Problemi Problema 1) Indichiamo con x > 0 il numero di minuti di conversazione effettuati in un mese. 1) Le espressioni cercate per f(x) e g(x) sono

Transcript

1 Problemi Problema 1) Indichiamo con > 0 il numero di minuti di conversazione effettuati in un mese. 1) Le espressioni cercate per f() e g() sono f() = +, f() g() = = + 1. Poiché g () = < 0, otteniamo che la funzione g() decresce dal valore + al valore 1 2 per +, e non possiede quindi né massimi né minimi relativi. La funzione f() cresce linearmente in, ossia piú parli piú spendi, mentre la funzione g() decresce al valore 1 per +, ossia piú parli, meno incide il canone fisso. I grafici di f() e g() sono rappresentati nel seguente piano cartesiano per R: 2) Dato 0 > 0 fissato, dobbiamo risolvere in 1 la seguente equazione: ossia La funzione h() = g( 1 ) = = g( 0) = [ ], 1 = è strettamente crescente poiché h () = (0 0 ) 2 > 0. Inoltre la funzione ha un asintoto verticale in = 0 con h() =. 0 ± Quando 0 si avvicina a 0, g( 0) 2 si avvicina al valore 1 che rappresenta giá il costo medio al minuto senza canone fisso, e quindi il corrispondente 1 = h( 0 ) deve essere tale da far pesare 1

2 2 sempre meno il canone fisso, ossia 1 +. Il grafico di h() è rappresentato nel seguente piano cartesiano per R: 3) Rappresentando il margine superiore della zona come y = a 2 + b + c, l appartenenza di A, B e C a tale curva determina il valore delle costanti come a = 1 8, b = 1 e c = 2. La funzione risultante è y = , e quindi l area A della zona coperta dal segnale risulta essere 6 A = [ ] d 1 2 = La zona rappresentata nella mappa ha area maggiore di 24, e quindi la percentuale di copertura risulta essere minore di Essendo 48 < 96 0, l operatore telefonico ha pubblicizzato una percentuale di copertura piú elevata di quella reale. 4) La nuova funzione f 1 () è f 1 () = { + se 0 < se > 500, e di conseguenza la nuova g 1 () si scrive come { g() = + 1 se 0 < se > 500. La funzione f 1 () cresce linearmente come f(), con coefficiente angolare minore per 0 < 500 rispetto a > 500. Diversamente da f(), la funzione f 1 () non è derivabile in = 500. La funzione g 1 () decresce dal valore + al valore g 1 (500) = 3 25 per (0, 500], e poi cresce dal valore 3 25 a 1 5 per +. Quindi la funzione g 1() non ammette massimo ma min g 1() = 3 >0 25. Presenta inoltre un asintoto verticale in = 0 e un asinototo orizzontale y = 1 5 a +. Pur essendo continua, la funzione g 1 () non è derivabile in = 500. Il significato nella situazione concreta indica

3 che il costo medio scende a 3 25 fino a = 500 minuti, per poi salire dopo il 500 esimo minuto fino a 20 centesimi= 1 5, dovuto al sovrapprezzo della tariffa applicato dal gestore. 3 Problema 2) Dal Teorema Fondamentale del Calcolo abbiamo che g() = f(t) dt + c, c R. Poiché 3 f(t) dt = Area A + Area B Area C Area D = otteniamo che g() = f(t) dt 2. 1) Se f() è un polinomio con 3 punti a tangente orizzontale, allora f () è un polinomio che ha sicuramente tre zeri, ossia 1, +1 e 2. Quindi f () è almeno di grado 3 e di conseguenza f() ha grado minimo quattro. 2) Poiché g () = f() 0 vale in [ 2, 0], dallo studio del segno della derivata otteniamo che g() ha un massimo relativo sia in = che in = 0. Inoltre, poiché g () = f () 0 in [, 1] [1, 2], otteniamo che g() volge la concavitá verso l alto per [, 1] [1, 2]. 3) Abbiamo g(0) = 0 f(t) dt 2 = Area A + Area B 2 = 1 e dal Teorema de L Hôpital 1 + g() g () = = f(0) = ) Dal cambio di variabile y = 2 + 1, dy = 2d, deduciamo che h() d = 3 f(2 + 1) d = 3 3 f(y) dy = [g(3) + 2] = 9 2.

4 4 Questionario 1) Dal Teorema Fondamentale del Calcolo otteniamo che f() = c, c R. Detta 0 l ascissa del punto di tangenza, l ipotesi ( 0, f( 0 )) appartenente al secondo quadrante si traduce in 0 < 0, f( 0 ) > 0. Imponendo che il coefficiente angolare della retta tangente y = coincida con la derivata prima di f() nel punto di tangenza 0, otteniamo 0 = 2 come soluzione dell equazione f ( 0 ) = 2, 0 < 0. Determinato il punto di tangenza P ( 2, 9), imponiamo che P appartenga al grafico della funzione f(). Si ottiene cosí c = 47 3 e f() = ) Il volume V del tronco di cono si calcola come differenza dei volumi dei coni di medesimo vertice O e basi coincidenti con quelle del tronco O S S r h R Quindi V ha la seguente espressione: (1) V = 1 3 S(h + ) 1 3 S. Per il Teorema delle sezioni parallele: S : S = (h + ) 2 : 2, deduciamo che = h S. Sostituendo in (1) otteniamo che S S V = 1 3 hs hs h SS. Da S = πr 2 e S = πr 2 si ottiene l espressione richiesta per V. 3) Il numero totale di lanci possibili è 2 6 =. Dato k = 0,..., 6, il numero di lanci possibili con l uscita di esattamente k volte testa è dato dal coefficiente binomiale ( 6 ), il numero di k combinazioni semplici di 6 elementi di classe k. La probabilitá p 1 di ottenere al piú due volte testa si ottiene quindi come p 1 = ( 6 0 ) + ( 6 1 ) + ( 6 2 ) = =

5 5 La probabilitá p 2 di ottenere almeno due volte testa si calcola invece come ( 6 0 ) ( 6 1 ) p 2 = 4) Calcoliamo la derivata prima e seconda di y(): = 1 6 = 57. y () = 1 ln 2, y () = 2 ln 3 3. Sostituendo y () e y () nelle equazioni proposte, si deduce che y() è soluzione della quarta equazione, come segue da 2 y () + y () + 2 = ln = y(). 5) Dato il piano a+by +cz = d con a = b = 1, c = 1 e d = 0, abbiamo che la retta perpendicolare al piano in ( 0, y 0, z 0 ) = (0, 0, 0) ha equazione cartesiana 0 a Otteniamo quindi la retta = y = z. = y y 0 b = z z 0. c 6) La funzione f() rappresenta la somma delle distanze al quadrato di da 1, 2, 3, 4, 5. Data la simmetria dei punti 1, 2, 3, 4, 5 rispetto a 3, si puó intuire che 3 è il punto di minimo assoluto per f() in R con valore minimo f(3) =. Per una deduzione rigorosa, basta studiare il segno della derivata prima f () = ( 3). 7) Il poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio di raggio r è composto da n triangoli disgiunti, isosceli con due lati di lunghezza r ed angolo compreso 2π n : 2π/n r r Considerando r come base, l altezza corrispondente è r sin 2π n e l area vale r2 2 sin 2π n. Otteniamo quindi A(n) = nr2 2 sin 2π n. Geometricamente si ha che A(n) fornisce l area del cerchio di raggio r, come si deduce dal ite notevole: n + n + A(n) = πr2 n + sin 2π n 2π n = πr 2.

6 6 8) Dati i settori circolari B 1, B 2, B 3 di raggio r = 2 centrati nei tre vertici: B1 T B3 B2 essi sono disgiunti e la regione B 1 B 2 B 3 è equivalente ad un semicerchio di raggio r = 2 poiché la somma degli angoli interni del triangolo T vale π. Abbiamo che Area (B 1 ) + Area (B 2 ) + Area (B 3 ) = π 2 r2 = 2π e Area (T ) = La probabilitá cercata p vale p = Area (T ) Area (B 1) Area (B 2 ) Area (B 3 ) Area (T ) = π ) Per poter applicare il Teorema di Lagrange, dobbiamo scegliere k R in modo tale che f risulti continua e derivabile in = 1. Da e 1 3 = 1 = k + k] 1 +[2 (1 + h) 3 1 (1 + h) 2 k(1 + h) + k = 3, = 2 k, h 0 h h 0 + h otteniamo che k = 1. Vogliamo poi determinare 0 (0, 2) che soddisfi f ( 0 ) = f(2) f(0) 2 0 Siccome f (1) = 3, possiamo studiare separatamente f ( 0 ) = = 5 2 in [0, 1) e f ( 0 ) = = 5 2 in (1, 2], giungendo all unica soluzione 5 0 = 6. ) In accordo con = 5 2. y S2 S1

7 7 poniamo S 1 = {(, y) R 2 : 1 4, 0 y }, S 2 = {(, y) R 2 : 1 4, y 2}. Dal Teorema Fondamentale del Calcolo abbiamo che Otteniamo quindi Area (S 1 ) = 4 1 f() d = 14 3, Area (S 2) = 6 Area (S 1 ) = 4 3. Area (S 1 ) Area (S 2 ) = 7 2. Prof. Claudia Di Giulio, Liceo Scientifico Aristotele, Roma Prof. Pierpaolo Esposito, Universitá degli Studi Roma Tre, Roma