ANALISI ESPLORATIVA DI SERIE DI OSSERVAZIONI

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2 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati ANALISI ESPLORATIVA DI SERIE DI OSSERVAZIONI P Claps IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Rappresentazione tabellare della serie storica Sequenza cronologica Sequenza ordinata Osservazioni di massimo annuo di pioggia in un giorno P Claps 2

3 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Rappresentazione grafica della serie storica (Sequenza cronologica) massimo annuo di pioggia in un giorno h(mm) anno P Claps 3 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Altro esempio: regione Lombardia. Consumi energetici annui Non stazionarietà (Civile, industria) Bassa variabilità (Agricolt.) P Claps 4

4 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Distribuzione del campione (Caratteristiche di variabilità) Ampiezza del campione Diagramma a punti P Claps 5 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Distribuzione del campione (Caratteristiche di variabilità) Rappresentazione ad istogramma delle frequenze di classe, sia Assolute (n elementi per classe), che Relative: (n elementi per classe divisi per N=numero totale dati) frequenza relativa n= numero totale di dati campionari k= numero di classi Numero di dati campionari che ricadono nella classe(0-75) divisi per il numero totale di dati Per evitare arbitrarietà nella determinazione del numero di classi, si può utilizzare la relazione suggerita da Sturges che lega il numero delle classi, k, alla dimensione del campione, N, secondo la relazione : (logaritmo in base 10) P Claps 6

5 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Distribuzione del campione (Caratteristiche di variabilità) Curva di Frequenza cumulata (campionaria) frequenza cumulata (m m ) Frequenza cumulata campionaria: P Claps 7 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati MOMENTI CAMPIONARI Media campionaria singolo dato campionario Varianza Media campionaria Coefficiente di asimmetria (skewness) Coefficiente di appiattimento (kurtosi) P Claps 8

6 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati QUARTILI del Campione frequenza cumulata 0.8 0, , , I II III (m m ) P Claps 9 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Rappresentazione Bo-Plot della serie Limiti del bo: Inferiore: I quartile del campione (Φ=0.25) Superiore: III quartile del campione (Φ=0.75) Linea mediana: II quartile del campione (Φ=0.50) Si definisce range interquartile (IQR) la differenza: IQR = (Φ=0.75) - (Φ=0.25) P Claps 10

7 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Limiti dei whiskers: Inferiore Valor minimo della serie delle osservazioni ( 1 ) oppure I quartile volte IQR! (Φ=0.25) IQR Se negativo può essere posto pari a zero quando le osservazioni sono definite positive Superiore Valor massimo della serie delle osservazioni ( n ) oppure III quartile volte IQR! (Φ=0.75) IQR P Claps 11 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Nella rappresentazione con i whiskers si possono indicare tutte le osservazioni di valore inferiore al whisker minimo e superiore al whisker massimo P Claps 12

8 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati P Claps 13 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati SIMBOLOGIA P Claps 14

9 CONCETTI FONDAMENTALI DELLA TEORIA DELLE PROBABILITA. Esperimento aleatorio. Spazio campionario o popolazione. Esempi: Esperimento Popolazione Tipo Numero di giorni piovosi in un anno { 0,1,2,...365} Finito, numero Numero di giorni non piovosi consecutivi { 0,1,2...} Infinito, numero Valori osservati della portata { ;! 0} Infinito, non numero Evento aleatorio semplice A, B, C : ciascun elemento della popolazione (punto). Evento aleatorio composto A, B, C : insieme di due o più punti. Complemento dell elemento A : A : insieme dei punti che non appartengono ad A. Evento certo! : insieme di tutti i punti della popolazione. Evento nullo! : insieme vuoto. Unione di eventi A e B : A! B: insieme dei punti dei due eventi. Intersezione di A! C : insieme dei punti comuni ad A e a B

10 PROPRIETA FONDAMENTALI DELLA PROBABILITA. Probabilità dell evento A: 1. 0! P [ A]! 1 2. P [!] = 1 3. Se B A! A!... Esempi: [ A] = 1 P[ A] P! P [#] = 1 " P[!] = 0 = e se A, A3 P A sono mutuamente escludentisi: 1, 2 A3 [ B] = P[ A ] + P[ A ] + P[ A ] PROBABILITA DELLE UNIONI DI EVENTI. Esempio: In un istituto universitario vi sono 10 docenti (3 donne e 7 uomini) e 30 non docenti (10 donne e 20 uomini). Qual è la probabilità che un membro dell istituto scelto a caso sia un docente e/o una donna? Eventi mutuamente escludentisi: P [ A! B] = 0 [ D " F] = P[ D] + P[ F]! P[ D F] P!

11 PROBABILITA CONDIZIONATA. Esempio: Qual è la probabilità che un membro dell istituto donna sia docente? [ ] P D F = [! F] P[ F] P D Eventi statisticamente indipendenti: P [ A! B] = P[ A]! P[ B] Eventi mutuamente escludentisi: P [ A B] = 0 TEOREMA DELLA PROBABILITA TOTALE. A evento qualsiasi. B B, B... B n # eventi mutuamente escludentisi. "! B1! B2!...! Bn = $ ( B 1! A), ( B 2! A), ( 3 A), ( B 1 " A)! ( B 2 " A)! ( " A)! B! ( B n! A)..., Altra serie di eventi mutuamente escludentisi. B 3..." ( B n! A) = A P [ A] P[ A B ] P[ ]+ [ A B ] P[ B ]... = 1 B1 P P [ A B ] P[ ] n B n

12 VARIABILI ALEATORIE E LORO DISTRIBUZIONE. Variabili aleatoria o casuale. Il valore assunto da una variabile aleatoria associata con un esperimento dipende dal risultato dell esperimento. Ad ogni punto dello spazio campionario si associa un valore della variabile. Esempio: Testa e Croce : due monete (argento e oro) lanciate simultaneamente. Variabile aleatoria (v.a.): numero di teste ottenute. Evento Semplice Dorata Descrizione Argentata Valore di A Croce Croce = 0 B Testa Croce = 1 C Croce Testa = 1 D Testa Testa = 2

13 VARIABILI DISCRETE. V.a. che possono assumere solo valori interi un dato intervallo. Funzione massa di probabilità (f.m.p.) associa una probabilità ad ogni valore della variabile. P [ = ] = p () Esempio: 1 4 p ( 0) = P[ = 0] = P[ A] = p 1) = P[ = 1] = P[ B! C] = P[ B] + P[ C] p [ = 2] = P[ ] ( 2) = P D = 1 4 ( = 1 2 0! ( )! 1 p! i p ( ) = 1 [ a " " b] =! P p ( ) a" " b i i

14 Funzione di distribuzione cumulata. [ " ] =! F ( ) = P p ( ) " i i Esempio: [ " ] =! F ( ) = P p ( ) " i i F ( 2) = 1 F ( 1) = F ( 0) = F (! 1) = 0 4

15 VARIABILI ALEATORIE CONTINUE. Possono assumere qualsiasi valore numerico reale in un dato intervallo. Funzione di densità di probabilità. f ( ) = '!! $ P % ) ( ( + & 2 2 " lim #!! * 0! ( )! 0 +"! #" f ( ) d = 1 f P[ a " " b] f ( ) d b =! a

16 Funzione di distribuzione cumulata: +" [ $ ] = f ( u du F ( ) = P! ) df ( )! = f ( ) solo per variabili assolutamente continue. d! (!) = 1 F ; F (!") = 0! F ( + ") F ( ) per qualsiasi > 0! #"! ; F ( ) " F ( = P[! ] 2 1) 1! 2 Per ogni tipo di variabile definita nell intervallo[ a, b] :! 0! ( )! 1 F ; F ( a) = 0; ( b) = 1 F

17 MOMENTI MEDIA (VALORE SPERATO) di una variabile aleatoria discreta. di una variabile aleatoria continua. [ ] =! P ( ) = E µ i +" E =! ) #" i [ ] f ( d = µ di una funzione g () di una v.a. continua o discreta: [ g( ) ] =! E g( ) P ( ) E i +"! #" [ g( ) ] = g( ) f ( ) d i i i r-esimo momento di : µ µ r r = = E E r [ ] r [ ] = = & % i +' (' r i P ( i ) $! # µ 1 = µ = r f ( ) d!!" E[ ]

18 r-esimo momento di centrale di : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 ' ' 2 ' 1 ' ' ' var 0; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( µ µ! µ µ µ µ µ µ µ µ " = " = = = = # # $ # # % & " = " = " = " = ' ( +) ") E E d f E P E r r r i r i r r i MISURA DI LOCAZIONE. Moda: ~ ma ~ ) ( = f

19 Mediana: 0.5! F ( ) = 0.50 =! Media: µ [ ] = E Media geometrica: log = E M g [ log ] M =! k g k i i

20 MISURA DI DISPERSIONE. var = E ( " µ ) =! 2 2 Varianza: [ ] [ ] Scarto quadratico medio:! = var[ ] " Coefficiente di variazione: Cv = =! MISURA DI ASIMMETRIA. Coefficiente di asimmetria: µ ' µ 3 " 1 = Ca = 3! MISURA DI APPIATTIMENTO O CURTOSI. Curtosi: ' µ 4 k = 4! ' 2 3! 4 4 Coefficiente di eccesso o di Curtosi: # = k! = 3 µ "

21 DISTRIBUZIONE NORMALE DEL CASO O DI GAUSS Funzione densità di probabilità: Funzione di distribuzione cumulata: può essere calcolata numericamente per ogni θ 1 e θ 2. I parametri θ 1 e θ 2 sono dati da:

22 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Il confronto tra un campione e la popolazione si può effettuare attraverso la comparazione delle forme delle curve di distribuzione cumulata (campionaria e teorica). Affinchè la comparazione sia coerente, per la distribuzione campionaria si deve usare una Stima della probabilità cumulata della popolazione, chiamata Plotting position Una possibilità valida se non si ha alcuna indicazione sulla distribuzione teorica da usare è: detta Weibull Plotting position (è distribution free). Corrisponde a porre =0 nella relazione più generale: P Claps 18 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Distribution dependent Si hanno ad esempio: - Distribuzioni debolmente asimmetriche (Cunnane) - Distribuzioni debolmente asimmetriche (Gringorten) - Distribuzioni fortemente asimmetriche (Hazen) P Claps 19

23 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati Analogamente, le stime dei momenti della popolazione richiedono alcune correzioni sulle espressioni dei momenti campionari: per la varianza: per l asimmetria P Claps 20 IDROLOGIA Analisi esplorativa di serie di dati P Claps 21

24 DISTRIBUZIONE NORMALE IN FORMA CANONICA Variabile normale standardizzata o ridotta Valori notevoli di u(f) e di F(u) F u(f) u F(u) inv.s.norm dist-s-norm Esempio: Quantile di corrispondente a F() = 0.025

25 DISTRIBUZIONI DERIVATE Funzione Y = g() strettamente monotona crescente e derivabile di una v.a. continua Esempio: oppure oppure Quando si conosce la distribuzione della Y e si ricerca quella della vale, ovviamente Esempio: variabile normale standard Vale anche:

26 MEDIA DI UNA VARIABILE FUNZIONE DI UN ALTRA Se c è una costante: Similmente In generale Esempio:

27 VARIANZA DI UNA VARIABILE FUNZIONE VARIABILE STANDARDIZZATA

28 Carta probabilistica normale In diagramma cartesiano con ascissa ed ordinata u la funzione di probabilità cumulata F () sarà rappresentata dalla retta Rappresentazione in carta normale delle osservazioni i Esempio: F i =0,975 u(f i )=1,96

29 PROPRIETA' DELLA DISTRIBUZIONE NORMALE Probabilità che una variabile casuale normale cada in un intervallo Coefficiente di asimmetria: Coefficiente di Curtosi (misura dell appiattimento di una distribuzione): Somma di variabili normali indipendenti e è

30 Periodo di Ritorno L occorrenza di un nuovo evento puo essere considerato un esperimento tipo Bernoulli che genera solo due eventi incompatibili, tipo successo insuccesso. p = probabilità di un insuccesso. (1-p) = probabilità di un successo. Esempio: Q i Massima portata nell anno. Q 0 Portata di progetto. p=p(q i >Q 0 ) Tp è il numero medio di insuccessi in T prove. Assegnata la condizione Tp=1 si ha che T è il numero di prove (anni) da attendere mediamente prima di un insuccesso T = PERIODO DI RITORNO

31 Il Rischio (naturale) RESIDUALE Il periodo di ritorno T non caratterizza completamente il rischio idrologico in campo progettuale e nella pianificazione L Orizzonte temporale di riferimento. P L Probabilità di un superamento in un periodo di L anni consecutivi. ( ) L R L = F (L) =1 1 p Tenuto conto che 1 p = T (Periodo di Ritorno) Rischio RESIDUALE Se R L,T è assegnato: " R L,T =1 1 1 % $ ' # T & T = 1 L 1 ( 1 R L.T ) 1 L

32 Esempi La probabilità che in un orizzonte di 10 anni venga superata una piena con T=50 è circa pari al 20% " R 10,50 =1 1 1 % $ ' # 50 & Perchè accada una piena con T=50 non si devono attendere 50 anni! Per L<<T vale 10 " R L,T =1 1 1 % $ ' # T & L 0.2 L T Si può considerare L come un moltiplicatore del rischio naturale

33 Inoltre: Se L diventa grande, in via approssimata vale: R L,T 1 e L/T Che, per L=T conduce a: R L 1 e 1 = Ovvero: Un sistema idrico progettato per un quantile T corrispondente al periodo di ritorno T sara inadeguato con una probabilità almeno una volta durante un periodo di T anni.

34 DISTRIBUZIONE LOG-NORMALE La variabile si dice log-normalmente distribuita se: è normalmente distribuita Funzione di densità di probabilità:

35 Espressioni teoriche dei momenti: Relazioni tra momenti e parametri: Due parametri: e Due momenti della popolazione: e Espressioni semplificate: per per piccolo

36 Carta probabilistica Log-normale In diagramma cartesiano con ascissa ln ed ordinata u la funzione di probabilità cumulata F (Y) y sarà rappresentata dalla retta Rappresentazione in carta Log-normale delle osservazioni i L asse delle ascisse puo essere Relativo alle y o, in scala logaritmica, Anche riferito alle. Esempio: F i =0,975 u(f i )=1,96