Anno Accademico Corso di Laurea in Scienze biologiche Prova scritta 1 di Istituzioni di Matematiche del 13 febbraio 2007 COMPITO A

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1 del 13 febbraio 007 COMPITO A 1. Dire per quali valori del parametro reale λ, il seguente sistema lineare x + y = 1 x + y = x y = λ ammette soluzioni e trovarle.. Siano date le rette r : x + 3y + 3 = 0 e r : x = t + 3 y = 3t + 8 Verificare che sono incidenti. Trovare i due punti della retta s : x + 3y = equidistanti da r e r. Trovare, infine, le bisettrici degli angoli formati dalle rette r e r. 3. Trovare l equazione del piano α contenente la retta x + y = 1 r : x + 3y z = 0 e il punto A(1, 1, 1). Determinare il simmetrico del punto P (, 0, 4) rispetto al piano α. 4. Studiare il campo di esistenza della seguente funzione log (1 e 4x 5x+1 x 4 ) 5. Calcolare il seguente ite di funzione x x x x x + x 6. Data la funzione reale 4x 5x + 1 se x 1 x 1 x se 1 x < 1 1 Durata della prova: 3 ore. Non è consentito consultare libri o appunti. La prova si intende superata se si risolvono correttamente tre esercizi dei quali almeno uno tra gli esercizi 1-3, ed almeno uno tra gli esercizi 4-6. Chi ha superato la prova in itinere deve consegnare dopo ore e supera la prova svolgendo correttamente almeno due tra gli esercizi 4-6.

2 del 13 febbraio 007 COMPITO B 1. Dire per quali valori del parametro reale λ, il seguente sistema lineare x + 3y = x + y = 0 x y = λ ammette soluzioni e trovarle.. Siano date le rette r : x = t y = t e r : x + y 6 = 0 Verificare che sono incidenti. Trovare i due punti della retta s : x y 3 = 0 equidistanti da r e r. Trovare, infine, le bisettrici degli angoli formati dalle rette r e r. 3. Trovare l equazione del piano α contenente la retta x + y + z = 3 r : x + y + 3z = 0 e il punto A(, 3, 0). Determinare la proiezione ortogonale del punto P (, 0, 4) sul piano α. 4. Studiare il campo di esistenza della seguente funzione log x + 4 (x )x 5. Calcolare il seguente ite di funzione 6. Data la funzione reale x x x + 1 4x 13x + 10 se x (x 1) x x se 0 x < 1 Durata della prova: 3 ore. Non è consentito consultare libri o appunti. La prova si intende superata se si risolvono correttamente tre esercizi dei quali almeno uno tra gli esercizi 1-3, ed almeno uno tra gli esercizi 4-6. Chi ha superato la prova in itinere deve consegnare dopo ore e supera la prova svolgendo correttamente almeno due tra gli esercizi 4-6. x

3 del 8 Febbraio 007 COMPITO A 1. Risolvere, se è possibile, i seguenti sistemi: x + 3y = 1 x + y = x + y = 1 x + 3y = 1 x + y = x + y = 3. Dati i punti A = (0, ) e B = (, ), scrivere l equazione della circonferenza γ avente per diametro il segmento AB. Determinare il punto simmetrico del centro di γ rispetto alla retta r di equazione x y 3 = 0. Scrivere l equazione della circonferenza γ simmetrica di γ rispetto ad r. 3. Scrivere le equazioni dei piani α paralleli alla retta r di equazioni x + y = 0 x z + 3 = 0 passanti per il punto O = (0, 0, 0) e formanti col piano β di equazione x + y + 1 = 0 un angolo di π Dopo aver calcolato il campo di esistenza, trovare gli intervalli dove la seguente funzione (x 3)(x + 3x 4) x risulta negativa. Controllare infine che x = 4 non appartiene a tali intervalli. 5. Calcolare il seguente ite di funzione 6. Data la funzione reale x + ( x )x+1 3x + 1 x + 3x + 1 x log se x 4 x 3 x se x < 4 x 1 Durata della prova: 3 ore. Non è consentito consultare libri o appunti. La prova si intende superata se si risolvono correttamente tre esercizi dei quali almeno uno tra gli esercizi 1-3, ed almeno uno tra gli esercizi 4-6. Chi ha superato la prova in itinere deve consegnare dopo ore e supera la prova svolgendo correttamente almeno due tra gli esercizi 4-6.

4 del 8 febbraio 007 COMPITO B 1. Risolvere, se è possibile, i seguenti sistemi: x + y = x + y = 1 x + y = 3 x + y = x + y = 1 x + y = 3. Dati i punti A = (1, 1) e B = (1, 3), scrivere l equazione della circonferenza γ avente per diametro il segmento AB. Determinare il punto simmetrico del centro di γ rispetto alla retta r di equazione x y 3 = 0. Scrivere l equazione della circonferenza γ simmetrica di γ rispetto ad r. 3. Scrivere le equazioni dei piani α paralleli alla retta r di equazioni x + y 1 = 0 x z + = 0 passanti per il punto P = ( 1, 0, 0) e formanti col piano β di equazione x + y = 0 un angolo di π Dopo aver calcolato il campo di esistenza, trovare gli intervalli dove la seguente funzione (x 8)(x 7x + 6) x 7 risulta negativa. Controllare infine che x = 9 non appartiene a tali intervalli. 5. Calcolare il seguente ite di funzione 6. Data la funzione reale x + ( x )x 4 13x + 31 x 7x + 11 log x x+1 x x+1 x 5 x 4 se x se x < 5 1 Durata della prova: 3 ore. Non è consentito consultare libri o appunti. La prova si intende superata se si risolvono correttamente tre esercizi dei quali almeno uno tra gli esercizi 1-3, ed almeno uno tra gli esercizi 4-6. Chi ha superato la prova in itinere deve consegnare dopo ore e supera la prova svolgendo correttamente almeno due tra gli esercizi 4-6.

5 del 30 marzo 007 COMPITO A I Calcolare il rango della seguente matrice: II Siano r ed s le rette parallele di equazioni r : x+y+ = 0, s : x+y 18 = 0 e sia P = (0, ). Dopo aver verificato che P appartiene ad r, trovare il punto Q, proiezione ortogonale di P su s, ed il punto medio del segmento P Q. Scrivere infine l equazione della retta equidistante da r ed s. III Determinare il piano contenente la retta s : x = z + 1 y = e passante per il punto P = (1, 0, 1). Determinare poi le equazioni della retta r passante per il punto P, parallela al piano α : 3x + y z + 1 = 0 ed incidente la retta s. IV Studiare la positività della seguente funzione ( 1 ) log 1 x nel proprio campo di esistenza. V Calcolare, come ite del rapporto incrementale, la derivata della funzione nel punto di ascissa x 0 =. e x 4 log 3 1 x se /3 x < 1 9x 17 9x +1 se x < /3 Trovare gli intervalli in cui è crescente o decrescente. Trovare l estremo superiore e l estremo inferiore, e dire se sono rispettivamente massimo e minimo. 1 Durata della prova: 3 ore. Non è consentito consultare libri, né appunti. La prova si intende superata se si risolvono correttamente almeno un esercizio tra quelli del gruppo I-III e almeno uno tra quelli del gruppo IV-VI avendo a disposizione tre ore. Chi ha superato la prova in itinere deve risolvere correttamente almeno due esercizi tra quelli del gruppo IV-VI avendo a disposizione due ore

6 del 30 marzo 007 COMPITO B I Calcolare il rango della seguente matrice: II Siano r ed s le rette parallele di equazioni r : x y = 0, s : x y 10 = 0 e sia P = (4, ). Dopo aver verificato che P appartiene ad r, trovare il punto Q, proiezione ortogonale di P su s, ed il punto medio del segmento P Q. Scrivere infine l equazione della retta equidistante da r ed s. III Determinare il piano contenente la retta s : x = y + z = e passante per il punto P = (1, 1, 0). Determinare poi le equazioni della retta r passante per il punto P, parallela al piano α : x + y z + 1 = 0 ed incidente la retta s. IV Studiare la positività della seguente funzione ( 1 ) log 9 x nel proprio campo di esistenza. V Calcolare, come ite del rapporto incrementale, la derivata della funzione nel punto di ascissa x 0 =. log (x 3) log 1 x se 1 < x 3/ 4x 7 4x +1 se x > 3/ 1 Durata della prova: 3 ore. Non è consentito consultare libri, né appunti. La prova si intende superata se si risolvono correttamente almeno un esercizio tra quelli del gruppo I-III e almeno uno tra quelli del gruppo IV-VI avendo a disposizione tre ore. Chi ha superato la prova in itinere deve risolvere correttamente almeno due esercizi tra quelli del gruppo IV-VI avendo a disposizione due ore

7 Prova scritta 1. di Istituzioni di Matematiche del 6 Giugno 007 I Calcolare il determinante della seguente matrice: A = II Scrivere le equazioni delle quattro rette r che individuano segmenti di uguale lunghezza sugli assi coordinati, e tali che, detti A r e B r i punti di intersezione di r con l asse x e l asse y rispettivamente, si abbia d(a r, B r ) = 5. III Scrivere le equazioni della retta passante per il punto P = (1, 1, ) e parallela ai due piani di equazioni rispettivamente x y + z 1 = 0 e x + y 3z + = 0. IV Determinare il campo di esistenza della seguente funzione: ( x log 9 1 ). x V Scrivere le equazioni degli asintoti della seguente funzione: x 3. e x + e x se x 1 1 se x < 1 x+1 1 Durata della prova: 3 ore. Non è consentito consultare libri o appunti. Non è consentito uscire dall aula durante il compito. La prova si intende superata se si risolvono correttamente tre esercizi dei quali almeno un esercizio tra quelli del gruppo I-III e almeno uno tra quelli del gruppo IV-VI, avendo a disposizione tre ore. Chi ha superato la prova in itinere deve risolvere correttamente almeno due esercizi tra quelli del gruppo IV-VI avendo a disposizione due ore

8 del 10 luglio 007 I Dire per quali valori di a il seguente sistema non ammette soluzioni x a = 0 x + y + z = 0 x + y + z 4 = 0 x + y + 3z = 0 II Scrivere l equazione della retta r che, intersencando i semiassi positivi delle coordinate, forma con essi un triangolo equilatero di area 8. III Dati i piani α e β di equazioni rispettivamente z = 0 e 4x + 4y + z + 7 = 0, scrivere le equazioni delle rette r e s giacenti su α ed aventi dal piano β distanza uguale a 3/. IV Trovato il campo di esistenza della seguente funzione determinare l insieme dove risulta positiva. log (5 x), 1 x V Calcolare il seguente ite di funzione x + ( x ) x+1 x + x + 3 sen x 1/x + 1 se 0 < x π/ 1 + cos x se π < x 0 1 Durata della prova: 3 ore. Non è consentito consultare libri, né appunti. La prova si intende superata se si risolvono correttamente almeno un esercizio tra quelli del gruppo I-III e almeno uno tra quelli del gruppo IV-VI avendo a disposizione tre ore. Chi ha superato la prova in itinere deve risolvere correttamente almeno due esercizi tra quelli del gruppo IV-VI avendo a disposizione due ore

9 11 Settembre 007 I Determinare i valori reali di a e b in modo che la seguente matrice abbia rango : a b II Sia Γ la circonferenza di equazione x + y = 4; determinare le rette passanti per P = (, 4) e tangenti a Γ. Detti A e B i punti di tangenza, determinare l area del quadrilatero di vertici O, A, P, B. III Dati i piani α e β di equazioni, rispettivamente, z = 0 e x+y +z +3 = 0, trovare le equazioni delle rette r ed s giacenti su α ed aventi distanza uguale ad 1 da β. IV Determinare il campo di esistenza della seguente funzione: x 9 x 3x 4. V Calcolare il seguente ite: e 3x 1 x. x 0 xe x se x 0 x + x se x > 0 1 Durata della prova: 3 ore. Non è consentito consultare libri o appunti. Non è consentito uscire dall aula durante il compito. La prova si intende superata se si risolvono correttamente tre esercizi dei quali almeno un esercizio tra quelli del gruppo I-III e almeno uno tra quelli del gruppo IV-VI, avendo a disposizione tre ore. Chi ha superato la prova in itinere deve risolvere correttamente almeno due esercizi tra quelli del gruppo IV-VI avendo a disposizione due ore.

10 5 Settembre 007 I Dire, al variare del parametro reale a, quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare (non è necessario calcolare esplicitamente le eventuali soluzioni): x + y +az = 0 x + y +(a + 1)z = a x + y +(a + a 1)z = a + 1 II Data la retta x + y 6 = 0 e i due punti su di essa A e B, di ordinate, rispettivamente, y A = 6 e y B =, trovare la lunghezza dell altezza OD del triangolo AOB, dove O = (0, 0); calcolare poi l area del suddetto triangolo. III Dati i piani α e β di equazioni, rispettivamente, z = 0 e x + y + z 1 = 0, trovare le equazioni delle rette r ed s giacenti su α ed aventi distanza uguale ad 3 da β. IV Determinare, all interno del campo di esistenza della seguente funzione: gli intervalli dove essa risulta positiva. (x ) log(x + 3), 6 3x V Calcolare il seguente ite: x 1 3x + 1 x x(x 1). arctan (4x x 4) se x 1 x +3 se x < 1 x 1 1 Durata della prova: 3 ore. Non è consentito consultare libri o appunti. Non è consentito uscire dall aula durante il compito. La prova si intende superata se si risolvono correttamente tre esercizi dei quali almeno un esercizio tra quelli del gruppo I-III e almeno uno tra quelli del gruppo IV-VI, avendo a disposizione tre ore. Chi ha superato la prova in itinere deve risolvere correttamente almeno due esercizi tra quelli del gruppo IV-VI avendo a disposizione due ore.