Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof.

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2 Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof. S.M. Salamon per tanti utili suggerimenti e per la realizzazione di molti grafici. Grazie ai Proff. Sergio Console, Federica Galluzzi, Sergio Garbiero e Mario Valenzano per aver letto il manoscritto. Un ringraziamento particolare agli Studenti del Corso di Studi in Fisica dell Università di Torino, la loro partecipazione attiva e il loro entusiasmo hanno motivato questa esperienza.

3 Elsa Abbena Anna Maria Fino Gian Mario Gianella Algebra lineare e geometria analitica Volume II

4 Copyright MMXII ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133/A B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: marzo 2012

5 Indice Prefazione 1 1 Sistemi Lineari Esercizi Soluzioni Matrici e Determinanti Esercizi Soluzioni Calcolo Vettoriale Esercizi Soluzioni Spazi Vettoriali e Sottospazi Vettoriali Esercizi Per saperne di più Esercizi Soluzioni Per saperne di più Soluzioni Spazi Vettoriali Euclidei Esercizi Soluzioni Applicazioni Lineari Esercizi Per saperne di più Esercizi Soluzioni Per saperne di più Soluzioni Diagonalizzazione Esercizi Per saperne di più Esercizi i

6 ii INDICE 7.3 Soluzioni Per saperne di più Soluzioni Forme Bilineari e Forme Quadratiche Esercizi Soluzioni Geometria Analitica nel Piano Esercizi Soluzioni Riduzione a Forma Canonica delle Coniche Esercizi Soluzioni Geometria Analitica nello Spazio Esercizi Soluzioni Coni, Cilindri, Superfici di Rotazione e Quadriche Esercizi Soluzioni...360

7 Prefazione Con l attivazione delle lauree triennali, i corsi universitari hanno subìto una notevole riduzione del numero di ore a disposizione per le lezioni ed esercitazioni. Questo libro, che trae origine dalle lezioni di Geometria e Algebra Lineare I che gli Autori hanno tenuto al primo anno del Corso di Laurea in Fisica presso l Università di Torino, costituisce ora un testo completo che può essere anche utilizzato nelle Facoltà di Ingegneria, come pure nel Corso di Laurea in Matematica per lo studio della Geometria Analitica nel Piano e nello Spazio e per tutte quelle parti di Algebra Lineare di base trattate in campo reale. Esso si presenta in due volumi di agevole consultazione: il primo dedicato alla parte teorica ed il secondo formato da una raccolta di esercizi, proposti con le relative soluzioni, per lo più tratti dai testi d esame. La suddivisione in capitoli del secondo volume si riferisce agli argomenti trattati nei corrispondenti capitoli del primo volume. Il testo è di facile lettura e con spiegazioni chiare e ampiamente dettagliate, un po diverso per stile ed impostazione dagli usuali testi universitari del settore, al fine di sostenere ed incoraggiare gli Studenti nel delicato passaggio dalla scuola secondaria superiore all Università. In quasi tutti i capitoli del primo volume è stato inserito un paragrafo dal titolo Per saperne di più non solo per soddisfare la curiosità del Lettore ma con il preciso obiettivo di offrire degli orientamenti verso ulteriori sviluppi della materia che gli Studenti avranno occasione di incontrare sia in altri corsi di base sia nei numerosi corsi a scelta delle Lauree Triennali e Magistrali. Gli Autori avranno pienamente raggiunto il loro scopo se, attraverso la lettura del libro, saranno riusciti a trasmettere il proprio entusiasmo per lo studio di una materia di base per la maggior parte delle discipline scientifiche, rendendola appassionante. La figure inserite nel testo sono tutte realizzate con il programma di calcolo simbolico Mathematica, versione 7. Alcuni esercizi proposti sono particolarmente adatti ad essere risolti con Mathematica o con Maple. Per suggerimenti, osservazioni e chiarimenti si invita a contattare gli Autori agli indirizzi elsa.abbena@unito.it, annamaria.fino@unito.it, gianmario.gianella@unito.it. 1

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9 Capitolo 1 Sistemi Lineari 1.1 Esercizi Discutere e risolvere i seguenti sistemi lineari, al variare degli eventuali parametri reali che vengono abitualmente indicati con le lettere a,b,c,h,k. [1] x 1 + x 2 x 3 = 1 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 + 2x 3 = 1. [2] 2x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 2x 2 + x 3 = 2 x 1 + x 2 2x 3 = 4. [3] 2x 1 x 2 x 3 4x 4 = 9 4x 1 3x 3 x 4 = 0 8x 1 2x 2 5x 3 9x 4 = 18. [4] 2x 2y + z + 4w = 0 x y 4z + 2w = 0 x + y + 3z 2w = 0 3x 3y + z + 6w = 0. 3

10 4 Sistemi Lineari [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] x + y + az = 1 x + 2y + bz = 3 y + cz = 2. 2x + y z = 1 x + 2y 2z = 0 3x y + 2z = 1 x y + z = k. ax y + z = 2 x ay + z = 3 a 2 x y + az = a + 1. x + y + z = a x ay z = 1 2x + y + az = a + 1. x + y + hz = 2h 1 x + hy + z = h hx + y + z = 1. 2x + az = 1 3x + ay 2z = 2 ax + 2z = 1. x + y z = 1 2x + 3y + kz = 3 x + ky + 3z = h. kx+ y + z = 1 x + ky + z = 1 x + y + kz = h. x y + z = 5 2x + y + 2z = b 3x 3y + az = 1.

11 Capitolo 1 5 [14] 2x 3y + 2z = 1 x + y 2z = 2 4x y + az = b. [15] (3 k)x y z = a 2x (4 k)y 2z = b 3x 3y (5 k)z = c. [16] (2 k)x ky +(1 k)z = 1 2k (4 2k)x 3ky +(1 2k)z = 1 k (2 k)x 2ky + kz = 5k. [17] (1 + h)x hy +(1 + 2h)z = 3 + 2h (1 + h)x hy + 2hz = 1 + 3h ( 1 h)x (1 + 2h)z = 3(1 + h). [18] ( 1 + h)x + y + hz = 0 h( 1 + h)x ( 1 + h)y 2h 2 z = 2 ( 1 + h)x + 2y 2z = 3 + h. [19] (1 + k)x +(1 + k)y + 2z = 1 x + ky + z = 1 ( 1 + k)x +( 1 + k)z = 0. [20] kx 2(1 + k)y + z = 4 2k (1 + k)y + z = 3 + k 2kx 5(1 + k)y + 2z = 8 9k. [21] kx+ 2y + 2kz = 1 kx ( 3 + k)y + 3kz = 1 kx+(1 + k)y + 2kz = 2. [22] x 1 + x 2 + x 3 = a ax 1 + x 2 + 2x 3 = 2 x 1 + ax 2 + x 3 = 4.