La conservazione dell energia meccanica

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1 La conservazione dell energia meccanica Uno sciatore che scende da una pista da sci è un classico esempio di trasformazione di energia. Quando lo sciatore usa gli impianti di risalita per andare in vetta la sua energia potenziale (PE) aumenta, fino a raggiungere il livello massimo. A questo punto dall animazione possiamo vedere che l energia potenziale inizia a diminuire e aumenta l energia cinetica (KE) fino a che quest ultima sarà massima e l energia potenziale nulla al termine della discesa. Quel che è importante è che in fisica abbiamo una legge che stabilisce che l energia meccanica totale (TME) in particolari sistemi si conserva. Se, però, lo sciatore incontra uno strato di neve non impaccata una volta che ha concluso la sua discesa allora intervengono forze di attrito esterne dissipative che frenano lo sciatore andando a produrre un lavoro (W) negativo e a diminuire l energia meccanica totale fino a che lo sciatore non si fermerà. In questa lezione approfondiremo questi concetti. Lavoro compiuto da una forza Per prima cosa dobbiamo definire cosa intendiamo per lavoro in senso fisico in vari casi. Forza nel verso dello spostamento Quando spingiamo uno scatolone facciamo un lavoro. Maggiore è la forza con cui spingiamo, maggiore è il lavoro; maggiore è la distanza dello spostamento, maggiore è il lavoro. Queste semplici nozioni sono alla base della nostra definizione di lavoro. Se muoviamo lo scatolone nella stessa direzione della forza F che applichiamo per spingere lo scatolone per un tratto di lunghezza d, il lavoro W che abbiamo fatto è W = Fd. Osserviamo che il lavoro è il prodotto di due moduli e quindi è uno scalare. Le dimensioni del lavoro sono forza (newton) per spostamento (metri) e l unità di misura è N m. Questa combinazione di unità di misura viene chiamata joule in onore di James Prescott Joule ( ), un fisico talmente appassionato dai suoi studi che pare abbia effettuato alcuni esperimenti di fisica anche durante la luna di miele. 1 joule = 1 J = 1 N m Prima di proseguire con la discussione, osserviamo che il lavoro W è zero se lo spostamento d è zero, e che ciò è vero indipendentemente da quanto possa essere grande la forza. Per esempio, se spingiamo contro una parete, non facciamo alcun lavoro anche se possiamo stancarci per lo

2 sforzo perché anche quando stiamo «fermi», i nostri muscoli effettuano un lavoro meccanico a livello microscopico. Forza che forma un angolo α con lo spostamento Una persona che tira una valigia su una superficie piana con una cinghia che forma un angolo α con l orizzontale. In questo caso la forza forma un angolo con la direzione del moto e diciamo che il lavoro è il prodotto della componente della forza nella direzione dello spostamento per il modulo dello spostamento. In figura, per esempio la componente della forza nella direzione dello spostamento è F cosα e il modulo dello spostamento è d. Pertanto, il lavoro è W= Fd cosα. Naturalmente, nel caso in cui la forza è nella stessa direzione del moto, l angolo α è zero; quindi W = Fd cos0 = Fd, in accordo con quanto visto precedentemente. Invece, quando la forza e lo spostamento sono perpendicolari tra loro si ha α= 90 e il lavoro fatto dalla forza F è zero: W = Fd cos90 = 0. Osserviamo che lo spostamento è equivalente a uno spostamento nella direzione della forza di modulo (d cosα) più uno spostamento perpendicolare alla forza di modulo (d sin α). Lo spostamento perpendicolare alla forza corrisponde a un lavoro nullo e lo spostamento nella direzione della forza corrisponde a un lavoro W = F(d cosα); ne consegue che il lavoro totale, che è la somma dei singoli lavori 1, è proprio W= Fd cosα. Lavoro negativo e lavoro positivo Il lavoro dipende dall angolo tra la forza F e lo spostamento (o direzione del moto) d. Questa dipendenza dà origine a tre distinte possibilità: Il lavoro è positivo se la forza ha una componente nella direzione del moto (α < 90 ). Il lavoro è nullo se la forza non ha alcuna componente nella direzione del moto (α=90 ). Il lavoro è negativo se la forza ha una componente opposta alla direzione del moto (α>90 ). Energia cinetica e teorema delle «forze vive» Supponiamo di far cadere una mela. Man mano che questa cade, la gravità fa su di essa un lavoro positivo e il modulo della velocità della mela cresce. Se invece lanciamo la mela verso l alto, la gravità esegue un lavoro negativo e la mela rallenta. In generale, quando il lavoro totale fatto su un oggetto è positivo il modulo della sua velocità cresce, quando il lavoro totale è negativo il modulo della sua velocità diminuisce. 1 In modo equivalente, il lavoro totale può essere calcolato effettuando prima la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sull oggetto per ottenere F tot e quindi utilizzando la definizione di lavoro: W=F tot d cosα, dove α è l angolo tra F tot e lo spostamento d.

3 In questo paragrafo esponiamo un importante risultato, il teorema delle «forze vive» o dell energia cinetica, che ci fornisce una precisa connessione tra il lavoro e la variazione del modulo della velocità. Sia KE l energia cinetica di un sistema di massa m e velocità v, essa si definisce come KE = 1 m v2 2 L energia cinetica si misura in joule, la stessa unità di misura del lavoro; entrambe sono quantità scalari. Però l energia cinetica, diversamente dal lavoro, non è mai negativa: KE è sempre maggiore o uguale a zero, indipendentemente dalle direzioni del moto e della forza. Il teorema delle «forze vive» afferma che il lavoro totale eseguito su un oggetto è uguale alla variazione della sua energia cinetica. Ovvero: Wtot = ΔKE = 1 m v 2 f 2 1 mv 2 i 2 Vediamo che il lavoro totale è direttamente legato alla variazione del modulo della velocità come avevamo già osservato. Il teorema dell energia cinetica, inoltre, è del tutto generale e ciò lo rende uno dei più importanti e fondamentali risultati della fisica. Forze conservative e non conservative In fisica suddividiamo le forze in conservative e non conservative (o dissipative). La distinzione tra di esse sta nel fatto che quando agisce una forza conservativa, il lavoro compiuto viene immagazzinato in una forma di energia che può essere liberata in un momento successivo. Forse il più semplice caso di forza conservativa è la gravità. Immaginiamo di sollevare una scatola di massa m dal pavimento fino a un altezza h. Per sollevarla con una velocità costante, dobbiamo esercitare contro la gravità una forza uguale a mg. Essendo h lo spostamento verso l alto, il lavoro che compiamo sulla scatola è W=mgh. Se ora lasciamo la scatola e le permettiamo di cadere a terra, la gravità compie lo stesso lavoro, W= mgh. La forza di attrito è, invece, una forza non conservativa e si comporta diversamente. Infatti se trasciniamo una scatola lungo una superficie ruvida piana e poi la lasciamo essa rimane ferma, l attrito non compie alcun lavoro. Perciò, il lavoro compiuto da una forza non conservativa non può essere recuperato in seguito come energia cinetica come avveniva per le forze conservative, ma viene trasformato in altre forme di energia. Nel caso del nostro esempio la forza non conservativa origina un leggero riscaldamento del pavimento e della scatola. Le differenze tra forze conservative e non conservative sono anche più evidenti se prendiamo in esame il moto di un oggetto lungo un percorso chiuso.

4 Infatti possiamo definire una forza conservativa come una forza che su un percorso chiuso compie un lavoro totale nullo. Oppure affermando che il lavoro fatto da una forza conservativa per andare dal punto A al punto B è indipendente dal cammino da A a B. Energia potenziale e lavoro fatto da forze conservative Per sollevare un libro da terra e riporlo su uno scaffale, bisogna fare del lavoro. Una volta sullo scaffale, il libro ha energia cinetica uguale a zero, proprio come quando era a terra. Ciononostante il lavoro fatto nel sollevarlo non è andato perso: se si permette al libro di cadere dallo scaffale, la gravità compie su di esso la stessa quantità di lavoro che avevamo fatto per sollevarlo. In definitiva, il lavoro che abbiamo fatto viene «recuperato» sotto forma di energia cinetica. Perciò diciamo che quando il libro viene sollevato in una nuova posizione c è un aumento di energia potenziale, PE, e che questa energia potenziale può essere trasformata in energia cinetica quando il libro cade. In un certo senso, l energia potenziale è un sistema di stoccaggio dell energia. Il lavoro fatto contro l attrito, invece, non viene immagazzinato come energia potenziale. Al contrario, esso viene dissipato in altre forme di energia come il calore e/o il suono. Lo stesso avviene per le altre forze non conservative. Soltanto le forze conservative hanno il sistema di stoccaggio dell energia potenziale. Quando una forza conservativa compie una certa quantità di lavoro Wc (l indice c sta per conservativo), la corrispondente energia potenziale PE varia, secondo la seguente definizione: W c = PE i PE f = (PE f PE i ) = ΔPE In altre parole, il lavoro fatto da una forza conservativa è uguale alla variazione dell energia potenziale cambiata di segno. Quando un oggetto cade, la gravità compie un lavoro positivo e l energia potenziale dell oggetto diminuisce. Analogamente, quando un oggetto viene sollevato, la gravità compie un lavoro negativo e l energia potenziale cresce. Osserviamo che, come il lavoro, anche l energia potenziale è uno scalare e ha come unità di misura il joule. Inoltre, la nostra definizione ci permette di determinare soltanto la differenza dell energia potenziale tra due punti, non il valore vero e proprio dell energia potenziale. Per questa ragione, siamo liberi di scegliere dove porre l energia potenziale uguale a zero (PE = 0) più o meno come siamo liberi di scegliere la posizione dell origine in un sistema di coordinate. Prima di continuare, sottolineiamo una differenza importante tra l energia cinetica e l energia potenziale. L energia cinetica è data da un espressione indipendente dalla forza coinvolta. Al contrario, ogni forza conservativa ha una propria espressione per l energia potenziale, noi siamo interessati all energia potenziale gravitazionale. Energia potenziale gravitazionale Applichiamo la nostra definizione di energia potenziale alla forza di gravità, nelle vicinanze della superficie terrestre. Supponiamo che una persona di massa m si tuffi in una piscina da un trampolino di altezza y. Mentre la persona «cade» la gravità compie il lavoro: Wc = Fd = mgy La corrispondente variazione dell energia potenziale è, quindi: -ΔPE = mgy Come abbiamo detto, siamo liberi di scegliere PE=0 nel punto che preferiamo; solo la variazione di PE è importante. Per esempio, se scivoliamo e cadiamo per terra, l effetto è lo stesso, sia che cadiamo a Cortina (circa 1600 m di altitudine) oppure a Rimini (al livello del mare). È la differenza di altezza che interessa, non l altezza in sé 2. 2 L accelerazione di gravità varia leggermente con l altitudine, ma la differenza in questo caso è così piccola che possiamo trascurarla.

5 La cosa veramente importante, una volta fatta la scelta del punto in cui PE = 0, è di rimanere sempre coerenti con la scelta fatta. In generale, scegliamo PE = 0 in una posizione conveniente, come il livello del suolo, dove y=0, allora abbiamo PE = mgy ovvero l espressione dell energia potenziale gravitazionale all altezza y 3. Conservazione dell energia meccanica Iniziamo con il definire l energia meccanica totale, TME, come la somma dell energia potenziale e dell energia cinetica di un oggetto: TME = PE + KE. L energia meccanica è tanto importante perché si conserva nei sistemi che coinvolgono solo forze conservative. Con l affermazione «si conserva» intendiamo dire che il suo valore non cambia mai, cioè è costante nel tempo. In situazioni nelle quali sono coinvolte forze non conservative, l energia meccanica può variare, come avviene quando l attrito causa riscaldamento convertendo energia meccanica in energia termica. Per mostrare che TME è costante per forze conservative, partiamo dal teorema dell energia cinetica: W tot = ΔKE = KE f KE i. Supponiamo per un momento che nel sistema agisca soltanto una forza e che questa sia conservativa. Allora, il lavoro totale è il lavoro fatto da una forza conservativa Wtot = Wc e dalla definizione di energia potenziale sappiamo che W c = PE = PE i PE f. Combinando questi risultati, abbiamo: KE f KE i = PE i PE f da cui abbiamo: PE f + KE f = PE i + KE i ovvero TME f = TME i. Quindi in un sistema in cui agiscono solo forze conservative TME si conserva come volevamo. Per esempio, analizziamo di nuovo quanto abbiamo visto inizialmente nell animazione introduttiva. Nello specifico lungo la discesa, l'energia meccanica totale dello sciatore è conservata a condizione che: vi sia una quantità trascurabile di forze non conservative (come la resistenza dell'aria e l'attrito col fondo nevoso), lo sciatore non faccia del lavoro per alterare la quantità totale di energia meccanica (quindi lo sciatore nella nostra approssimazione non curverà, ma scenderà semplicemente in picchiata partendo da fermo). Se questi due requisiti siano soddisfatti, non ci sarebbero forze esterne al sistema (escludiamo anche la reazione normale perché essa non compie lavoro), quindi siamo interessati solo all azione della forza di gravità che, essendo una forza conservativa, ci permette di concludere che l'energia meccanica totale del sistema si conserva. L'energia potenziale, quindi, si trasforma in energia cinetica; complessivamente, la somma dell'energia cinetica e potenziale rimane un valore costante. Se vogliamo trovare qual è la velocità dello sciatore, appena raggiunge il tratto finale pianeggiante (prima che intervenga l attrito) dobbiamo innanzitutto fissare come livello PE=0 quello, appunto, in cui lo sciatore ha concluso la discesa e inizia a percorrere il tratto pianeggiante. Allora possiamo dire che TME = PE + KE è costante durante tutta la discesa. Per risolvere il problema, quindi, consideriamo due punti del moto e uguagliamo l energia meccanica totale in questi punti: il primo (i) sia il punto ad altezza h dal quale lo sciatore parte e il secondo, invece quello ad altezza 0 (f). Abbiamo, allora PE i + KE i = PE f + KE f. 3 Un errore piuttosto comune è dire che «l energia potenziale di un oggetto cresce quando la sua altezza cresce». L energia potenziale, infatti, è una proprietà di un intero sistema, non delle sue singole parti. La corretta espressione è: «Se un oggetto viene sollevato, l energia potenziale del sistema Terra-oggetto aumenta».

6 Ma dalle scelte fatte abbiamo: KE i = 0 perché lo sciatore parte da fermo e PE f = 0. Quindi: mgh = 1 2 mv2 Da cui v = 2gh. A questo punto possiamo verificare se il valore di v=31,9 m/s con un altezza massima di h=52 m che ci viene dato dall animazione sia o meno corretto 4. Supponiamo, ora, di scegliere y = 0 nel punto da cui parte lo sciatore, così che lo sciatore concluda la sua discesa ad y =-h. Allora, abbiamo KE i = 0 e PE i = 0. Utilizzando la conservazione dell energia meccanica totale allora abbiamo = mgh mv2, risultato analogo al precedente, infatti come ci aspettavamo, cambiare il punto in cui y = 0, ovvero in cui PE=0, non ha effetti sul risultato finale. Lavoro fatto da forze non conservative Se vicino alla fine della corsa, lo sciatore incontra la forza di attrito allora una forza esterna di tipo non conservativo andrà a modificare la situazione. In particolare l attrito è una forza che si oppone al moto e quindi produce un lavoro negativo che, quindi, andrà sottratto all energia meccanica totale, vediamo in che senso. Le forze non conservative fanno variare la quantità di energia meccanica di un sistema. Esse possono far diminuire l energia meccanica trasformandola in energia termica, oppure farla crescere, per esempio trasformandola in energia potenziale o cinetica. In alcuni sistemi, addirittura, entrambi i processi avvengono contemporaneamente. Per vedere il legame tra il lavoro fatto da una forza non conservativa Wnc e l energia meccanica totale TME, consideriamo ancora una volta il teorema dell energia cinetica, che afferma che il lavoro totale è uguale alla variazione dell energia cinetica. Per esempio, supponiamo che in un sistema agiscano una forza conservativa e una forza non conservativa. In questo caso, il lavoro totale è la somma del lavoro conservativo Wc e del lavoro non conservativo Wnc. Ricordando che il lavoro conservativo è legato alla variazione dell energia potenziale abbiamo: W tot = W c + W nc = PE + W nc = KE Da cui otteniamo: W nc = PE + KE = TME. Risulta quindi che il lavoro di una forza non conservativa è semplicemente uguale alla variazione dell energia meccanica totale. Se agiscono più forze non conservative, per ottenere il lavoro non conservativo totale sommiamo semplicemente i lavori non conservativi fatti da ciascuna forza. Quindi per quanto riguarda l animazione introduttiva abbiamo che l attrito agirà sullo sciatore nel tratto finale di neve non impaccata fino a fermarlo. 4 Otteniamo proprio v = 2 9,81 52 = 31,9 m/s.