DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

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1 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

2 Disuguaglianze Due espressioni numeriche, di diverso valore, separate da un segno di disuguaglianza, formano una disuguaglianza numerica Esempi di disuguaglianze 6 6 Simboli di disuguaglianza sono: Maggiore Minore Maggiore od uguale 6 0 Minore od uguale

3 Definizione disequazione Si definisce disequazione una disuguaglianza in cui compaiono delle incognite. Le disequazioni che vedremo saranno in una sola incognita. Esempi di disequazioni ) ) ) )

4 Soluzioni di una disequazione Se in una disequazione sostituiamo, al posto dell incognita, un numero, la disequazione si trasforma in una disuguaglianza, che può essere vera o falsa. Si dice SOLUZIONE di una disequazione ogni numero che sostituito all incognita rende vera la disuguaglianza. Esempio: data la disequazione e rappresentano delle soluzioni VERIFICA 9 FALSO NON E SOLUZIONE VERIFICA 6 6 VERO verificare se E SOLUZIONE

5 Risolvere una disequazione significa determinare l insieme delle soluzioni. Tale insieme, nei casi più comuni, è un intervallo o un unione di intervalli. Ricordiamo la definizione di intervallo numerico Dati due numeri a e b con a < b, si definisce INTERVALLO NUMERICO, l insieme di tutti i numeri compresi tra a e b. I numeri a e b prendono il nome di ESTREMO INFERIORE ed ESTREMO SUPERIORE dell intervallo e possono o meno appartenere all insieme Intervallo numerico a Estremo inferiore Per la rappresentazione simbolica degli intervalli numerici si fa uso di parentesi tonde e quadre entro cui vengono scritti gli estremi inferiore e superiore a e b separati da punto e virgola Il tipo di parentesi ci indica se l estremo risulta incluso oppure escluso dall intervallo Parentesi tonda estremo escluso. Parentesi quadra estremo incluso b Estremo superiore

6 Esempi La rappresentazione simbolica ; ; indica che gli estremi - e fanno parte dell intervallo La rappresentazione simbolica ; ; indica che gli estremi - e sono esclusi dall intervallo La rappresentazione simbolica indica che - è escluso mentre è incluso nell intervallo La rappresentazione simbolica indica che - è incluso mentre è escluso dall intervallo Rappresentazione grafica

7 Utilizzo di simboli diversi per gli stessi concetti Alcuni testi di matematica per rappresentare simbolicamente un intervallo numerico usano esclusivamente parentesi quadre, rivolte verso l esterno per indicare che l estremo non appartiene all insieme, rivolte verso l interno per esprimere che l estremo fa parte dell insieme. ; Stesso significato ; ; ; ; ;

8 Classificazione delle disequazioni TIPO disequazione Disequazione con ESEMPI Intera Incognita solo al numeratore Fratta Numerica Letterale Determinata Indeterminata Impossibile Incognita almeno al denominatore Coefficienti numerici Coefficienti letterali Soluzioni sottoinsieme di R Soluzioni coincidenti con R Non ha soluzioni a 0 b c 0 0

9 Disequazioni EQUIVALENTI Due disequazioni si dicono EQUIVALENTI se possiedono le stesse soluzioni esempio ) soluzioni ) 9 soluzioni Pertanto, qualsiasi numero X più grande di soddisfa sia la prima che la seconda disequazione perciò esse si dicono equivalenti

10 Principi di equivalenza I principi di equivalenza, applicati alle disequazioni, consentono di trasformare una disequazione in un altra più semplice avente le stesse soluzioni

11 Primo Principio di equivalenza ADDIZIONANDO o SOTTRAENDO ai due membri di una disequazione la stessa espressione si ottiene una disequazione EQUIVALENTE a quella data Addizione Sottrazione Disequazioni equivalenti

12 ) Regola del trasporto Conseguenze del Conseguenze del Primo Principio PRIMO PRINCIPIO Si può trasportare un termine da un membro all altro di una disequazione cambiandolo di segno (Tale regola viene impiegata per trasportare le incognite al primo membro ed i numeri al secondo membro) Esempio

13 ) Regola della cancellazione a) se uno stesso termine figura in entrambi i membri può essere cancellato Esempio b) se due termini opposti si trovano nello stesso membro essi possono essere cancellati Esempio Conseguenze del Primo Principio

14 Secondo e Terzo Principio di equivalenza Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente alla data Esempio: Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo e cambiando il verso del simbolo di disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente alla data Esempio: Disequazioni equivalenti maggiore Disequazioni equivalenti minore VERSO INVERTITO

15 Conseguenze del Secondo Principio ) Eliminazione di denominatori numerici E possibile eliminare i denominatori numerici di una disequazione moltiplicando tutti i termini per il loro m.c.m. Esempio Disequazione con denominatore Disequazione senza denominatore m.c.m = 6 6

16 Conseguenze del SECONDO PRINCIPIO ) Eliminazione del coefficiente dell incognita E possibile liberare l incognita dal suo coefficiente dividendo primo e secondo membro della disequazione per tale coefficiente Esempio Coefficiente dell incognita Secondo Principio

17 Regola del cambiamento del segno Conseguenze del Terzo Principio In una disequazione si possono cambiare i segni di tutti i termini, ma occorre cambiare il verso del simbolo di disuguaglianza Esempio MAGGIORE MINORE

18 Grado di una disequazione Si definisce grado di una disequazione razionale intera il massimo esponente con cui compare l incognita Esempi ) Disequazione di primo grado ) 0 Disequazione di secondo grado ) Disequazione di quarto grado Le disequazioni GRADO si dicono anche disequazioni LINEARI

19 Risoluzione di disequazioni di primo grado: Per risolvere le disequazioni lineari si procede nel modo seguente: ) Si eseguono le operazioni che vengono indicate nella disequazione (potenze, moltiplicazioni, divisioni,addizioni e sottrazioni ) ) Quando al primo ed al secondo membro non è più possibile eseguire operazioni, si passa all applicazione delle conseguenze dei principi di equivalenza (cancellazione,trasporto,cambiamento di segno,ecc.) per passare a disequazioni equivalenti sempre più semplici

20 . Esempio Operazioni indicate (potenza,prodotto) principio (cancellazione) principio (Trasporto) Operazioni indicate (somma e differenza) principio (Eliminazione coefficiente dell incognita) Operazioni indicate (divisioni) Soluzioni della disequazione

21 . Esempio Operazioni indicate (potenza-prodotto) principio (cancellazione) principio (Eliminazione denominatore numerico) principio (Trasporto) Operazioni indicate (differenze) principio (cambiamento di segno) Soluzioni della disequazione Operazioni indicate (divisioni-prodotti) -

22 Esempi ( ) Svolgendo i calcoli, la disequazione si riduce alla disuguaglianza -< 6 che è sempre verificata. L insieme delle soluzioni coincide quindi con l insieme R dei reali: S= R Svolgendo i calcoli, la disequazione si riduce alla disuguaglianza -> che è falsa. La disequazione è impossibile, ossia l insieme delle sue soluzioni è l insieme vuoto: S= Ø