Capitolo 2. Cenni di geometria analitica nel piano

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1 Capitolo Cenni di geometria analitica nel piano 1 Il piano cartesiano Il piano cartesiano è una rappresentazione grafica del prodotto cartesiano R = R R La rappresentazione grafica è possibile se si crea una corrispondenza biunivoca fra gli elementi di R e i punti del piano geometrico Sia π un piano geometrico In π consideriamo due rette x ed y perpendicolari Ciascuna delle due rette sia dotata di un sistema di misura in modo da farle diventare rette dei numeri reali, ed in modo che lo zero delle due rette coincida Poniamo la retta r (risp s) in posizione orizzontale (risp verticale) Sia P un punto geometrico qualsiasi di π Di tale punto siano P 1 e P le proiezioni ortogonali di P rispettivamente su x ed y A P 1 e P 1 corrispondono due valori reali delle rette x e y che saranno la prima coordinata e seconda coordinata di P Così abbiamo associato ad ogni punto geometrico una coppia di numeri reali Procedendo all inverso, ad ogni coppia di numeri reali associamo un punto del piano geometrico y P x Introduciamo alcune notazioni: Il piano cartesiano è anche chiamato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Se l unità di misura posta nelle rette x e y è uguale allora siamo in presenza di un sistema di riferimento cartesiano monometrico Per i nostri scopi ci serviremo sempre di questo tipo di sistema di coordinate La retta x (risp y) è anche chiamata asse delle ascisse (risp ordinate) In virtù dell associazione biunivoca, con la parola punto intendiamo sia il punto geometrico che la coppia di numeri reali 14

2 1 - Il piano cartesiano Per ciascun punto P = (x 0, y 0 ), la prima coordinata x 0 è detta ascissa, mentre la seconda coordinata y 0 è detta ordinata 11 La misura di un segmento Il piano cartesiano è il luogo ideale per misurare la lunghezza di un segmento Siano P 0 = (x 0, y 0 ) e P 1 = (x 1, y 1 ) due punti non coincidenti Ci proponiamo di misurare il segmento P 1 P 0 Vediamo come procedere y y 1 P 1 y 0 P 0 H x x 0 x 1 Riferiamoci alla figura Consideriamo il triangolo rettangolo P 0 HP 1 Usando la definizione di piano cartesiano non è difficile conoscere la misura dei cateti: P 0 H = x 1 x 0 P 1 H = y 1 y 0 Usando il teorema di Pitagora troviamo la misura dell ipotenusa (ovvero il segmento P 1 P 0 ): P 1 P 0 not = d(p 0, P 1 ) = (x 1 x 0 ) + (y 1 y 0 ) Esempio 1 Trovare la lunghezza del segmento di estremi P 0 = ( 1, 5) e P 1 = (3, 6) d(p 0 P 1 ) = (3 + 1) + ( 5 6) = Il punto medio di un segmento Ci proponiamo di trovare il punto medio di un segmento dati i suoi estremi Consideriamo i punti P 0 = (x 0, y 0 ) e P 1 = (x 1, y 1 ) Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru 15

3 Capitolo - Cenni di geometria analitica nel piano y y 1 y M M P 1 y 0 P 0 H x x 0 x M x 1 Ragionando sulla figura, essendo M il punto che divide a metà il segmento P 0 P 1, notiamo che per trovare x M dobbiamo fare il seguente calcolo: x M = x 1 x 0 Stesso ragionamento si fa per y M, ottenendo + x 0 = x 1 x 0 + x 0 = x 0 + x 1 y M = y 0 + y 1 Esempio Trovare le coordinate del punto medio M del segmento di estremi P 0 = ( 1, 5) e P 1 = (3, 6) x M = = 1, y M = 5 6 = 1 La retta nel piano cartesiano Il piano cartesiano può essere usato per rappresentare enti geometrici più complicati di punti e segmenti Nel piano cartesiano vi è una corrispondenza biunivoca fra rette geometriche ed equazioni della forma (1) ax + by + c = 0 in cui (a, b) (0, 0) e i numeri reali a, b e c non hanno un divisore in comunela (1) è detta forma implicita dell equazione della retta Noi non dimostreremo formalmente che la corrispondenza è biunivoca, ma bisogna fare una precisazione importante Sarebbe sbagliato dire che vi è una corrispondenza biunivoca fra polinomi del tipo ax + by + c = 0 con (a, b) (0, 0) e rette geometriche: la corrispondenza è certamente suriettiva ma non iniettiva Infatti le equazioni x + y = 0 e x + y = 0 sono graficamente la stessa retta geometrica nel piano cartesiano Se è possibile ricavare da (1) la y allora otteniamo l equazione della retta in forma esplicita: () y = mx + q, m, q R 16 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru

4 1 I coefficienti m e q - La retta nel piano cartesiano Nella forma esplicita della retta i coefficienti m e q hanno un significato geometrico ben preciso Il coefficiente q, detto ordinata all origine, è l ordinata del punto di intersezione della retta con l asse delle y Ne consegue che tutte le rette per cui q = 0 passano per l origine del sistema di riferimento cartesiano Il coefficiente m è legato all angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse: Se m = 0 allora la retta è orizzontale, ovvero è parallela all asse delle y Se m > 0 allora la retta forma un angolo acuto con il semiasse positivo delle ascisse Se m < 0 allora la retta forma un angolo ottuso con il semiasse positivo delle ascisse Se due rette hanno entrambe m positivo, quella con coefficiente angolare maggiore formerà un angolo più grande con il semiasse positivo delle ascisse Se due rette hanno entrambe m negativo, quella con coefficiente angolare minore formerà un angolo più grande con il semiasse positivo delle ascisse Si osservi che per nessun valore di m si avrà una retta parallela all asse y Una retta di questo tipo è della forma x = k, che non è ottenibile dalla forma esplicita Si dirà, per convenzione, che le rette parallele all asse y hanno coefficiente angolare infinito Posizione reciproca fra rette Dalla geometria sappiamo che due rette possono essere incidenti, parallele o coincidenti Date l equazione di due rette come possiamo conoscere la loro posizione reciproca? Se due rette sono incidenti allora hanno un punto in comune Esempio 3 Sono date le rette di equazione x y +1 = 0 e x+y 1 = 0 Le rette sono incidenti perché hanno un punto in comune Per trovare il punto si mettono a sistema le equazioni delle due rette e si trova il punto P = (0, 1) Le rette parallele invece non hanno punti in comuni Esempio 4 Sono date le rette di equazione x + y = 0 e x + y 1 = 0 Le rette sono parallele perché non hanno punti in comune Il sistema costituito dalle equazioni delle due rette è impossibile Le rette coincidenti hanno infiniti punti in comune Esempio 5 Sono date le rette di equazione x + y = 0 e x + 4y = 0 Le rette sono coincidenti Infatti il sistema costituito dalle equazioni delle due rette è indeterminato Se non ci interessa l eventuale punto di intersezione di due rette, ma solo la loro posizione reciproca allora esiste un metodo più veloce: supponiamo di avere due rette di cui esiste la forma esplicita (): Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru 17

5 Capitolo - Cenni di geometria analitica nel piano 1 Le due rette sono parallele se i coefficienti angolari sono uguali e le ordinate all origine differenti Le due rette sono incidenti se i coefficienti angolari sono diversi 3 Le due rette sono coincidenti se i coefficienti angolari e le ordinate all origine sono uguali Però due rette incidenti possono essere perpendicolari Come identificare due rette perpendicolari? Se le equazioni delle rette sono y = m 1 x + q e y = m x + k, allora mm 1 = 1, ossia m 1 = 1 m Se due rette non si possono ricondurre alla forma esplicita, come facciamo a trovare la loro posizione reciproca? Niente di più semplice, perché in questo caso le due rette sono entrambe parallele all asse y e le loro equazioni sono riconducibili alla forma x = k Se hanno k differente sono parallele Altrimenti sono coincidenti 3 Trovare l equazione di una retta Retta con dato coefficiente angolare e passante per un punto questo problema bisogna considerare l equazione Per risolvere (3) y = mx + q Per ipotesi la retta passa per il punto P (x P, y P ) e ha come coefficiente angolare m, quindi imponiamo il passaggio della retta (3) per P : da cui ricaviamo q: y P = mx P + q (4) q = y P mx P Sostituendo (4) in (3) troviamo (5) y y P = m(x x P ) Il valore m è il coefficiente angolare dato e x P e y P sono rispettivamente ascissa ed ordinata del punto P in cui vogliamo far passare la retta Perché (5) passa per P? Applicando la condizione di appartenenza troviamo una identità Esempio 6 Vogliamo trovare l equazione della retta s parallela alla retta y = x + 1 e passante per P = (1, 1) Applicando (5) l equazione della retta s è y 1 = (x 1) da cui abbiamo y = x 1 18 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru

6 - La retta nel piano cartesiano Retta passante per due punti Abbiamo due punti distinti P 0 = (x 0, y 0 ) e P 1 = (x 1, y 1 ) Vogliamo trovare l equazione della retta passante per i due punti Come possiamo fare? Se i due punti hanno la stessa ascissa, allora l equazione è semplice: sarà x = x 0 In ogni altro caso, si può procedere in molti modi Un primo modo potrebbe essere quello di usare la condizione di appartenenza Esempio 7 Siano dati i punti A = (, 1) e B = (3, ) Usiamo la condizione di appartenenza per trovare l equazione della retta passante per A e B: { 1 = m + q = 3m + q { m = 1 q = 1 La retta passante per A e B ha equazione y = x 1 Oppure possiamo considerare l equazione della retta passante per P 0 e quella passante per P 1 usando la condizione di passaggio (3) { y0 = mx 0 + q y 1 = mx 1 + q { q = y0 mx 0 q = y 1 mx 1 { q = y0 mx 0 y 0 mx 0 = y 1 mx 1 { q = y0 mx 0 m = y 1 y 0 x 1 x 0 da cui, sostituendo al posto di m e q in (3), si ottiene e quindi { q = y0 y 1 y 0 x 1 x 0 x 0 m = y 1 y 0 x 1 x 0 y = y 1 y 0 x 1 x 0 x + y 0 y 1 y 0 x 1 x 0 x 0 (6) y y 0 y 1 y 0 = x x 0 x 1 x 0 Esempio 8 L equazione della retta passante per i punti A(3, 1) e B(0, 1) è, usando la (6) y = x (y + 1) = (x 3) x + 3y 3 = 0 Oppure, si può procedere cercando il coefficiente angolare: m = = 3, y + 1 = (x 3) 3 e quindi x + 3y 3 = 0 4 Fasci di rette Un fascio di rette è un insieme di rette aventi una caratteristica in comune Esistono due tipi di fasci: proprio e improprio Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru 19

7 Capitolo - Cenni di geometria analitica nel piano Fasci propri Un insieme di rette che hanno un punto in comune è detto fascio proprio di rette L equazione che esprime un fascio proprio di rette è la (5) in cui m è un parametro incognito e x 0 e y 0 sono ascissa ed ordinata del punto comune A tale equazione va aggiunta la retta verticale x = x 0 non ricavabile dalla (5) Esempio 9 L equazione del fascio di rette passanti per il punto P = (1, 1) è a cui va aggiunta la retta x = 1 y + 1 = m(x 1) y = mx (m + 1) Fasci impropri Un insieme di rette parallele fra loro è detto fascio improprio di rette Ricordando il significato del coefficiente m, l equazione di un fascio di rette è y = m 0 x + q con m 0 reale fissato e q parametro reale Il fascio improprio di rette verticali è descritto dall equazione x = k con k parametro reale Esempio 10 Consideriamo l insieme di rette F descritto dall equazione kx + (1 k )y + 4 k = 0, k R Dire se si tratta di un fascio di rette proprio o improprio Per vedere di che tipo è il fascio F diamo a k due valori distinti: k = 1 x = 3 k = 0 y = 4 Per i valori di k che abbiamo posto, abbiamo trovato due rette del fascio che sono incidenti Dunque il fascio F è proprio, ed il punto base è P = ( 3, 4) 5 Distanza di un punto da una retta Ci proponiamo di trovare la distanza di un punto da una retta, ovvero la distanza del segmento che ha come estremi un punto dato, e un punto di una retta in modo che il segmento e la retta siano ortogonali 4 y P r H x 4 0 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru

8 3 - Esercizi Sia dato il punto P 0 = (x 0, y 0 ) e la retta r : ax + by + c = 0 Supponiamo che la retta r non sia verticale 1 Consideriamo la retta s perpendicolare ad r e passante per P 0 La retta s ha equazione y y 0 = b (x x a 0) Troviamo il punto di intersezione fra la retta r ed s: risolvendo il sistema composto dalle due equazioni troviamo il punto H di coordinate ( ) H = Ora basta calcolare d(p, H) e si trova ac b x 0 + aby 0, bc abx 0 + a y 0 a + b a + b d(p, H) = ax 0 + by 0 + c a + b Esempio 11 Calcolare la distanza d del punto P (1, 4) dalla retta x 3y+5 = 0 Applichiamo la formula: d = ( 3) = 5 13 = Esercizi Esercizio 1 Considera i punti A = (1, ) e B = (3, ) 1 Trovare la distanza fra i due punti Trovare il punto medio del segmento AB 3 Trovare un punto P all interno del segmento tale che P A = P B Esercizio Considera l equazione delle rette r 1 : x = 1, r : y = 1, r 3 : y = x Disegnare in un piano cartesiano monometrico le rette Trova l intersezione delle rette prese due a due graficamente ed analiticamente 3 Trova il perimetro e l area del triangolo i cui lati appartengono alle tre rette Esercizio 3 Considera i punti A = (1, ) e B = (3, ) 1 Trova l equazione della retta s 1 passante per i punti A e B Trova l equazione della retta s perpendicolare alla retta s 1 e passante per il punto C = (4, 1) 3 Trova l equazione della retta s 3 parallela alla retta s e passante per il punto C = ( 1, 1) Esercizio 4 Consideriamo l insieme di rette F descritto dall equazione (k + 1)x + k y + k + 1 = 0, k R 1 Se la retta r fosse verticale, la distanza di P da s si può trovare senza molti calcoli Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru 1

9 Capitolo - Cenni di geometria analitica nel piano 1 Trovare la retta del fascio parallela alla retta x + 3y = 1 Trovare la retta del fascio perpendicolare alla retta x y + 4 = 0 Esercizio 5 Consideriamo la retta passante per A(1, 1) e B(0, 3) Determinare su tale retta un punto C la cui ascissa è doppia dell ordinata Consideriamo poi la retta parallela all asse x passante per A e la retta parallela all asse y passante per B Determinare il punto D di intersezione di queste due rette e calcolare l area del triangolo DAC Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru