x 4 4 e il binomio x 2.

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1 ALGEBRA E ANALITICA. Determina il resto della divisione fra il polinomio P ( ) e il binomio D ( ). [ R ( ) ] Detto D() il polinomio divisore, Q() il polinomio quoziente, R() il resto, il polinomio P() si può scrivere P( ) D( ) Q( ) R( ) ( ) ( ). Determina il resto della divisione fra il polinomio P ( ) e il binomio. []. Per quale valore del parametro m il polinomio P ( ) m è divisibile per il binomio. [ m ] uso Ruffini m m 8+m +m dunque pongo m cioe' m. Il resto della divisione deve risultare zero,. Per quale valore del parametro m la funzione f ( ) m ha come fattore. [ m ] è lo stesso quesito di prima formulato con linguaggio diverso. Si tratta di scomporre in fattori f(), allora si può usare Ruffini come nel quesito precedente. Per quale valore del parametro k le radici dell equazione ( k ) (k ) k sono coincidenti k 9 8 di 8

2 è una equazione di grado quindi bisogna imporre b ac (k ) ( k )( k ) 6. Per quali valori del parametro k le radici dell equazione ( k ) (k ) k sono distinte e discordi? 9 k con k 8 il prodotto delle radici deve essere negativo. Ricordando che in una equazione di o grado a b c, dette b c e le sue radici, il significato dei coefficienti è il seguente s p cioè a a b c k ( ) e ), segue che basta imporre che ed escludere sia il valore di k che rende le a a k radici coincidenti sia il valore che annulla il denominatore k=. 7. Per quale valore di k le radici dell equazione ( k ) (k ) k hanno come somma? [ k ] b k quindi basta porre. cioè a k coincidenti sia il valore k= che annulla il denominatore. ed escludere sia il valore k=9/8 che rende le radici 8. Le equazioni della simmetria centrale di centro M di coordinate (a,b) sono ' a. Dato il punto y' b y P (, ) e il centro di simmetria M(,) determina le coordinate del suo trasformato P. P'(,) Due punti del piano si corrispondono in una simmetria centrale se il centro di simmetria è il punto medio del segmento che ha per estremi i punti stessi. (vedi figura) M, di un segmento di estremi P (, y) e ' y y' P '( ', y') sono: a, b. Le coordinate del punto medio a b Ricavo da tali formule le coordinate del punto trasformato ' a. y' b y ' e y' Simmetria centrale di centro M Sostituendo i valori dati ' y' ( ) si ottiene P '(,). di 8

3 ' ( ) 9. Scrivi le equazioni di una simmetria centrale di centro C(-,). y' () y 8 y. Determina l equazione cartesiana della curva cost y sent ( ) ( y ) Per ottenere l equazione cartesiana della curva dobbiamo avere come variabili solo e y, quindi bisogna eliminare il parametro t. Il modo più veloce, in questo caso, consiste nell isolare il seno e il coseno, elevare al quadrato, sommare le equazioni ottenute e utilizzare la relazione fondamentale della trigonometria: cost cos t y cos t sen t y sent y sen t è l equazione di una circonferenza di centro C(,) e raggio r. Determina per quale valore del parametro m le rette di equazione ( ) ( m ) y m e ( m ) y m m sono perpendicolari tra loro. m 6 m a Ricordando che il coefficiente angolare della retta r è m r e che due rette sono tra loro se i loro coefficienti b m angolari sono l uno l antireciproco dell altro, m s, allora m 6 m m m m r t. Date le equazioni parametriche del luogo geometrico con t 8 determina l equazione y t cartesiana del luogo. [ y 8 con 7 ] Per ottenere l equazione cartesiana della curva dobbiamo avere come variabili solo e y, quindi bisogna eliminare il parametro t. In questo caso basta ricavare t dalla prima e sostituire nella seconda t y y 8 a questo punto occorre trovare le limitazioni sulla variabile note quelle sul parametro t: t 8 basta sostituire i valori estremi di t nella prima delle equazioni parametriche della curva t 7 e 8 si ha dunque 7 di 8

4 . Determina il coefficiente angolare della tangente all ellisse di equazione y y 6 nel suo punto di ascissa con y. [ m ] sostituendo nell equazione dell ellisse si ottiene y y 7 che ha come radici y 6 Il punto di tangenza cercato è T ( ; ). y y Usando il metodo di sdoppiamento yy 6 si ottiene l equazione della tangente in T: y a il cui coefficiente angolare è m. b. L equazione della conica riportata in figura è: y y y y a ) b) c) d) [b] È un iperbole riferita agli assi di simmetria, con asse trasverso lungo 6 e asse y come asse focale.. Ruotando di 9 l ellisse di equazione y quale equazione si ottiene? [ y ] 6. È data la funzione omografica di equazione y. A quale iperbole equilatera non traslata essa 7 7 corrisponde? a) y b) y c) y d) y 7 7 [a] Determino le coordinate del centro di simmetria d a C, C, che sono anche i componenti del vettore di c c traslazione v,. Uso il cambio di variabile y y di 8

5 corrispondente alla traslazione inversa ( ) y y ( ) 7 7 y y 7 y ANALISI 7. Date le parabole di equazione y a con a, dimostra che i punti in cui la tangente è parallela 8a alla bisettrice del II e IV quadrante sono P, a a Si tratta di trovare il punto di tangenza noto il coefficiente angolare della tangente. La tangente citata, infatti, deve avere coefficiente angolare -. Conviene, allora, calcolare la derivata e porla uguale a - per trovare l ascissa del punto di tangenza. La funzione derivata è f '( ) a impongo che nel punto di tangenza essa sia uguale al coefficiente angolare della bisettrice del II e IV quadrante: a a sostituisco nell equazione della parabola per trovare l ordinata del punto di tangenza y a a 8a a 8. Date le parabole di equazione y a con a, dimostra che l equazione parametrica del luogo geometrico dei punti delle parabole che hanno tangente parallela alla bisettrice del II e IV quadrante è: a 8a y a È il quesito precedente espresso con altre parole! 9. L equazione cartesiana del luogo geometrico del quesito precedente è: a ) y b) y c) y d) y [d] Le equazioni parametriche del luogo geometrico sono espresse in funzione del parametro a che deve essere eliminato per ottenere l equazione cartesiana del luogo 8 a ricavo a dalla prima a e sostituisco nella seconda y 8a y a ottengo quindi y equazione di una retta. di 8

6 . Le due funzioni f ( ) ln( ) e g( ) ln( ) ln( ) sono uguali? Hanno lo stesso grafico? (motiva adeguatamente la risposta senza disegnare il grafico). [no, perché non hanno lo stesso dominio]. Se f '( ) qual è l angolo della retta tangente al grafico di f () nel suo punto di ascissa? 6. La funzione f ( ) sen sen ha massimo assoluto nell intervallo,? [sì, perché vale il t. di Weierstrass, infatti ]. Siano a e b due costanti reali. Sapendo che f ()? f ( ) asen bln e che ( ) f puoi calcolare la funzione data è pari poiché f ( ) f ( ), dunque f ( ) f () 6. Il lim sen vale: 8 a ) non esiste b) c) d) 8 (motiva adeguatamente la risposta) [c]. Determina gli asintoti della funzione f ( ) ln [tre asintoti,, y ln ] 6. Determina gli asintoti della funzione f ( ) [due asintoti y, ] 7. Determina gli asintoti della funzione f ( ) [tre asintoti y, ] 6 di 8

7 con 8. Determina il valore del parametro che rende la funzione f ( ) continua in =. a con La funzione così trovata è anche derivabile in =? [a=, è continua ma non è derivabile ] 9. La quantità di carica, espressa in coulomb, che attraversa la sezione di un conduttore filiforme metallico ha la seguente legge oraria q ( t) t t, con t espresso in secondi. Determina l intensità di corrente che attraversa il conduttore nell istante t = s. GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA. L area di un triangolo qualunque ABC in cui a 6 b 7 è 6 c) 6 d) [ i( t) q'( t) 6t ; i() 6A ] a ) 6 b) 6 [c] 6 7 ( ) A absen sen sen. Quale delle seguenti funzioni è uguale a f ( ) sen cos a) sen b) sen c) cos d) cos [b]. Dimostra che cos cos. La lunghezza della diagonale di un pentagono regolare il cui lato misura b è a) b sen b) b cos c) b sen d) b cos [d] angolo al centro DO E 7 nel triangolo HDC H DC 6 7 di 8

8 DB DH dcos. Scrivi le formule per calcolare la superficie laterale e il volume del prisma che ha come base il pentagono dell esercizio precedente e come altezza la diagonale del pentagono. Slat p h d d cos d cos d d V Sb h cotg d cos d cotg cos. Siano AB, AC, AD tre spigoli di un cubo di lato s=cm. Considera il piano passante per D, B, C, come risulta diviso il cubo da questo piano? Quanto valgono i volumi del cubo e delle parti in cui esso è suddiviso dal piano? Il piano divide il cubo in due piramidi congruenti. Il volume del cubo è dm, i voluni delle due piramidi sono,dm ciascuno. 6. Calcola la distanza tra il piano e il vertice A del cubo dell esercizio precedente. Bisogna determinare l altezza di una delle due piramidi in cui il piano DBC divide il cubo. Dal volume del cubo si può calcolare l altezza h invertendo la formula: V V SDBCh h SDBC Il triangolo DBC è equilatero, il lato DB è la diagonale di una faccia del cubo, dunque DB s cm. s s cos6 s V cm 6 h cm cm S cm S DBC DBC cm 7. Dimostra la formula cos tg cos 8 di 8