso laminare flusso turbolento dell acqua flusso laminare e poi turbolento del fumo

5 Tipo di flusso singola linea di flusso laminare gruppo di linee di flusso laminari adiacenti si può così costruire un tubo di flusso del tutto differente è invece il flusso turbolento

6 L Flusso laminare Si applica il moto laminare anche in un condotto S A r velocità massima al centro e zero sulle pareti (con velocità media <v> = ½ v max ) A = 2 π r L d = r v F v = η A v / d S = area di base A = superficie laterale r = raggio del condotto L = lunghezza totale v = v max F v = η 2 π r L v max / r F v = 4 π ηl v max

7 Q = V / t Q 1 = Q 2 Portata Volume del fluido che passa in un condotto = S L / (L / v) = S v Q 1 v 1 Q 2 v 2 r 12 v 1 = r 22 v 2 Q = π r 2 v legato alla velocità di scorrimento Q 1 = π r 1 2 v 1 Q 2 = π r 2 2 v 2 se no, ci sarebbe accumulo equazione di continuità S 1 v 1 = S 2 v 2 velocità aumenta quando sezione diminuisce!

8 Pressione in un condotto L p 1 v p 2 A S F 1 r F 2 variazione di pressione per sezione di condotto F 1 F 2 p 1 A p 2 A = (p 1 p 2 ) A nel caso di moto stazionario F = (p 1 p 2 ) π r 2 v = F 1 F 2 F v = 4 πηl v max = (p 1 p 2 ) π r 2 Δp = (p 1 p 2 ) = (4 η L v max ) / r 2 v max = (p 1 p 2 ) r 2 / (4 η L)

9 Ripartizione del sangue portata totale NQ diametro iniziale D diametro d dei rami secondari N rami secondari Q è la portata di ciascun ramo

10 Esempio portata aorta In un adulto normale a riposo la velocità media del sangue nell aorta, r = 9 mm, è v = 0.33 m/s Qual è la portata? r v max A = π r 2 = 3.14 ( ) 2 = m 2 Q = A v = = m 3 /s La portata dell aorta è di 83 cm 3 al secondo Dall aorta il sangue si riparte in arterie più piccole (arteriole) poi nei capillari

11 Esempio caduta di pressione Qual è la caduta di pressione nel sangue quando esso attraversa un capillare L = 1 mm, r = 2 μm se la velocità del sangue (η = PI) al centro del capillare è di 0.66 mm/s? L r v max Δp = (p 1 p 2 ) = (4 η L v max ) / r 2 Δp = 4 ( ) / ( ) 2 = Pa = = 19.5 mmhg

12 Ripartizione sangue Sebbene la sezione di ogni singola arteria sia più piccola di quella dell aorta la sezione di tutte le arterie maggiori (che è di m 2 ) è molto maggiore di quello dell aorta ( m 2 ) <v> = Q / A = / = m/s La velocità media è quindi minore nelle arterie rispetto all aorta la pressione sarà quindi minore e ancor di più nelle arteriole e nei capillari

13 Legge di Poiseuille Q = π r 2 <v> = ½ π r 2 v max v max = (p 1 p 2 ) r 2 / (4 η L) Q = π r 4 (p 1 p 2 ) / (8 η L) La quantità di fluido che passa attraverso un condotto è proporzionale alla differenza di pressione lungo il condotto ed alla quarta potenza del raggio del condotto stesso (Poiseuille)