GENERALITÀ Esaminando i fenomeni collettivi si è affermato che una delle loro caratteristiche è quella di essere costituiti da più fenomeni

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1 GENERALITÀ Esaminand i fenmeni cllettivi si è affermat che una delle lr caratteristiche è quella di essere cstituiti da più fenmeni individuali atipici; si è anche studiat che il carattere di un fenmen cllettiv può assumere mdalità qualitative quantitative e che l attitudine che tali fenmeni hann ad assumere diverse mdalità qualitative si dice mutabilità, mentre l attitudine ad assumere diverse mdalità quantitative si dice variabilità. Si è vist cme si pssa fare us dei valri medi all scp di cndensare l insieme dei dati prvenienti dalle sservazini in un unic valre che pssa rappresentarli tutti. Tale valre è spess indicat cme <<centr>> della distribuzine. Occrre ra tenere presente un cncett essenziale della statistica, e ciè che un valre medi, cmunque calclat, nn è sufficiente a rappresentare l insieme delle sservazini effettuate ( l insieme dei valri assunti dalla variabile statistica); è necessari quindi affiancare ad ess altri indici che sian in grad di frnire delle infrmazini sulla dispersine, in pratica sulla distanza delle varie sservazini dal valre medi che rappresenta il centr della distribuzine.

2 Tant minre è la distanza ( dispersine) delle sservazini dal centr, tant maggire sarà la rappresentatività e l affidabilità del valre medi. Gli indici di variabilità assumn valre zer sl se è nulla la variabilità, e tutti i valri xi sn quindi uguali fra lr; all aumentare della variabilità tali indici assumerann valri sempre maggiri. Riassumend, pssiam affermare che un carattere saliente dei dati statistici è la variabilità. Per analizzare una distribuzine, dp aver calclat un più valri medi si cerca di evidenziare la dispersine dei dati, dispersine che caratterizza la variabilità del fenmen. Può interessare cnscere sia di quant i dati differiscn da un valre medi, sia di quant i dati differiscn fra lr. Vi sn vari indici che misuran la variabilità di un fenmen. CAMPO DI VARIAZIONE È il più semplice da calclare ed è dat dalla differenza fra il maggire e il minre dei valri rilevati. Talvlta il camp di variazine si esprime indicand, invece della differenza fra il maggire e il minre dei valri rilevati, gli estremi dell intervall. Il camp di variazine è un indice mlt semplice da calclare, ma di scarsa imprtanza perché tiene cnt sl dei valri estremi e nn degli altri. SCARTO QUADRATICO MEDIO E VARIANZA Cnsideriam gli scarti dei valri dalla media aritmetica, ssia le differenze xi-m. Per valutare la maggire minre dispersine dei valri dalla media aritmetica, si cerca un valre medi degli scarti. Abbiam già vist che la media aritmetica degli scarti è zer e pertant nn è significativa. Un degli indici più utilizzat è l scart quadratic medi. Si definisce scart quadratic medi la media quadratica, semplice pnderata, degli scarti dei valri dalla media aritmetica.

3 Nel cas di serie si ha: L scart quadratic medi è tant più piccl quant più i dati sn prssimi al valre medi ed è uguale a zer se e sl se i dati sn tutti eguali fra lr. Il quadrat dell scart quadratic medi σ ² è dett varianza. Per il calcl della varianza σ ², dell scart quadratic medi σ, si può utilizzare una frmula che si ttiene cn semplici passaggi. La ricaviam per le serie, ntand che una relazine analga vale per le seriazini. La varianza è eguale alla differenza fra la media aritmetica semplice pnderata dei quadrati dei valri e il quadrat della media. Se i dati sn raggruppati in classi, cme per il calcl della media, si prende cme xi il valre centrale di gni classe anche se quest cmprta un errre di apprssimazine dvut prpri al raggruppament. L scart quadratic medi è un indice della dispersine dei dati mlt sensibile per misurare l esistenza dei dati che si scstan mlt dal valre medi. L scart quadratic medi ( la varianza) sn utilizzati per determinare un mdell teric del fenmen. SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO

4 Un altr indice di variabilità è l scstament semplice medi, che è la media aritmetica dei valri assluti degli scarti xi da un valre medi. Si utilizzan due scstamenti semplici medi: l scstament semplice medi dalla media aritmetica: (S m = spintarella mlt frte )(scherz) l scstament semplice medi dalla mediana: Le precedenti relazini sn date per una seriazine; nel cas di serie è sufficiente prre yi = 1. Per la prprietà caratteristica della mediana, l scstament semplice medi dalla mediana è minre di qualsiasi scstament semplice medi delle xi da qualunque valre. Nelle applicazini si preferisce usare σ, invece di SM, piché σ evidenzia megli gli scarti maggiri in valre asslut. INDICI DI VARIABILITÀ RELATIVA Tutti gli indici di variabilità sn definiti indici di variabilità assluta e sn espressi nella stessa unità di misura del fenmen cnsiderat; nel cas ccrra cnfrntare più distribuzini che sian espresse cn diverse unità di misura, si ricrre agli indici di variabilità relativa. Tali indici si calclan facend il rapprt fra gli indici di variabilità assluta e l intensità media del fenmen. Il più usat è il cefficiente di variabilità del Pearsn dat dall espressine: Gli altri indici hann espressine:

5 Gli indici di variabilità relativa hann quindi la caratteristica di essere dei numeri puri, indipendenti ciè dall unità di misura prescelta, e permettn di cnfrntare più distribuzini. CONCENTRAZIONE Un particlare aspett della variabilità di un fenmen è la cncentrazine. L studi della cncentrazine è utile per vedere se il fenmen è equamente distribuit fra tutte le unità statistiche ppure è cncentrat in pche unità. Ad esempi, si può affermare che la distribuzine delle scule elementari è pc cncentrata sul territri italian perché quasi tutti i Cmuni ne pssiedn almen una, mentre la distribuzine delle Università è mlt cncentrata perché pchi Cmuni sn sedi di Università. Sn state intrdtte varie misure della cncentrazine. Interessante è il metd grafic di Lrenz applicat all studi della distribuzine della ricchezza; ess è assai utile se i dati sn numersi e raggruppati in classi. Data una variabile statistica: X1 X2 Xn Y1 Y2 Yn Dve xi sn i valri nel discret i centri delle classi nel cas di raggruppamenti in classi e le yi sn le frequenze, si cnsiderin i prdtti xi yi (essi rappresentan l intensità del carattere della classe i-esima) e la lr smma: (rappresenta l intensità glbale del fenmen). Si calclan le frequenze cumulate e le intensità cumulate, quindi le frequenze relative cumulate e le intensità relative cumulate, che si ttengn,

6 le prime dividend le frequenze cumulate per la smma delle frequenze e le secnde dividend le intensità cumulate per l'intensità glbale. Se le intensità relative cumulate sn eguali alle frequenze relative cumulate, significa che il fenmen è equidistribuit piché a una certa frazine delle unità statistiche crrispnde una frazine uguale dell intensità del fenmen; se, invece, sn minri, il fenmen è tant più cncentrat quant più le intensità relative cumulate differiscn dalle frequenze relative cumulate. La cncentrazine è massima quand la curva di cncentrazine cincide cn i cateti del triangl OAB, in pratica quand l intensità glbale è cncentrata in una sla unità statistica. Se l intensità è equamente distribuita, la curva di cncentrazine cincide cn la retta di equidistribuzine OB. Quant maggiri sn le differenze pi qi, altrettant maggire è la cncentrazine. Un rapprt di cncentrazine si ttiene dividend la misura dell area di cncentrazine per la misura dell area del triangl OAB; Risulta: Se l area di cncentrazine è zer, ssia se la curva di cncentrazine cincide cn la retta di equidistribuzine, allra R = 0 e si afferma che nn esiste cncentrazine. Se l area di cncentrazine cincide cn quella del triangl OAB, allra R = 1 e la cncentrazine è massima. In tutti gli altri casi si ha 0<R<1. Quindi si ha: Cnsiderand che: L area del triangl OAB equivale a ½,

7 L area di gni trapezi si ttiene cn la frmula: e nel nstr cas: Il prim trapezi in realtà è un triangl rettangl, la frmula per il calcl di R diventa: La frmula di R si può semplificare dividend il numeratre e il denminatre per ½: Effettuand il prdtt tteniam: Piché: e p n q n è uguale a 1, la precedente uguaglianza diventa: In definitiva il rapprt di cncentrazine risulta:

8 Questi grafici nn sn mlt significativi (tra l altr nn li h nemmen presi tutti, altrimenti invece di una tesina veniva una grafi china ) ma mi ha attirat l ultim per la sua riginalità Ricerche crrelate:

9 grafici a trta

10 diagramma a clnne quell che mi sembrava carin

11 Il prim è il sit dei grafici che, nn è significativ ai fini della tesina atistica+descrittiva&revid= &sa=x&ei=qf_qt_yrlkx54qs7 ssyeaw&ved=0ceqqgxy4cg

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