Lavoro nel moto rotazionale

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1 Lavoro nel moto rotazionale Qual è il lavoro (W ) fatto da una forza su di un corpo che sta ruotando? dw = F d s = (F sin φ)(rdθ) = τ a dθ La componente radiale della forza, F cos φ, non fa lavoro perché ortogonale allo spostamento Teorema dell energia cinetica, versione rotazionale : W = θf θ i τ a dθ = ωf ω i Iωdω = K R, K R = 1 2 Iω2 In presenza di traslazioni e rotazioni: W = K + K R.

2 Potenza nel moto rotazionale Il lavoro fatto per unità di tempo è detto potenza: P = dw dt = τ dθ a dt = τ aω. Questo è l analogo per il moto rotatorio di P = F v. Più in generale si può scrivere P = τ ω

3 Riassunto: moto rotazionale Moto di traslazione Moto rotatorio Massa M = i m i I = i m ir 2 i Velocità V = i m i v i /M ω Quantità di moto P = M V La = Iω (lungo l asse) Energia cinetica K = 1 2 MV 2 K R = 1 2 Iω2 Equilibrio II Legge di Newton F = 0 τ = 0 F = M a τa = Iα (lungo l asse) o anche F dp dl = τ = dt dt Legge di conservazione P =costante L =costante Potenza P = F v P = τ ω

4 Riassunto: leggi di conservazione Per un sistema di particelle o un corpo esteso isolato, si conservano 1. energia cinetica, K f = K i, per i soli processi (esempio: urti) elastici 2. quantità di moto, P f = P i, se risultante forze esterne nulla 3. momento angolare, L f = L i, se risultante momenti esterni nulla Per un sistema sotto sole forze conservative, si conservano 1. energia meccanica, E f = K f + U f = K i + U i = E i 2. momento angolare, L f = L i se forze centrali, dirette verso un punto

5 Esercizio: Equilibrio di un corpo rigido Scala uniforme di lunghezza l e massa m, appoggiata a parete verticale liscia. Qual è θ min per il quale la scala scivola, se µ s = 0.4 con il suolo?

6 Esercizio: Equilibrio di un corpo rigido Scala uniforme di lunghezza l e massa m, appoggiata a parete verticale liscia. Qual è θ min per il quale la scala scivola, se µ s = 0.4 con il suolo? Condizione di equilibrio sulle forze: n = mg, P = f a mgµ s. Condizione di equilibrio sui momenti (che conviene calcolare rispetto al punto O): mg(l/2) cos θ = l sin θp da cui P = (mg/2 tan θ) mgµ s, condizione che può essere rispettata solo se tan θ (1/2µ s ) = 1.25, ovvero θ min = 51.

7 Momento delle forze gravitazionali Notare che il momento delle forze gravitazionali agenti su di un corpo è uguale al momento della forza peso, concentrata nel centro di massa: ( τ = i r i (m i g) = i m i r i ) g ma per la definizione di centro di massa: ( ) m i r i = m i R cm = M cmrcm i i da cui τ = R cm (M cm g)

8 Esercizio: accelerazione angolare di una ruota Una ruota di raggio R, massa M, momento di inerzia I può ruotare su di un asse orizzontale. Una corda è avvolta attorno alla ruota e regge un oggetto di massa m. Calcolare l accelerazione angolare della ruota, l accelerazione lineare dell oggetto, la tensione della corda (si trascurino massa della corda, attrito, resistenza dell aria, etc.)

9 Soluzione: accelerazione angolare di una ruota Momento torcente esercitato sulla ruota: τ = T R, dove T è la forza esercitata dalla corda sul bordo della ruota. Da Iα = τ si ottiene α = T R/I. Legge di Newton per l oggetto sospeso: mg T = ma a = mg T m Relazione che lega a e α: a = Rα, da cui a = Rα = T R2 I T = = mg T m mg 1 + (mr 2 /I)

10 Esercizio: urto con rotazione Disco di massa m = 2 kg che viaggia a v di = 3 m/s colpisce asta di massa M = 1 kg e lunghezza l = 4 m ad un estremo, come in figura. Disco e asta sono appoggiati ad una superficie ghiacciata con attrito trascurabile. Conosciamo il momento d inerzia I = 1.33 kg m 2 dell asta attorno al suo centro di massa. Si assume che la collisione sia perfettamente elastica e che il disco non sia deviato dalla sua traiettoria. Determinare il moto (v df, v s, ω) del sistema dopo l urto.

11 Soluzione: urto con rotazione 1. Per la conservazione della quantità di moto: m v di = m v df + M v s (tutti i vettori lungo la stessa direzione) 2. Conservazione del momento angolare (calcolato rispetto alla posizione iniziale del centro dell asse) : 1 2 mlv di = 1 2 mlv df + Iω (nella direzione ortogonale al piano) 3. Conservazione dell energia: 1 2 mv2 di = 1 2 mv2 df Mv2 s Iω2

12 Da (1): mv di = mv df + Mv s ; da (2): mv di = mv df + 2I l ω, da cui: ω = Ml 2I v s. Da (1): v df = v di M m v s. ( ) Sostituiamo ω nella (3): 1 2 mv2 di = 1 2 mv2 df M 1 + Ml2 ( ) 1 Sostituiamo v df : 2 mv2 di = 1 2 mv2 di Mv div s + 1 M 2 2 m v2 s M 1 + Ml2 4I vs, 2 da cui ( ) ( ) 1 2 M 1 + M m + Ml2 4I v s = Mv di (se v s 0). Infine v s = 2v di / 1 + M m + Ml2 4I Inserendo i dati: v s = 1.33 m/s, v f = 2.33 m/s, ω = 2.0 rad/s. 4I v 2 s