Statistica (parte II) Esercitazione 4

Transcript

1 Statistica (parte II) Esercitazione 4 Davide Passaretti 03/03/016 Test sulla differenza tra medie (varianze note) Un negozio di scarpe è interessato a capire se le misure delle scarpe acquistate da adulti di genere maschile e da quelli di genere femminile differiscano in media. A tal fine, si procederà ad un test sulla differenza tra medie, assumendo che le due popolazioni (quella maschile e quella femminile) siano indipendenti e distribuite entrambe normalmente. In questo primo esempio, le varianze sono supposte note: σ = 3.4 (maschi) σ =.5 (femmine) Di seguito i due campioni, formati rispettivamente da = 10 maschi e da n = 9 femmine. aschi: emmine: Calcoliamo le due medie campionarie: x = x = = 43 = La differenza tra la media campionaria dei maschi e quella delle femmine si distribuisce ancora come una Normale con media μ μ e varianza σ La statistica test sfrutta tale informazione: + σ. n T = (x x ) (μ μ ) σ + σ n ~ N(0, 1) Nel nostro caso l ipotesi nulla è che le due medie siano uguali: H 0 μ μ = 0 H 1 μ μ 0 Si noti che ogni ipotesi viene formulata sui parametri ignoti della popolazione e non sulle loro stime campionarie. Lo stesso vale per gli intervalli di confidenza. issiamo α = 5% (la scelta più comune).

2 Se il valore osservato della statistica test è in valore assoluto maggiore del valore critico Z0.05 rifiutiamo l ipotesi nulla di uguaglianza tra medie. Calcoliamo il valore osservato: Z oss = Calcoliamo il valore critico per α = 5%. ( ) = Z crit = 1.96 Dato che Z oss > Z crit, rifiutiamo l ipotesi nulla di uguaglianza tra le medie e concludiamo che le misure di scarpe acquistate da maschi e da femmine differiscono in media (ce lo aspettavamo). Usando l approccio del p-value, possiamo constatare che avremmo rifiutato H 0 per qualunque consueto livello di significatività, infatti: p = (1 ( Z oss )) = ( ) 0 Questo p-value ci dice che, sotto l ipotesi nulla di uguaglianza tra medie, è quasi impossibile (p 0) osservare un valore della statistica così estremo. Dunque è il caso di rifiutare H 0. Test sulla differenza tra medie (varianze incognite ma supposte uguali) Riprendiamo ora l esempio precedente ma stimiamo le varianze dai campioni, dal momento che non abbiamo informazione sulla popolazione (caso più realistico). Assumiamo ancora che le due popolazioni (quella maschile e quella femminile) siano indipendenti e distribuite entrambe normalmente. Ricordiamo che x = 43 e x = Calcoliamo ora la due varianze campionarie (corrette): s = (44 43) + (41 43) + + (46 43) 10 1 = 3.33 s = ( ) + ( ) + + ( ) 9 1 Sia l ipotesi nulla che quella alternativa sono le stesse dell esercizio precedente. La statistica si calcola in modo analogo a prima, ma: - le varianze sono supposte uguali; - le varianze sono ignote quindi vanno usate le loro stime campionarie. Ciò implica che la distribuzione di riferimento sia ora una t di Student; - verrà usata una stima congiunta (pooled) della varianza comune alle due popolazioni = T = (x x ) (μ μ ) s p ( n ) ~ t n +n In particolare, s p non è altro che una media delle due varianze campionarie ponderata per i rispettivi gradi di libertà:

3 s p = ( 1) s + (n 1) s + n In questo caso, s p = =.706 t oss = 7.05 Prendiamo ancora α = 5%. t crit = t 0.05 =.11, 17 Anche in questo caso il valore osservato supera in valore assoluto quello critico, quindi rifiutiamo l ipotesi nulla di uguaglianza tra medie. Test sul rapporto tra varianze di due popolazioni normali Lo stesso negozio di scarpe è interessato ora a capire, utilizzando i medesimi due campioni, se vi sia una diversa variabilità tra le misure delle scarpe acquistate da adulti di genere maschile e da quelli di genere femminile. A tal fine, si procederà ad un test sul rapporto tra varianze, assumendo ancora che le due popolazioni (quella maschile e quella femminile) siano indipendenti e distribuite entrambe normalmente. Si noti che i diversi valori attesi delle due popolazioni (misure medie) non influenzano minimamente l esito di suddetto test. Ipotesi nulla H 0 σ σ = 1 Ipotesi alternativa H 1 σ σ 1 La statistica test è il rapporto tra le due varianze campionarie. Si noti che la maggiore delle due varianze campionarie (in questo caso quella dei maschi) va posta al numeratore di tale rapporto: T = s Il valore osservato della statistica è uguale a 3.33 di isher con 9 e 8 gradi di libertà. issiamo ora la soglia di significatività α = 10%. Accettare o meno H 0? s ~ 1, n 1 = 1.67 e viene ad essere un quantile della distribuzione Per rifiutare l ipotesi nulla, il valore osservato della statistica (1.67) deve essere maggiore del valore critico 0.1. Tale valore critico è uguale a 3.39., 9, 8 Dato che 1.67 < 3.39, accettiamo l ipotesi nulla per α = 10%. Usando lo stesso livello di significatività, costruiamo ora un intervallo di confidenza per il rapporto tra queste due varianze. In termini numerici: [ s s ] σ 0.05, 9, 8 σ [ s s ] , 9, 8 [ s s ] σ 0.05, 9, 8 σ 0.05, 8, 9 [ s s ] 0.49 σ σ 5.383

4 Tale intervallo include il valore 1, dunque accettiamo l ipotesi nulla che le due varianze siano uguali. Test sul confronto tra proporzioni Giovanni è riuscito a costruire un dado truccato che gli ha permesso di osservare 0 volte su 96 lanci la faccia 6. Anche arco vuole questo dado, così chiede a Giovanni di costruirgliene uno identico come regalo di compleanno. Con il nuovo dado, arco effettua 60 lanci osservando 11 volte la faccia 6. Stabilire se davvero il dado che arco ha ricevuto in regalo è uguale a quello di Giovanni usando una soglia di significatività del 10%. Dado di Giovanni: Dado di arco: Ipotesi nulla H 0 π G π = 0 Ipotesi alternativa H 1 π G π 0 n G = 96, π G = 0 96 = 60, π = La statistica test è: (π G π ) (π G π ) π p(1 π p) ( 1 n + 1 TLC N(0, 1) G n ) Dove π p ha lo scopo di fare una media ponderata delle due proporzioni in modo da poter avere un unica varianza (analogamente al caso della differenza tra medie con varianze incognite ma supposte uguali): π p = n Gπ G + π = n G = In questo caso il valore osservato della statistica test è: Calcoliamo il valore critico: ( ) ( ) = Z 0.1 = Il valore osservato è in valore assoluto minore del valore critico, dunque accettiamo l ipotesi nulla e possiamo concludere che Giovanni ha regalato a arco un dado uguale a quello che aveva. Vediamo l intervallo di confidenza per la differenza tra le due proporzioni (1 α = 90%): = [ (π G π ) Z 0.1 π p(1 π p) ( n G IC 0.9 (π G π ) = ), (π G π ) + Z 0.1 = [ 0.083, ] 0 π p(1 π p) ( 1 n G + 1 ) ] =

5 Test di bontà di adattamento Χ In un mondiale di calcio si sono disputate 64 partite. Di seguito viene riportata la tabella di frequenze (assolute) della variabile numero di goal segnati in un match. Tale variabile può assumere fino a G = 8 valori. 0 goal 1 goal goal 3 goal 4 goal 5 goal 6 goal 7 goal Verificare l ipotesi che i gol segnati in un match seguano la distribuzione di Poisson usando α = 1%. Tale ipotesi può essere verificata tramite un test Χ di bontà di adattamento. Il problema iniziale è che non abbiamo a disposizione il parametro λ (numero medio di goal per match) e deve essere stimato dal campione. La sua stima migliore coincide con la media dei goal ponderata per ciascuna frequenza associata: λ = =.406 goal in un match Avendo ora a disposizione una stima per λ, possiamo calcolare le frequenze assolute attese sotto l ipotesi che la variabile segua un modello di Poisson: λ k e λ n 0 = P(k atteso = 0 goal) N = N =.4060 e = = k! 0! n 1 = P(k atteso = 1 goal) N =.4061 e = = ! n = P(k atteso = goal) N =.406 e = = ! e così via fino a n. 7 Le otto frequenze attese sono riportate nella seguente tabella: 0 goal 1 goal goal 3 goal 4 goal 5 goal 6 goal 7 goal La statistica Χ è uguale a: G (n k n ) k k=0 n k ~ Χ G In genere, i gradi di libertà della distribuzione sono G 1, ma qui si perde un ulteriore grado di libertà poiché si è dovuto stimare anche λ. Il valore osservato della statistica è: Il valore critico per α = 1% è: ( ) ( ) ( ) Χ oss = = Χ 0.01, 8 = 16.81

6 Il valore osservato della statistica test è di gran lunga inferiore il valore critico, quindi accettiamo l ipotesi nulla che la variabile numero di goal segnati in un match segua una distribuzione di Poisson di parametro λ =.406. Test di indipendenza assoluta Χ Una piccola azienda farmaceutica è interessata a capire se vi sia connessione tra l acquisto di determinate categorie di medicinali e le diverse fasce di età dei pazienti. Ricordiamo che l indice Χ esprime l indipendenza assoluta tra due variabili categoriche ragionando sulle frequenze in una tabella di contingenza. Da un punto di vista inferenziale, il test di indipendenza Χ ha come ipotesi nulla H 0 Χ = 0 e come ipotesi alternativa H 1 Χ > 0, dunque si tratta di un test unidirezionale in quanto l indice non può mai essere negativo. Di seguito, la tabella che riassume i prodotti acquistati in media ogni giorno per categoria di medicinale e per fascia di età. Bambini Giovani Adulti Anziani TOT di riga Antistaminici Antidolorifici Antibiotici TOT di colonna Calcoliamo la tabella delle frequenze attese sotto l ipotesi di indipendenza: Bambini Giovani Adulti Anziani TOT di riga Antistaminici Antidolorifici Antibiotici TOT di colonna Calcolando la differenza al quadrato tra ciascuna frequenza osservata e la sua corrispondente frequenza attesa, e dividendo per tale frequenza attesa, si ottengono R C valori, dove R è il numero di righe della tabella e C il numero di colonne. Sommando i valori ottenuti, si ottiene il valore osservato della statistica Χ. In quest esempio Χ oss = ed è un percentile della distribuzione Χ con (R 1) (C 1) = 6 gradi di libertà. Tale valore va confrontato con il valore critico, che non è altro che il valore soglia oltre il quale qualunque valore osservato della statistica conduce a rifiutare l ipotesi nulla di indipendenza tra le variabili. Prendiamo questa volta α = 1%. Quindi: Χ crit = Χ 0.01, 6 = Dato che il valore osservato della statistica è di gran lunga maggiore di quello critico, possiamo rifiutare l ipotesi nulla e concludere che vi è connessione tra le diverse fasce di età dei pazienti e l acquisto delle tre categorie di medicinali prese in considerazione.