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1 Dip. di Ingegneria, Univ. Roma Tre Prof. E. Scoppola, Dott.M. Quattropani Probabilità e Statistica, 17-18, I semestre Settembre 18 Scritto del Cognome Nome Matricola Esercizio 1. Un urna contiene 3 palline nere, 3 palline bianche e 4 gialle. Si effettuano due estrazioni senza rimpiazzo. i) Calcolare la probabilità che entrambe le palline siano nere. ii) Calcolare la probabilità che una sia bianca e l altra nera. iii) Calcolare la probabilità che almeno una sia gialla. Siano E i, E ii ed E iii gli eventi relativi alle tre domande. ( 3 P (E i ) = ) ) = = 1 15 P (E ii ) = ( 1 ( 3 )( 3 1( 1) 3 1 ) = = 1 5 Calcolo la probabilità dell evento complementare, Eiii c, nessuna è gialla: ( 6 P (Eiii) c = ) ) = = 1 3 ( 1 P (E iii ) = 1 P (E c iii) = 3.

2 Esercizio. Un urna contiene 6 monete, 4 sono eque e sono false perché hanno testa su entrambe le facce. Prendo a caso una moneta dall urna e la lancio. i) Qual è la probabilità di ottenere testa? ii) Sapendo che è uscita testa determinare la probabilità di aver estratto una moneta falsa. Denotando con F l evento estratta una moneta falsa e con T l evento é uscita testa, per la formula della probabilità totale abbiamo: Dalla formula di Bayes otteniamo P (T ) = P (T F )P (F ) + P (T F c )P (F c ) = = 3 P (F T ) = P (T F )P (F ) P (T ) = 1

3 Esercizio 3. Siano X e Y variabili di Poisson indipendenti di parametri λ e λ rispettivamente. i) Determinare la funzione generatrice dei momenti, la media e la varianza di X. ii) Determinare la probabilità che X >. iii) Determinare la distribuzione di X + Y. iv) Determinare la probabilità che X + Y > i) La funzione generatrice dei momenti di una variabile di Poisson di parametro λ è [ Φ X (t) := E e tx] = exp{λ(e t 1)} ii) e inoltre E[X] = λ = V ar(x). P (X > ) = 1 P (X = ) P (X = 1) P (X = ) = 1 e λ( 1 + λ + λ ) iii) La variabile X + Y ha distribuzione di Poisson di parametro 3λ iv) P (X+Y > ) = 1 P (X+Y = ) P (X+Y = 1) P (X+Y = ) = 1 e 3λ( 1+3λ+ 9λ )

4 Esercizio 4. Si considerino due variabili aleatorie X e Y con distribuzione congiunta data dalle seguente densità di probabilità f(x, y) = ay1 {x [,1], y [,1], x y} 1. Determinare il valore della costante a.. Calcolare le due densità marginali e i due valori medi EX e EY. 3. Determinare se le variabili X ed Y sono indipendenti. 4. Determinare la covarianza Cov(X, Y ). Tenendo conto delle restrizioni imposte dalla funzione caratteristica dobbiamo porre dx dy ay1 {x y} = a y dy y dx = 1 da cui a = 3. Integrando la densità f(x, y) in y otteniamo la densità marginale f X, non nulla per x [, 1], che vale f X (x) = 3 x ydy = 3 (1 x ) e integrando in x otteniamo la densità marginale f Y, non nulla per y [, 1], che vale f Y (y) = 3y y dx = 3y. Le variabili aleatorie X ed Y non sono indipendenti. Per i valori medi otteniamo: EX = 3 x(1 x )dx = 3 8 E(XY ) = 3 EY = 3 dy y 3 dy = 3 4 dxxy 1 {x y} = 3 y 4 dy = 3 1. Cov(X, Y ) = E(XY ) EX EY = = 3 16

5 Esercizio 5. Determinare la stima di massima verosimiglianza per µ e σ per una popolazione normale (o gaussiana) dai seguenti dati: 3,, 3, 3, 4,, 4, 3, 5, 3,, Lo stimatore di massima verosimiglianza per la media è la media campionaria X e per la varianza 1 n i (X i X) 1 da cui otteniamo le stime 3 e 1 = 5 6 rispettivamente per µ e σ.

6 Esercizio 6. Supponendo di sapere che la varianza del campione normale riportato nell esercizio 5 sia unitaria, determinare un intervallo di confidenza bilaterale al 95% per la media µ. Si ricordi z, e z Un intervallo di confidenza al 95% per la media di una distribuzione normale con varianza nota è dato da ( x 1.96 σ n, x σ n ) e dunque nel nostro caso ( , ).