x : p x,i = 2 MV 0 = MV 3 cosθ MV 4 cosθ 4 = p x,f y : p y,i = 0 = MV 3 sinθ 3 3 MV 4 sinθ 4 = p x,f

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1 Esercizio 1 Il corpo 1 e il corpo 2, entrambi considerabili come puntiformi, si trovano su un piano orizzontale xy privo di attrito. Inizialmente, rispetto al sistema di riferimento inerziale x y, il corpo 1 si muove si moto rettilineo uniforme di velocità V 0 = 12 m/s diretta come il semiasse positivo delle x, in direzione del corpo 2 che è in quiete. Entrambe le particelle hanno massa M 1 = = 2M con M = 0.1 kg). A seguito dell urto i due corpi risultanti hanno rispettivamente massa M 3 = M e M 4 = 3M. Dopo l urto il corpo 4 ha una velocità di modulo V 4 = 7.46 m/s formante con il semiasse positivo delle x un angolo θ 4 = 20 o, come mostrato in figura. Nel sistema di riferimento inerziale x y: a. Determinare V 3, il vettore velocità del corpo 3 dopo l urto. b. Determinare se l urto è elastico o inelastico. Nel sistema di riferimento del centro di massa: c. Calcolare la quantità di moto dei corpi 3 e 4 dopo l urto. a. Durante l urto non agiscono forze esterne sul sistema formato dai due corpi e quindi la quantità di moto che indichiamo con p) si conserva; è una grandezza vettoriale e quindi si conservano tutte le sue componenti in un sistema di riferimento sdr) fissato. Considerando il sdr indicato in figura, proiettiamo p sugli assi x e y, e applichiamo la legge di conservazione appena menzionata utilizando le informazioni sulle masse e le velocità dei corpi fornite. Indichiamo con V 3 e V 4 le velocità dei corpi 3 e 4 dopo l urto, e θ 3 e θ 4 gli angoli formati da questi vettori con l asse delle x, come indicati in figura: entrambi gli angoli sono da considerarsi positivi. Il vettore V 4 ha quindi modulo V 4 e componenti V 4,x = V 4 cosθ 4, V 4,y = V 4 sinθ utilizzando le informazioni sulle masse di corpi: x : p x,i = M 1 V 0 = M 3 V 3 cosθ 3 + M 4 V 4 cosθ 4 = p x,f y : p y,i = 0 = M 3 V 3 sinθ 3 M 4 V 4 sinθ 4 = p y,f x : p x,i = 2 MV 0 = MV 3 cosθ MV 4 cosθ 4 = p x,f y : p y,i = 0 = MV 3 sinθ 3 3 MV 4 sinθ 4 = p x,f È un sistema di due equazioni in due incognite V 3 e θ 3 ) che può quindi essere risolto. V 3,x = V 3 cosθ 3 = 2V 0 3V 4 cosθ 4 V 3,y = V 3 sinθ 3 = 3V 4 sinθ 4 1)

2 dividendo la seconda equazione per la prima da cui si ricava 3V 4 sinθ 4 tgθ 3 = 2V 0 3V 4 cosθ 4 3V 4 sinθ ) 4 θ 3 = artg 2V 0 3V 4 cosθ 4 Il modulo di V 3 può quindi essere ricavato da una delle due equazioni iniziali. Usando per esempio la seconda V 3 = 3V 4sinθ 4 sinθ 3 facendo uso del valore di θ 3 appena ricavato. Il vettore V 3 può essere univocamente determinato anche dando il valore delle sue componenti lungo gli assi -cfr eq.1)-. b. Per determinare il tipo di urto elastico od inelastico) è necessario valutare l energia cinetica la indichiamo con E K ) del sistema prima e dopo l urto e verificare se si conserva oppure no. Vale: E K,i = 1 2 2M)V 2 0 E K,f = 1 2 M)V M)V 4 2 Si determina che l energia cinetica NON si conserva e quindi che l urto è inelastico. Il risultato è aspettato, in quanto nell urto le masse sono deformate. c. Non agendo forze esterne durante l urto, il moto del centro di massa NON viene modificato ed è il medesimo prima e dopo l urto. È più semplice ricavare la sua velocità prima dell urto: V CM = M 1V 0 = 2M V 0 M 1 + 4M = V 0 2 Nel sistema di riferimento del centro di massa le velocità di M 3 e M 4 sono V 3 = V 3 V CM e V 4 = V 4 V CM Per la quantità di moto vale p 3 = p 4 poichè nel sistema del centro di massa la quantità totale del sistema è nulla. Possiamo calcolare p 3 o p 4 o entrambi, e verificare che vale la relazione appena enunciata): p 3 = MV 3 = M V 3 V CM ) p 4 = 3MV 4 = 3M V 4 V CM ) p 3,x = MV 3,x V 0 /2) p 3,y = MV 3,y p 4,x = 3MV 4,x V 0 /2) p 4,y = 3MV 4,y A: v 0 = 12m/s, v 4 = 7.52m/s, θ 4 = 20 o a. v 3 = 8.2 m/s, θ 3 = 70 o, b. inelastico: E k,i = 14.4 J, E k,f = 11.8 J c. p 3,x = 0.32 kg m/s, p 3,y = 0.77 kg m/s, p 4 = p 3 A: v 0 = 11m/s, v 4 = 6.65m/s, θ 4 = 25 o a. v 3 = 9.3 m/s, θ 3 = 65 o, b. inelastico: E k,i = 12,1 J, E k,f = 11.0 J c. p 3,x = 0.16 kg m/s, p 3,y = 0.84 kg m/s, p 4 = p 3

3 Esercizio 2 Il telescopio spaziale Hubble di massa M = kg si muove su un orbita circolare attorno al pianeta Terra o Marte) con energia meccanica E M. Sia M P la massa del pianeta, R P il suo raggio. Ricordando che la costante di gravitazione universale è γ = N m 2 kg 2 : a. Calcolare a quale altitudine h dalla superficie del pianeta orbita il telescopio spaziale. b. Calcolare il periodo orbitale del telescopio intorno al pianeta. c. Calcolare l energia cinetica del telescopio nel suo moto orbitale. Il telescopio orbita intorno al pianeta, quindi la Forza di attrazione gravitazionale del pianeta F G ) fornisce la forza centripeta F C ) necessaria per mantenerlo sull orbita circolare di raggio R P + h con velocità V : F G = G M P M R P + h) 2 = M V 2 R P + h) = F C 2) La sua energia meccanica è la somma dell energia cinetica E K ) e potenziale gravitazionale U): E M = E K + U = 1 2 MV 2 G M P M R P + h). 3) Abbiamo due equazioni in cui le uniche incognite sono h e V o equivalentemente h e il periodo orbitale T = 2πR P +h) V ), che possono quindi essere ricavate. In particolare semplificando i termini dell equazione 2) e dividendo per 2 si trova 1 2 G M P M R P + h) = M V 2 R P + h) cioè U/2 = E K, equivalente anche a 2E K + U = 0 o E M = E K o E M = U/2. Questo risultato è noto come Teorema del Viriale e ci permette di ricavare direttamente le grandezze fisiche richieste nel problema, in funzione dei dati forniti nel testo. a. U = G M P M R P +h) = 2E M e quindi h = G M P M 2E M R P c. E K = E M b. E K = 1 2 MV 2 da cui V = trovato al punto a.) 2E K M = 2E M M. Segue che T = 2πR P +h) V A: TERRA - M P = kg, R P = 6370 km, E M = J a. h = 605 km; b. T = 96.6 minuti, c. E K = J B: MARTE - M P = kg, R P = 3390 km E M = J a. h = 307 km; b. T = minuti, c. E K = J il valore di R P + h è stato

4 Esercizio 3 La massa M 1, appoggiata ad un piano liscio, è connessa ad una massa tramite una corda inestensibile di massa trascurabile che è avvolta intorno ad una carrucola di raggio R e massa M che può ruotare intorno ad un asse orizzontale si veda la figura). a. Determinare l accelerazione dei corpi M 1 e b. Calcolare le tensioni della corda. Per risolvere il problema ricordarsi di disegnare chiaramente tutte le forze che agiscono sugli elementi del sistema. In figura sono riportati i diagrammi delle forze -non in scala!- che agiscono sui tre elementi del sistema. Le reazioni vincolari assicurano che non ci sia moto verticale per M 1 e moto di traslazione per M: M 1 : M 1 g = N M : R x = T 1 R y = Mg + T 2 Per descrivere il moto considero un sistema di riferimento diretto lungo la corda nel verso in cui si muovono le masse M 1 e. Per il momento delle forze l asse -che chiamiamo z- è perpendicolare al foglio in direzione uscente. L equazione del moto per i tre elementi del sistema si riduce a: M 1 : T 1 = M 1 a M : T 1 T 2 )R = Iα = I a R : T 2 + g = a Si tratta di un sistema di tre equazioni in tre incognite a, T 1 e T 2 ), che quindi è risolvibile. a. Sostituendo la prima equazione T 1 = M 1 a e la terza T 2 = g a) nella seconda: M 1 a g + a) = I R 2 a

5 da cui a = M I/R 2 g b. M 1++I/R 2 T 1 = M 1 a = M 1 g T 2 = g a) = g 1 M 1++I/R 2 ) = g M1+I/R 2 M 1++I/R 2 ) A: M 1 = 10 kg, = 7.5 kg, M = 25 kg, R = 0.5m a. a = g/4 = 2.45 m/s 2 ; b. T 1 = 24.5N, T 2 = 55.1N. B: M 1 = 7.5 kg, = 10 kg, M = 25 kg, R = 0.6m a. a = g/3 = 3.27 m/s 2 ; b. T 1 = 24.5N, T 2 = 65.3N.