Esperimentazioni di Fisica 1. Prova d esame del 17 luglio 2017 SOLUZIONI

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1 Esperimentazini di Fisica 1 Prva d esame del 17 lugli 2017 SOLUZIONI

2 Esp-1 Prva Scritta del 17 lugli Page 2 f 7 16/06/ (12 Punti) Quesit. Le misurazini della grandezza y in funzine della grandezza x sn riprtate nelle pprtune unità di misura, nella tabella 1. Le incertezze sulle misure della grandezza x sn trascurabili. Tabella 1. x (u.a.) y (u.a.) ± ± ± ± ± 0.04 Il mdell matematic che si intende adattare ai dati è: y = ke λx (1) dve k e λ sn due cstanti. Rappresentare graficamente i dati cn le lr incertezze utilizzand il tip di carta millimetrata a dispsizine più adatta all scp di linearizzare la relazine (1). Stimare dal grafic i parametri k e λ. Sluzine. [plt004] La linearizzazine di una funzine espnenziale cme quella prpsta nel prblema si ttiene cn l us di un grafic semilgaritmic. L intervall di variabilità della grandezza y rende necessari l us di una scala lgaritmica cn almen tre decadi. Dp avere inserit i 5 punti (cn i relativi errri ) nel grafic, cme mstrat in figura, si traccia ad cchi la retta che apprssima i dati espandendla fin ad incrciare gli assi. Stima dei parametri dell espnenziale. Riferendsi alla figura, si misura un intervall y in decadi dat da: mm y = = 2.3 decadi 89.0 mm Il valre csì ttenut è il lgaritm in base 10 di y. Piché siam interessati invece al lgaritm naturale della stessa grandezza dvrem mltiplicare il numer ttenut per ln 10 = Tenend cnt che per la retta tracciata x = 10.3 u.a., si ha: λ = y ln 10 x = x = (u.a.) 1 Si sservi che per x = 0 risulta y = k, quindi dal grafic si ttiene: k = 20 nelle stesse unità di y. In cnclusine y = 20 e 0.52x

3 Esp-1 Prva Scritta del 17 lugli Page 3 f 7 16/06/2017 CD! a\ ( rr) rf,, * $ C', a) d cl CD CD c l\- N ( a l * (f) a) cì l, (D 6. t\ (, a r) LN () N l lr) $ { (", (I, I c{ 6a d \ euu - Jpleuv prepf,, ecrsrl rp luauuedl

4 Esp-1 Prva Scritta del 17 lugli Page 4 f 7 16/06/ (12 Punti) Quesit. Un fasci di prtni (p) di alta energia è cntaminat al 10% da una cmpnente di altre particelle (pini π). Due rivelatri di particelle C 1 e C 2 di caratteristiche uguali sn psti sulla linea del fasci cme indicat in figura. I rivelatri sn in grad di ricnscere il tip delle particelle cn le seguenti efficienze: se la particella incidente è un prtne (p) i rivelatri la ricnscn cme tale nel 95% dei casi e nel 5% dei casi la classifican errneamente cme un pine (π). se la particella incidente è un pine (π) i rivelatri la ricnscn cme tale nel 70% dei casi e nel 30% dei casi la classifican errneamente cme un prtne (p). Se in un event entrambi i rivelatri indican che è passat un pine qual è la prbabilità che la particella rilevata sia effettivamente un pine? C 1 C 2 π p π p Sluzine. [tby009] Indichiam cn Rp i l event il rivelatre i, (i = 1, 2) indica è passat un prtne e Rπ i l event il rivelatre i, (i = 1, 2) indica è passat un pine. Le efficienze dei due rivelatri sn: Se la particella è un prtne P (Rp i p) = 95% P (Rπ i p) = 0.05 (i = 1, 2) Se la particella è un pine P (Rp i π) = 30% P (Rπ i π) = 0.70 (i = 1, 2) Calcliam la prbabilità che una una particella del fasci sia un pine ppure un prtne. Partend dal dat sulla cntaminazine del fasci P (π)/p (p) = 0.100, si ricava P (π) = e P (p) = La prbabilità che entrambi i rivelatri indichin che è passat un pine è: P (Rπ 1 π 2 ) = P (Rπ 1 p)p (Rπ 2 p)p (p) + P (Rπ 1 π)p (Rπ 2 π)p (π) = = (0.05) (0.70) = La prbabilità cercata è P (π Rπ 1 π 2 ), che per il terema di Bayes vale: P (π Rπ 1 π 2 ) = P (Rπ 1π 2 π)p (π) P (Rπ 1 π 2 ) = P (Rπ 1 π)p (Rπ 2 π)p (π) P (Rπ 1 π 2 ) = (0.70) = (12 Punti) Quesit. Si vule verificare se una lente dichiarata sferica abbia effettivamente un raggi di curvatura unifrme. Per questa verifica si utilizza un sfermentr misurand la sagitta in due punti differenti della lente. Si psizina l sfermetr spra la lente nel

5 Esp-1 Prva Scritta del 17 lugli Page 5 f 7 16/06/2017 punt che indichiam cn A e si esegun 6 misure della sagitta; le misure sn riprtate in tabella nella clnna A. Quindi si spsta l sfermetr nella psizine B e si ripete la misurazine. I risultati di questa secnda misurazine sn riprtati nella clnna B della tabella. n. misura A (mm) B (mm) La cmpnente dell incertezza u t (x) dvuta alla taratura dell sfermetr è data da: u(x) = αx cn α = dve x è la lettura dell strument. Verificare cn l us del test del χ 2 se le misurazini della sagitta sn unifrmi (vver se il raggi di curvatura della lente è cstante) Sluzine. [unc034] La media e la deviazine standard campinarie per le misurazini della sagitta nei psti A e B sn riprtate nella seguente tabella pst media (mm) dev. std (mm) dev. std. della media (mm) A B Le incertezze ttali sulle due misure della sagitta (u T t (A), u T t (B)), si ttengn dalla smma in quadratura della incertezza di tip A (vver la deviazine standard della media campinaria) cn l incertezza dvuta alla taratura dell strument. u T t (A) = s 2 + (h h A α) 2 = ( ) 2 + (0.0108) 2 = mm A u T t (B) = s 2 + (h h B α) 2 = ( ) 2 + (0.0109) 2 = mm B dve h A = mm, h B = mm sn le medie delle misure della sagitta nei due psti e s ha e s hb sn le relative deviazini standard di tip A delle medie aritmetiche. Prima di applicare il metd dei minimi quadrati, che in quest cas particlare cnsiste nel calclare la media pesata dei due valri medi h A e h B, è necessari sservare che per rispndere alla dmanda del prblema, vver se le due sagitte misurate sn uguali, l incertezza da prendere in cnsiderazine è sltant quella statistica (incertezza di tip A) in quant quella di taratura sulle due misurazini è frtemente crrelata e quindi influenza all stess md le due misure. Media pesata: Calcl del χ 2 : ĥ = h A/s 2 h A + h B /s 2 h B 1/s 2 h A + 1/s 2 h A = mm χ 2 = ) 2 ) 2 (ĥ ha (ĥ hb + = (3.15) 2 + ( 2.41) 2 16 s ha s hb Il numer di gradi di libertà è 1 (2 punti sperimentali e un parametr calclat). Essend P ν=1 (χ 2 > 16) 0 si cnclude che i valri misurati delle due sagitte nn sn uguali cn un alt grad di prbabilità ( 1)

6 Esp-1 Prva Scritta del 17 lugli Page 6 f 7 16/06/ (12 Punti) Quesit. La misurazine di una certa grandezza y cnsiste di cnteggi che segun la statistica di Pissn. La grandezza y è misurata in funzine di un altra grandezza x (nelle pprtune unità di misura) cn i risultati mstrati in tabella. L incertezza sui valri della grandezza x è trascurabile. x i y i Una teria prevede che la grandezza y dipenda linearmente dalla grandezza x secnd la relazine: y = bx dve b è un parametr incgnit. Mediante il metd dei minimi quadrati stimare il parametr b. Verificare cn il test del χ 2 se i dati nella tabella sn cmpatibili cn il fit ttenut indicand inltre il mtiv per cui si può applicare il test del χ 2 in quast cas. Sluzine. [chi2012] Piché le grandezze y i segun la statistica di Pissn, la stima dell incertezza sulle y i è data dalla lr radice quadrata. Quindi il pes w i di gni misura è: w i = 1/y i. Il metd dei minimi quadrati applicat a quest cas particlare prta alla minimizzazine dell espressine R 2 = w i (y i bx i ) 2 Annulland la derivata di R 2 rispett a b si ttiene: wi x i (y i bx i ) = 0 da cui b = wi x i y i wi x 2 i = xi x 2 i /y i Esplicitamente: xi = 4(4 + 1)/2 = 10, x 2 i y i = = Dve nella prima smmatria si è usata la frmula della smma di una prgressine aritmetica. La stima del parametr b vale quindi: Calcl del χ 2 : ˆb = = χ 2 = (y i ˆbx i ) 2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 = y i = 3.82 Il numer di gradi di libertà è 3. Per cui il χ 2 ridtt è: χ 2 = Dalle tabelle si ricava P ( χ 2 > 1.27) 0.28 valre che cnferma la validità del fit ttenut. 5. (6 Punti) Quesit. Definire l errre di misura e l incertezza di misura. Definire inltre le incertezze di Tip A e di Tip B Sluzine. [unc028] Vedi i paragrafi 3.2 e 3.6 del capitl 3 delle dispense reperibili nel sit web del dcente.

7 Esp-1 Prva Scritta del 17 lugli Page 7 f 7 16/06/ (6 Punti) Quesit. Dimstrare che la variabile aleatria F (x) definita cme: F = x f(x )dx ha una distribuzine di prbabilità unifrme se f(x) è una generica distribuzine di densità di prbabilità della variabile x. Sluzine. [prb022] Vedi l ultim paragraf del capitl 5 delle dispense reperibili nel sit web del dcente.