l insieme delle misure effettuate costituisce il campione statistico

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1 Statistica negli esperimenti reali si effettuano sempre un numero finito di misure, ( spesso molto limitato ) l insieme delle misure effettuate costituisce il campione statistico

2 Statistica descrittiva e statistica inferenziale o predittiva la statistica descrittiva studia i criteri di rilevazione, di classificazione e di sintesi delle informazioni relative ad una popolazione oggetto di studio la statistica predittiva si prefigge di stimare caratteristiche della popolazione incognita basandosi sulle informazioni fornite da un campione limitato di misure ripetute

3 esempio: determinare la statura vera delle matricole iscritte ad ingegneria a Bologna misurando le stature degli studenti che seguono questa lezione e facendo la media aritmetica delle misure o usando altri stimatori suggeriti dai metodi della statistica descrittiva, si puo pensare di ottenerla ma al massimo si avrebbe una stima degli studenti di ingegneria meccanica della statura media presenti in aula oggi e non quella di tuttte le matricole iscritte ad ingegneria a Bologna altro esempio: le proiezioni preelettorali

4 ma esistera poi una unica statura vera??? delle matricole iscritte ad ingegneria a Bologna in realta esiste una distribuzione di stature caratterizzabile tramite valor medio e varianza, parametri che pero sono incogniti e che occorrera quindi stimare a partire dalle misure effettuate, dai dati campionari

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6 si ipotizza che il comportamento della popolazione rispetto ad una variabile aleatoria X venga descritto attraverso una funzione parametrica di probabilita p ( x ϑ) o di densita di probabilita f ( x ϑ) dove θ e incognito X inoltre non si conoscono i dati relativi a tutta la popolazione, ma solo quelli relativi ad un campione rappresentativo di n misurazioni: X X 1 = x 1, X 2 = x 2,. X n = x n e attraverso la conoscenza del campione si cerca di stimare la validita

7 per stimare il valor medio di solito si fa uso dello stimatore Media aritmetica x x + x x 1 = 1 2 n = n n n i= 1 x i

8 la media aritmetica non e l unico stimatore possibile del valor medio altri stimatori di centralita sono la Media geometrica n x = x x... x = ( x ) n g 1 2 n i i= 1 1 n ma con la limitazione che tutti gli x i devono essere positivi significato geometrico: la media geometrica di due numeri è la lunghezza del lato di un quadrato equivalente ( = stessa area ) ad un rettangolo che abbia i lati pari al modulo dei due numeri

9 Media armonica x (... ) n x x x 1 = a 1 2 n ma con la limitazione che tutti gli x i non devono essere nulli si utilizza quando entra in gioco la somma di reciproci

10 Un auto percorre all andata la distanza di 60 km alla velocità di 60 km/h, mentre, a causa del traffico intenso, percorre il ritorno sulla stessa strada a velocità di 30 km/h. Determinare in Km h -1 la velocità media dell auto. per definizione la velocita media e data da: tutto lo spazio percorso diviso il tempo totale impiegato a percorrerlo lo spazio complessivo percorso e = 120 Km mentre il tempo complessivamente impiegato per l andata e il ritorno e ( ) + 60( ) = 3 h la velocita media e 120/3 = 40 Km/h la velocita media e la media armonica delle velocita Nota Bene : facendo la media aritmetica delle velocita si avrebbe ( )/2= 45 km/h che è un risultato chiaramente scorretto, perche se le ore complessive per andata e ritorno sono 3 alla velocità di 45 km/h l auto avrebbe percorso 3*45 = 135 km e non 120 come invece e specificato

11 Media quadratica x q x1 + x xn 1 n = = n n i= 1 x 2 i in generale la media quadratica e sempre maggiore della media aritmetica

12 infine, come indicatori di centralita di una distribuzione, si possono usare anche la mediana campionaria (= 50-esimo percentile ) e la moda compionaria ( = valore piu probabile)

13 Scelta del miglior stimatore di un parametro incognito di una distribuzione aleatoria Media aritmetica o mediana ampionaria? es. : media aritmetica o mediana campionaria? supponiamo che un agenzia di viaggi vi possa fornire informazioni sui prezzi degli hotel del quartiere da voi prescelto per trascorrere un week end in alcune delle vie piu caratteristiche a Parigi Quartiere Latino Bd de Saint-Germain Bd Saint-Michel Bd de Montparnasse preferireste conoscere il prezzo medio degli hotels in queste strade o il prezzo mediano?

14 la scelta tra media aritmetica e mediana campionaria dipende dalle condizioni al contorno supponiamo si abbia un tetto massimo di spesa per i pernottamenti, un budget, di 350 Euro e supponiamo non si abbia tempo a disposizione per verificare i costi dei singoli hotels Bd de Saint-Germain Bd Saint-Michel Media aritmetica 352 Conclusioni : ma potrebbe essersi verificata una situazione come questa : Bd Saint-Michel 280, 310, 270, 345, 275, 325, 750, 340, 290, 350, Prezzi hotels in Boulevard Saint-Michel Bd de Montparnasse niente week end a Parigi! hotel di super lusso con vista sulla cattedrale di Notre Dame Media aritmetica = 352 Mediana campionaria = 325 > 350 Euro in questo caso sarebbe convenuto conoscere la mediana dei prezzi cosi da essere certi che esattamente la meta degli hotel di una determinata strada avesse prezzi inferiori alla mediana

15 la differenza tra la scelta della media o della mediana sarebbe stata meno rilevante se si avesse avuto a disposizione il tempo per controllare il prezzo di ciascun hotel, per es. su internet o telefonando direttamente all hotel e ovviamente la cosa non avrebbe avuto alcuna rilevanza se si avesse avuto a disposizione un budget illimitato dunque non esiste il miglior stimatore in assoluto esistono pero criteri con i quali costruire gli stimatori in modo che possiedano proprieta matematiche desiderabili in effetti la media aritmetica e lo stimatore piu usato per la stima del valor medio per le sue proprieta di correttezza, consistenza ed efficienza

16 Errori : di solito vengono effettuate molte misure indipendenti della stessa grandezza, fino a collezionare un numeroso campione di misure ma a causa degli errori di misura il risultato varia sensibilmente da misura a misura si definisce errore = valore misurato valore vero cause di errore: Limiti strumentali Metodi di misura errati Cause accidentali

17 categorizzazione degli errori: Sistematici misura di un intervallo di tempo usando un orologio che va troppo lento, o troppo veloce. misura della lunghezza di un oggetto non in modo perpendicolare all oggetto ( errore di parallasse) Casuali o statistici incertezze dovute a cause accidentali e alla limitatezza del campione di misure gli errori statistici sono riducibili aumentando il numero di misure indipendenti della stessa grandezza aumentando la dimensione del campione

18 ma, ammesso che esista, quale e il valore vero potrebbe anche non esistere se alla base del fenomeno in esame vi fosse in gioco una variabile aleatoria in questo caso sarebbe meglio parlare di errore come di errore = valore misurato valore medio ma quanto vale il valor medio? una infinita di misure ripetute e per saperlo con certezza si dovrebbero fare se si ha un numero finito di misure si puo solo tentare di stimarlo con il minimo margine di errore possibile

19 si assume come stima del valor medio ( vero) della grandezza in esame la media aritmetica dei risultati ottenuti nelle varie misure es. : si siano effettuate n misurazioni della stessa grandezza fisica x 1,x 2 x n la media aritmetica delle n misure e : x x + x x n n = = n n i= 1 x i la media aritmetica stima il valor vero µ, ma con un certo errore ε µ = ( x ± ε) unita' di misura problema : come stimare l errore statistico ε?

20 come indicatore di dispersione di una distribuzione intorno alla sua media si usa la deviazione standard campionaria o errore quadratico medio, in inglese Root Mean Square o rms che e definito come : 1 n dev. st. = ( xi x) 1 commento sull uso di n o di n 1 n i= 1 2

21 una tra le proprieta piu importanti della media aritmetica e che l errore statistico della media aritmetica stessa e dato da: dev. st. 1 n ε ( x) = = ( x x) i n nn ( 1) i= 1 2

22 Intervallo di confidenza si siano effettuate n misurazioni indipendenti della stessa grandezza fisica x, ottenendo : x 1, x 2 x n la miglior stima del valor medio incognito e la media aritmetica x delle n misure dove x 1 n x n i= 1 i = ma ripetendo una seconda volta n misure della stessa grandezza fisica, si otterrebbe un diverso insieme di risultati : x 1, x 2 x n la miglior stima campionaria del valor medio incognito continuerebbe ad essere la media aritmetica x ' dove x ' 1 n = n i= 1 x' i

23 ma essendo gli x i diversi dagli x i la nuova media aritmetica sarebbe diversa x ' x dunque anche la media aritmetica varia, imprevedibilmente, da campione a campione ossia e essa stessa una variabile aleatoria come stima della dispersione della media si assume la deviazione standard campionaria e come errore sulla media, si assume la deviazione standard campionaria divisa per la radice di n

24 rilevanza della distribuzione gaussiana se la distribuzione di una serie di n variabili aleatorie x i con i = 1, n segue la forma funzionale gaussiana si puo dimostrare che la media aritmetica delle n v. a. sara distribuita in modo gaussiano anche se la distribuzione delle n v. a. x i non fosse gaussiana se n >> 1 grazie al teorema del limite centrale, si puo assumere che la distibuzione della media campionaria sia gaussiana infine istogrammando i risultati di molte misure ripetute ed indipendenti tra loro risulta, molto spesso ma non sempre, che le misure si distribuiscono in modo gaussiano

25 dunque nella maggior parte dei casi, ma non sempre, - se si stima il valor medio ( vero ) come dev. st. µ = x ± si ha il 68% di n probabilita di fare una stima esatta - se si stima il valor medio ( vero ) come dev. st.( x) µ = x ± 2 si ha il 95% di n probabilita di fare una stima esatta - se si stima il valor medio ( vero ) come dev. st.( x) µ = x ± 3 si ha il 99.7% di n probabilita di fare una stima esatta

26 il valore della percentuale di probabilita che si desidera ottenere, ossia la attendibilita della stima del valor vero che si desidera raggiungere, e detto livello di confidenza

27 supponiamo siano state molte fatte misure di precisione ed indipendenti tra loro, di una stessa grandezza fisica, e ragionevole attendersi che i risultati non si riproducano perfettamente postulando che il fenomeno stesso in esame abbia un carattere aleatorio ossia che l esito della misura sia descrivibile in termini di una variabile aleatoria si potranno applicare i metodi statistici per il trattamento dei dati sperimentali vale a dire per stimare i parametri della variabile aleatoria incognita

28 in conclusione: una misura sperimentale e assimilabile al verificarsi di uno tra i tanti possibili risultati che una v.a. puo assumere

29 la statistica predittiva, utilizzando i risultati rigorosi della teoria della probabilita, e in grado di suggerire: quale sia il miglior stimatore possibile del valor medio, o valor vero, di solito, ma non sempre la media aritmetica, quale sia il margine di errore con cui si puo fare la stima in funzione della numerosita del campione, ossia di determinare quale sia l errore sulla media aritmetica di valutare quale sia l attendibilita di questa misura in termini di probabilita, ossia quale sia il livello di confidenza della stima e chiaro che si tratta di previsioni e che per la aleatorieta stessa del fenomeno in esame e impossibile prevedere esattamente quale risultato si presentera all atto di ogni singola prova (misura)

30 sono state fatte 25 misure ripetute ed indipendenti tra loro di una grandezza fisica, ad es. il peso di un oggetto misurato con una bilancia precisa al per mille i risultati, in gm, sono : 1.72, 1.65, 1.81, 1.72, 1.72, 1.67, 1.71, 1.72, 1.74, 1.70, 1.73, 1.70, 1.76, 1.72, 1.75, 1.71, 1.71, 1.72, 1.69, 1.79, 1.74, 1.73, 1.76, 1.73, e evidente che la misura non si riproduce perfettamente non avendo altre informazioni a disposizione si dovra stimare il valor medio, impropriamente detto valor vero della grandezza incognita, usando i dati del campione di misure calcoliamo la media campionaria e l errore sulla media

31 se x i e la i-esima misura x 1 n i= 1 n = x i x 1 25 = x i= 1 i = n 2 dev. st. = ( x ) i 1 i x = n x i= 1 i = = 25 1 ( ) l errore sulla media vale dev. st ε ( x) = = = n 25 arrotondando l errore ad una sola cifra ε = 0.007

32 se il livello di confidenza prescelto e il 68 % il risultato della misura e : µ = (1.724 ± 0.007) gm oppure µ = (1.72 ± 0.01) gm al 95% di livello di confidenza o µ = (1.72 ± 0.02) gm al 99% di livello di confidenza da notare la relazione tra la precisione e il grado di fiducia, o livello di confidenza a parita di numerosita del campione, ossia a parita di n, se una cresce l altra cala se si utilizzasse la convenzione delle cifre significative il risultato ottenuto con il 68% andrebbe presentato come m = gm mentre se avessimo operato al 95 e 99 % di livello di confidenza andrebbe presentato come m = 1.72 gm

33 per costruire un istogramma ordiniamo le misure in ordine crescente calcoliamo quale sia la frequenza con la quale si presenta un particolare risultato grafichiamo la frequenza relativa, ossia la frequenza diviso il numero totale di misure la frequenza relativa e normalizzata all unita di modo che l istogramma rappresenti una distribuzione di probabilita

34 Misure Frequenza Frequenza relativa = Frequenza / N tot ( x i ) ( F i ) ( Fr i ) N tot = Σ F i = 25 istogramma delle frequenze relative

35 Ricapitolando: postulando che il processo di misurazione sia assimilabile ad effettuare un esperimento aleatorio possiamo recuperare la non riproducibilita degli esperimenti

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