Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I C.L. in Matematica

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1 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I Ogni esercizio vale 5 punti. 1. Si gioca a nascondino in una casa di quattro stanze: cucina, salotto, bagno e camera da letto. Otto bambini si nascondono ed un adulto li va a cercare. Ogni bambino sceglie completamente a caso la stanza in cui nascondersi. Calcolare la probabilità che: (a) ci siano due bambini nascosti in bagno; (b) ci siano due bambini nascosti in ogni stanza; (c) ci siano due bambini nascosti in una stanza, cinque in un altra, uno in un altra stanza ancora e nessuno nella stanza rimanente. 2. Un paese ha n + 1 abitanti. Uno di essi racconta un pettegolezzo ad una seconda persona, la quale a sua volta lo racconta ad una terza persona, eccetera. Supponiamo che ognuno scelga completamente a caso la persona a cui confidare il pettegolezzo (tra le n a cui può raccontarlo). (a) Qual è la probabilità che il pettegolezzo venga raccontato k volte senza tornare alla prima persona da cui è partito? (b) Qual è la probabilità che il pettegolezzo venga raccontato k volte senza tornare a nessuna delle persone che già lo hanno ricevuto? (c) 1 Supponiamo ora che ogni persona racconti il pettegolezzo ad N 2 compaesani scelti a caso. Come cambiano le risposte alle due domande precedenti? 3. In un liceo vi sono due sezioni (A e B), un esaminatore esterno interroga le classi quinte in preparazione dell esame di maturità. Entrambe le quinte sono composte di 30 studenti, ma: una classe ha 15 studenti bravi, 10 studenti medi e 5 studenti scarsi, mentre l altra ne ha 5 bravi, 10 medi, 15 scarsi. L esaminatore conosce questi dati, ma non sa quale delle due sia la classe dei bravi e quale la classe degli scarsi. L esaminatore interroga un ragazzo a caso in VA, ed individua uno studente medio. Interroga poi un ragazzo a caso in VB, ed individua uno studente scarso. Qual è la probabilità che la VA sia la classe dei bravi? 4. Si lanciano contemporaneamente due dadi. Consideriamo le v.a. X = punteggio del primo dado, ed Y = massimo tra i punteggi dei due dadi. (a) 2 Calcolare la distribuzione congiunta di X ed Y. (b) Qual è la probabilità che il massimo tra i due punteggi ottenuti sia inferiore a 5? (c) Trovare media e varianza sia di X che di Y. 5. Si lancia ripetutamente un dado fino a che non esce il numero 5. Al primo lancio non esce il 5. Qual è la probabilità che servano più di tre lanci? 6. Un urna contiene n palline nere. Si toglie una pallina nera, ed al suo posto se ne inserisce un altra che è: nera con probabilità p (0; 1), oppure bianca con probabilità 1 p. Si toglie quindi un altra pallina nera, ed al suo posto si inserisce pallina nera con probabilità p, pallina bianca con probabilità 1 p, e così via. Quante estrazioni sono necessarie in media perché l urna non contenga più alcuna pallina nera? 1 Opzionale: +3 punti 2 Opzionale: +2 punti. Si osservi che lo svolgimento del punto (a) facilita lo svolgimento dei punti successivi. D altra parte, (b) e (c) possono anche essere svolti senza aver prima fatto (a). 1

2 Seconda prova parziale di Calcolo delle probabilità I 1. I mancini costituiscono l 1% degli studenti dell Università di Ferrara. Calcolare approssimativamente la probabilità di trovare almeno 4 mancini in un campione casuale di 200 studenti dell Università di Ferrara. 2. Il tempo necessario per riparare una automobile è una v.a. esponenziale di media 2 ore. Calcolare: (a) la probabilità che per la riparazione siano necessarie più di 2 ore; (b) la probabilità che la durata della riparazione superi le 10 ore, sapendo che essa supera le 9 ore. 3. Un benzinaio riceve rifornimenti di gasolio una volta alla settimana. La sua vendita settimanale (espressa in migliaia di litri) è una v.a. con densità { k(1 x) 4 x (0; 1) f(x) = 0 altrimenti. (a) Determinare la costante k. (b) Quanti litri di gasolio alla settimana vende in media il benzinaio? (c) Qual è la probabilità che la vendita di gasolio del benzinaio, in una certa settimana, sia più del doppio di quanto egli si aspetti? (d) Il serbatoio che il benzinaio possiede ha capacità c. Quanto deve valere c affinchè la probabilità che il gasolio sia esaurito in una settimana sia 0.01? 4. Si lancia una moneta volte, e si ottengono 5200 teste. Il modello moneta equa è da rigettare? 5. In una fabbrica a ciclo continuo, un macchinario non può funzionare se si guasta un suo certo componente; in caso di guasto, il componente viene immediatamente sostituito. Il tempo medio di vita di un componente di tale tipo è di 100 ore, con deviazione standard di 30 ore. Quanti componenti deve avere immagazzinato la fabbrica affinchè il sistema sia sempre funzionante per le prossime 2000 ore con probabilità almeno del 95%? 6. 3 Il numero di uova depositate da un certo insetto è una v.a. di Poisson di parametro λ. La probabilità che un uovo, una volta depositato, si sviluppi e dia origine ad un nuovo insetto è p; supponiamo che i destini delle singole uova siano tra loro indipendenti. Dimostrare che la v.a. N= numero di nuovi insetti nati ha la distribuzione di Poisson di parametro λp. 3 Si calcoli p(n = k), k = 0, 1, 2,. Nel calcolo intervengono sia la distribuzione binomiale che la distribuzione di Poisson... 2

3 Al bordo di una strada ci sono N parcheggi in fila. Una macchina è parcheggiata in uno degli N posti che non è nè nel primo, nè l ultimo. Al suo ritorno, il proprietario dell auto vede che esattamente n degli N posti sono ancora occupati. Qual è la probabilitá che i due posti adiacenti alla sua macchina siano entrambi liberi? 2. Da un mazzo di carte da briscola si prendono le 10 carte di coppe, e le si mescolano accuratamente. Da esse si estraggono due carte, con reimbussolamento. Poi si estraggono altre due carte, ma stavolta senza reimbussolamento. Qual è la probabilitá che esattamente tre tra tutte le carte estratte siano figure? 3. Una prova d esame scritta consiste di tre domande. La probabilitá che lo studente sappia rispondere alla prima è 0.9, alla seconda è 0.5, alla terza 0.3. Il fatto di saper rispondere ad una domanda è indipendente dal saper rispondere alle altre. Calcolare la probabilitá che: (a) lo studente risponda correttamente ad una sola domanda; (b) lo studente risponda correttamente ad almeno una domanda; (c) lo studente abbia risposto correttamente alla domanda piú facile, sapendo che ha risposto correttamente ad una sola domanda. 4. Una coppia di sposi vuole avere figli di sesso diverso, e decide di continuare ad averne fino a che non raggiunge lo scopo. Ad ogni nascita, sia p la probabilitá di avere una femmina, q = 1 p la probabilitá di avere un maschio. Sia X la v.a. che conta il numero di figli di quella coppia. (a) Calcolare la densità di X. (b) 4 Nel caso particolare in cui maschi e femmine siano equiprobabili, calcolare E[X] e V [X]. 5. Una stazione è servita da due soli autobus. L autobus A passa alla stazione ogni 15 minuti a partire dalle 7 del mattino. L autobus B passa alla stazione ogni 15 minuti a partire dalle 7:05 del mattino. Un passeggero arriva alla stazione in un istante che è uniformemente distribuito tra le 7 e le 8 del mattino, e sale sul primo autobus che arriva. Qual è la probabilità che egli salga su un autobus della linea A? 6. Un ragazzo possiede due monete indistinguibili, una equa ed una truccata, la quale dà testa nel 55% dei casi. Per capire quale delle due è quella truccata, egli ne sceglie una a caso ed effettua quindi il seguente test: lancia la moneta 1000 volte, e conta il numero di teste uscite. Se la moneta dà testa non più di 525 volte, egli conclude che si tratta della moneta equa, altrimenti egli conclude che si tratta di quella truccata. (a) Supponiamo che la moneta che il ragazzo sta testando sia effettivamente equa. Qual è la probabilità che egli prenda la decisione sbagliata? (b) E se invece egli ha effettivamente testato la moneta truccata, qual è la probabilità che egli prenda la decisione sbagliata? 4 Si applichino le formule: ka k 1 1 = (1 a) 2 e k=1 k 2 a k 1 = k=1 1 + a, entrambe valide per gli a (0, 1). (1 a) 3 3

4 Qual è la probabilitá che i compleanni di 6 persone cadano tutti in 2 mesi, cosicché nei rimanenti 10 mesi dell anno non ci sia nessun compleanno? 2. Un urna contiene due palline bianche e due palline nere. Si estrae a caso una pallina, e la si sostituisce con una pallina bianca. Si estrae a caso un altra pallina, e la si sostituisce con una pallina bianca. Si estrae una terza volta. Qual è la probabilitá di ottenere una pallina bianca alla terza estrazione? 3. Si girano, una alla volta, le carte di un mazzo da 52 carte da poker ben mescolate. Calcolare il numero atteso di carte che devono essere girate per ottenere (a) 2 assi; (b) 5 picche; (c) tutte le 13 carte di cuori. 4. I daltonici costituiscono l 1% di una certa popolazione. Si estrae dalla popolazione un campione casuale di individui (con reimbussolamento). (a) Qual è la probabilità che in un campione casuale di 100 individui non vi sia alcun daltonico? (b) Qual è la probabilità che in un campione casuale di 200 individui vi siano almeno due daltonici? (c) Quanto grande deve essere un campione casuale di n individui affinchè sia non inferiore a 95% la probabilità di trovare almeno un daltonico nel campione? 5. Sia X una v.a. uniformemente distribuita su (0, 5). Qual è la probabilità che l equazione abbia radici reali? 4t 2 + 4Xt + X + 2 = 0 6. Il tempo di vita di un certo tipo di lampadina una v.a. esponenziale di media 5 ore. (a) Una lampadina di questo tipo ha già funzionato per 6 ore; qual è la probabilità che essa funzioni per almeno 8 ore? (b) Si possiedono 100 lampadine del tipo sopra descritto. Le lampadine vengono utilizzate una alla volta, sostituendo immediatamente ogni lampadina che si fulmina con una nuova. Qual è la probabilità che dopo 525 ore le lampadine non siano tutte esaurite? 4

5 Alice, Barbara, Carlo, Diego ed Elisa si dispongono in fila in modo completamente casuale. Qual è la probabilità che: (a) ci sia esattamente una persona tra Alice e Barbara? (b) ci siano esattamente due persone tra Alice e Barbara? (c) ci siano tre persone tra Alice e Barbara? 2. Si lanciano contemporaneamente cinque dadi. (a) Se tutti mostrano facce diverse, qual è la probabilitá che esattamente uno dei dadi mostri il 4? (b) Sapendo che è uscito almeno un 4, qual è la probabilitá che siano usciti almeno due 4? 3. Un minatore è intrappolato in una miniera dove ci sono 3 cunicoli. Il cunicolo di sinistra conduce ad un tunnel che lo riporta al punto di partenza dopo 2 giorni di lavoro. Il cunicolo centrale lo conduce ad un tunnel che lo riporta al punto di partenza dopo 4 giorni di lavoro. Il cunicolo di destra lo conduce alla libertá dopo un giorno di lavoro. Il minatore puó scegliere in ogni momento uno dei tre cunicoli. Sceglierá quello di sinistra (il piú largo) con probabilitá 0.5, quello centrale con probabilitá 0.3, quello di destra (il piú angusto) con probabilitá 0.2. Quanti giorni impiegherá in media il minatore per uscire dalla miniera? 4. Un gioco per bambini consiste di una piccola tastiera con i tasti numerati da 1 a 10. Ogni tasto emette un suono divertente. Un bambino spinge completamente a caso i tasti, uno alla volta. Quante volte deve spingere i tasti affinchè la probabilitá di spingere il tasto 7 sia almeno 0.9? a + bx 2 x [0, 1] 5. Una v.a. X ha la densità f(x) =, e la sua media vale E[X] = 3/5. 0 altrimenti (a) Determinare a, b. (b) Calcolare la funzione di distribuzione di X. (c) Calcolare la varianza di X. (d) Utilizzare la disuguaglianza di Chebyscev per stimare la probabilità che X si discosti di almeno 0.5 dalla sua media. Confrontare il valore così ottenuto con il vero valore della probabilità richiesta. 6. Le precipitazioni annuali (in cm) di una certa regione sono distribuite normalmente con media µ = 40 e deviazione standard σ = 4. Si suppone che le precipitazioni in un dato anno siano indipendenti da quelle degli anni precedenti. Calcolare la probabilità che, iniziando da quest anno, per i prossimi 10 anni non si superino mai i 50cm l anno di precipitazioni. 5

6 In una partita a poker, un giocatore riceve all inizio del gioco 5 carte prese da un mazzo di 52 accuratamente mescolato. Qual è la probabilità che egli riceva: (a) almeno due assi? (b) cinque carte dello stesso seme? (c) un poker servito? 2. Un ladro si nasconde con probabilitá 0.8 nella zona nord della cittá, con probabilitá 0.2 nella zona sud. Ogni pattuglia è in grado di stanarlo con probabilitá 0.2, ammesso che si trovi effettivamente nella zona in cui la pattuglia opera. Ogni pattuglia opera indipendentemente dalle altre. Il questore dispone di 6 pattuglie, e decide di inviarle tutte quante nella zona nord della cittá. (a) Qual è la probabilità che il ladro non venga catturato? (b) 5 Il questore ha operato bene, o poteva scegliere una strategia migliore? 3. Un urna contiene n palline bianche ed m palline nere. (a) Si estraggono contemporaneamente due palline. Qual è la probabilità che che abbiano lo stesso colore? (b) Si estrae una pallina, la si reinserisce, si estrae quindi una seconda pallina. Qual è la probabilità che che le due palline estratte abbiano lo stesso colore? (c) Dimostrare che per ogni n, m N, la probabilità calcolata in (b) è maggiore di quella calcolata in (a). 4. Si lanciano prima una moneta equa, e poi un dado. Se esce testa si ricevono tanti euro quanti sono i punti del dado. Se esce croce si vincono 2 euro per ogni punto del dado. Calcolare media e varianza della vincita. 5. Si gioca a tiro al bersaglio, la freccetta colpisce un punto P la cui distanza dal centro è uniformemente distribuita tra 0 e 10 cm. Si ricevono: 10 punti se si colpisce entro 1 cm dal centro, 5 punti se si colpisce tra 1 (escluso) e 3 cm dal centro, 3 punti se si colpisce tra 3 (escluso) e 5 cm dal centro. Qual è il numero atteso di punti ricevuti? 6. Quanto grande devo prendere k affinchè sia circa 50% la probabilità di ottenere, lanciando 1000 volte una moneta equa, un numero di teste compreso tra 440 e k? 5 Suggerimento: calcolare la probabilità che il ladro non venga catturato se il questore manda i pattuglie a nord (e 6 i pattuglie a sud); provare quindi che tale probabilità è minima per i = 6 e concludere. 6

7 Ad ogni compito in classe l insegnante di matematica assegna ai ragazzi 5 esercizi da svolgere. Alla vigilia di un compito, uno studente trova nella borsetta dell insegnante un foglio contenente 10 esercizi, ed egli sa per certo che tra quei 10 vi sono i cinque esercizi del compito del giorno seguente. Egli prova a svolgerli tutti a casa, ma ne riesce a risolvere solo 7. Qual è la probabilità che il giorno seguente lo studente: (a) sappia risolvere tutti e cinque gli esercizi del compito? (b) sappia risolvere almeno 4 degli esercizi del compito? 2. Una scatola contiene 10 monete, delle quali 8 sono eque mentre 2 sono truccate. Le monete truccate danno testa con probabilità 2/3 e croce con probabilità 1/3. Si sceglie a caso una delle 10 monete e la si lancia per tre volte. (a) Qual è la probabilità che esca tre volte testa? (b) Esce tre volte testa. È più probabile che la moneta in uso sia equa o truccata? (c) Esce tre volte testa. Qual è la probabilità che un quarto lancio dia ancora testa? 3. Una compagnia di assicurazioni ha clienti. Ogni anno fa pagare a ciascun cliente 100 euro, ed ogni cliente riceve un milione di euro con probabilità La compagnia possiede un milione di euro di capitale. Qual è la probabilità che fallisca in un certo anno? 4. Un laghetto contiene 100 pesci, 30 dei quali sono trote. Ognuno dei 100 pesci ha la stessa probabilitá di abboccare all amo. Si pescano 20 pesci. Calcolare media e varianza del numero di trote tra i 20 pesci pescati. 5. Un componente elettronico è formato da tre elementi posti in serie; il tempo di vita (in migliaia di ore) di ciascuno di essi è una v.a. esponenziale di parametro rispettivamente λ 1 = 0.3, λ 2 = 0.1, λ 3 = 0.2. I tempi di vita dei tre elementi sono tra loro indipendenti. Calcolare la distribuzione di probabilitá della v.a. T che rappresenta il tempo di vita del componente elettronico. Quanto vale il tempo medio di vita del componente? 6. Il tempo impiegato da un professore per raggiungere la scuola ogni giorno è normalmente distribuito con media 15 minuti e deviazione standard 3 minuti. Il professore ha la prima lezione alle A che ora deve partire da casa per essere sicuro al 95% di arrivare in tempo a scuola? 7

8 Uno spacciatore mescola pillole di droga (illegali) con pillole di vitamina (innocue) nella speranza di evitare l arresto da parte della Finanza che sta per ispezionarlo. Egli mette 400 pillole in una scatola, e solo il 5% di esse sono illegali. All atto dell ispezione, la finanza preleva 5 pillole dalla scatola e le analizza in laboratorio. Qual è la probabilità che lo spacciatore venga arrestato? 2. Una scatola contiene lampadine di 3 tipi diversi: il 20% delle lampadine è di tipo A, il 30% di tipo B, il 50% di tipo C. La probabilitá che una lampadina di tipo A, B, C duri piú di 1000 ore vale rispettivamente 0.7, 0.4, 0.3. (a) Qual è la probabilitá che una lampadina scelta a caso duri piú di 1000 ore? (b) Una lampadina scelta a caso dura piú di 1000 ore. lampadina di tipo A, B, C rispettivamente? Qual è la probabilitá che si tratti di una 3. Un ubriaco esce da un bar ed ogni 10 secondi barcolla di un metro in avanti con probabilità 3/4, di un metro all indietro con probabilità 1/4. (a) Dove si trova dopo un minuto, e con quale probabilità? (b) Qual è la sua posizione più probabile dopo 2 minuti? 6 4. Si mescola accuratamente un usuale mazzo di 40 carte da briscola, e se ne prendono n a caso. Calcolare la distribuzione di probabilitá della v.a. che conta il numero di assi presenti tra le n carte estratte. Calcolare quindi media e varianza del numero di assi presenti tra le n carte estratte. 5. L altezza degli uomini adulti italiani segue approssimativamente una distribuzione normale di media 175 cm e varianza 81. (a) Calcolare la percentuale di uomini adulti taliani di statura superiore ad 1metro e 90. (b) Alla visita di leva vengono scartate le reclute di altezza inferiore a 153 cm. Calcolare la percentuale di reclute scartate alla visita di leva. 6. Si vuole stimare la frazione f di femmine in una certa popolazione; a tale scopo si estrae un campione casuale di n individui dalla popolazione. Quanto deve essere grande il campione per essere sicuri almeno al 99% di stimare f con errore inferiore a 0.005? 6 Suggerimento: considerare la v.a. X 12 = numero di passi avanti su 12 passi fatti, studiare la crescenza/decrescenza di p(x 12 = k), k = 0,, 12, trovare k corrispondente alla massima probabilità e dedurre la posizione dell ubriaco. 8

9 In una scuola insegnano 1000 docenti. Tra essi vengono sorteggiati, otto volte l anno, i componenti di una certa commissione di vigilanza sul comportamento degli studenti. La commissione è composta di 50 docenti. Le elezioni sono indipendenti tra loro. Dopo 5 anni di elezioni, due professori si lamentano con il preside perchè non sono mai stati eletti: essi sospettano di essere stati deliberatamente esclusi perchè troppo severi. Le loro lamentele sono fondate? 2. Un urna contiene 10 dadi, 6 dei quali sono equi. I rimanenti 4 dadi sono truccati in modo tale che il 6 esca con probabilità 1/2, l 1 esca con probabilità 1/2, e gli altri numeri escano con probabilità zero. Si estraggono due dadi a caso dall urna, e si lanciano entrambi i dadi estratti. (a) Qual è la probabilità che che la somma dei punteggi ottenuti sui due dadi sia 12? (b) Si considerino le variabili aleatorie X i = esito del lancio dell i-mo dado, i = 1, 2. X 1, X 2 sono indipendenti? È vero che 3. Un esperimento consiste nel lanciare ripetutamente una moneta equa. Calcolare la probabilità che due teste consecutive escano prima di 3 croci consecutive In un garage ci sono 40 macchine e 70 camion. La probabilità che in un anno una macchina debba essere riparata è 0.6, la probabilità che in un anno un camion debba essere riparato è 0.3. Calcolare media e varianza delle v.a. X, Y, Z, dove X = numero di macchine riparate in un anno, Y = numero di camion riparati in un anno, Z = numero di veicoli riparati in un anno. 5. Lo spessore di una lamina di alluminio prodotta da una certa fabbrica è normalmente distribuito con µ = 0.9 cm e σ = cm. Una lamina viene considerata difettosa se il suo spessore supera i limiti di 0.9 ± (a) Qual è la percentuale di lamine difettose? (b) Calcolare il massimo valore di σ tale che non vi sia più dell 1% di lamine difettose, supponendo che lo spessore sia normalmente distribuito con parametri µ = 0.9 e σ. 6. Ad uno sportello della posta ci sono 121 anziani in coda per riscuotere la pensione. Una pensione media ammonta a 2500 euro al mese, con scarto quadratico medio di 1500 euro. La cassa dello sportello in questione dispone di euro. Con quale probabilità lo sportello sarà in grado di pagare la pensione a tutti gli anziani in coda? 7 Suggerimento: condizionare sull esito del primo lancio; per calcolare le probabilità condizionate così ottenute, condizionare sull esito del secondo lancio e quindi, se necessario, anche sull esito del terzo lancio; se ne ricava un sistema... 9