Insegnamento di Idrologia. Esercitazione n. 1. 1) che il tempo di ritorno della portata di progetto deve essere di 200 anni;

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1 Insegnamento di Idrologia Esercitazione n. 1 Si vuole costruire un argine lungo l'adda, nei pressi di Fuentes, in provincia di Sondrio. Per l'analisi idrologica sono disponibili i massimi annuali della portata al colmo dell'adda osservati a Fuentes nel periodo Determinare la quota da assegnare alla sommità dell'argine (assumendo il massimo annuale della portata al colmo distribuito secondo la legge di Gumbel), sapendo 1) che il tempo di ritorno della portata di progetto deve essere di 200 anni; 2) che il franco (differenza di livello tra la sommità dell'argine e la superficie dell'acqua) deve essere di 1 m; 3) che la scala delle portate dell'adda a Fuentes è fornita dalle equazioni Q = 134,97h 1, per h < 0,83, Q = 168,66(h - 0,1) 1, per h 0,83, dove Q è la portata (in metri cubi al secondo) e h è l'altezza idrometrica (riferita allo zero, in metri); 4) che lo zero idrometrico è posto alla quota di 198,02 m s.l.m.

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5 Elaborazioni Osservazioni Le osservazioni utilizzate (che sono solo una parte di quelle disponibili) provengono dalla pubblicazione n. 17 (in più volumi) del Servizio Idrografico Dati caratteristici dei corsi d'acqua italiani, che contiene, tra le altre informazioni, i massimi annuali della portata media giornaliera e quelli della portata al colmo (qui indicati con il simbolo Q). Ciascun volume della pubblicazione contiene in genere i dati relativi a un decennio (l'ultimo volume pubblicato si riferisce al decennio ). Il Servizio Idrografico è stato sostituito per breve tempo dal Servizio Idrografico e Mareografico Nazionale. Attualmente i compiti dei diversi compartimenti del Servizio Idrografico e Mareografico Nazionale sono svolti dalle diverse Agenzie Regionali per la Protezione dell'ambiente (ARPA). Calcolo dei parametri della distribuzione di Q con il metodo dei momenti Applicando il metodo dei momenti, dal campione di massimi annuali della portata al colmo Q dell'adda a Fuentes (composto di 24 elementi) si ricavano innanzi tutto le stime della media m(q) e dello scarto quadratico medio s(q) della variabile Q. Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza indistorta (cioè calcolata dividendo la somma dei quadrati degli scarti dalla media per la dimensione N del campione diminuita di uno). Si ottiene m(q) = 618,0 m 3 s -1, s(q) = 247,2 m 3 s -1. Quindi si stimano i valori dei parametri α e u della funzione di probabilità della distribuzione di Gumbel P(Q) = exp{-exp[-α(q - u)]}, utilizzando le espressioni α = 1,283/σ(Q), u = µ(q) - 0,450σ(Q), che legano i parametri α ed u alla media µ(q) e allo scarto quadratico medio σ(q). Il calcolo di α e u si effettua sostituendo a µ(q) e a σ(q) le rispettive stime m(q) ed s(q).

6 Si ottengono così i seguenti valori dei parametri: 1,283 α = 247,2 = 0, sm-3, u = 618,0-0, ,2 = 506,8 m 3 s -1. Calcolo delle frequenze ed esecuzione del grafico Per controllare la bontà dell'adattamento alle osservazioni della distribuzione individuata si riportano sulla carta probabilistica di Gumbel le osservazioni e la retta che rappresenta la distribuzione. Innanzi tutto si ordinano le osservazioni in ordine crescente e si calcola la frequenza F di non superamento di ogni osservazione con la formula di Weibull F(Q i ) = i N + 1, dove Q i è l'i - esima osservazione (in ordine crescente) ed N è la dimensione del campione (qui uguale a 24). Le frequenze calcolate sono riportate nella tabella che segue. i Q [m 3 s -1 ] F i Q [m 3 s -1 ] F , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,980 Nella carta probabilistica di Gumbel allegata al testo l'asse destinato alla variabile (la portata Q) è quello verticale. Tutte le osservazioni debbono poter essere riportate nel grafico e i relativi punti debbono riempire al massimo lo spazio disponibile. D'altra parte occorre scegliere una scala di agevole lettura. Poiché la graduazione già riportata sulla carta copre una lunghezza totale di 16 cm, mentre i valori di portata vanno da 225 a 1169 m 3 s -1, la scelta più opportuna è di far corrispondere alla portata di 100 m 3 s -1 una distanza misurata sulla scala di 1 cm.

7 Le tre scale orizzontali sono destinate, rispettivamente, alla probabilità di non superamento P, al tempo di ritorno T e alla variabile ridotta y. Le relazioni tra i valori di T, P e y letti su una stessa verticale sono dunque 1 T = 1 - P, y = -ln(-ln P). Poiché la frequenza F è un'approssimazione della probabilità P, l'asse delle probabilità P si assume anche come asse delle frequenze F. Per tracciare la retta che rappresenta la distribuzione di probabilità stimata basterebbe naturalmente, in linea teorica, calcolare due soli valori, corrispondenti a due valori assegnati della variabile ridotta y, e riportare i due punti corrispondenti sulla carta probabilistica. Allo scopo pratico di avere un controllo della correttezza del tracciamento è però opportuno usare non due ma tre punti, che debbono risultare allineati, in assenza di errori di calcolo o di disegno. Occorre inoltre scegliere le ascisse dei punti in modo che l'ordinata resti compresa nello spazio del grafico. La portata Q risulta fornita dalla relazione y Q = u + α. Per esempio si possono adoperare i tre punti corrispondenti ai tre valori 0, 3 e 5 della variabile y, le cui coordinate (espresse approssimando le portate Q al metro cubo al secondo), sono y Q [m 3 s -1 ] Calcolo dell'altezza idrometrica corrispondente alla portata con tempo di ritorno di 200 anni e della quota della sommità dell'argine La relazione tra tempo di ritorno (espresso in numero di osservazioni) e probabilità di non superamento è P = 1-1 T. Trattandosi di massimi annuali, per definizione osservati una volta sola all'anno, il tempo di ritorno espresso in anni è uguale al tempo di ritorno espresso in numero di osservazioni.

8 Al tempo di ritorno di 20 anni corrisponde quindi la probabilità di non superamento 1 P = = 0,995. Poiché la probabilità di non superamento P è legata alla portata Q dalla relazione P(Q) = exp{-exp[-α(q - u)]}, la portata Q è fornita in funzione della probabilità di non superamento P dalla relazione inversa 1 Q= u - α ln( -ln P ) = u + 5,2958. α Si ottiene così per la portata con tempo di ritorno di 200 anni il valore (arrotondato al metro cubo al secondo) di 1527 m 3 s -1. La scala delle portate è fornita da due diverse espressioni, a seconda che l'altezza idrometrica sia inferiore o superiore a 0,83 m. Trattandosi di piene, assumiamo inizialmente che l'altezza idrometrica corrispondente alla portata calcolata di 1527 m 3 s -1 sia superiore a 0,83 m, e utilizziamo l'espressione valida in quel campo di altezze idrometriche. (Se l'altezza idrometrica trovata dovesse poi risultare inferiore a 0,83 m, occorrerebbe ripetere il calcolo, utilizzando l'altra espressione.) Dalla formula Q = 168,66(h - 0,1) 1, si ricava h = 0,1 + Q 168,66 1 1, Utilizzando l'espressione di h in funzione di Q si ottiene quindi h = 0, , = 3,95 m. 168,66 1 Il valore di h ottenuto è superiore a 0,83 m, conformemente all'ipotesi, e quindi si accetta. La quota z del pelo libero si calcola sommando all'altezza idrometrica la quota dello zero idrometrico. Si ottiene z = 3, ,02 = 201,97 m s.l.m.

9 La quota della sommità dell'argine z a si calcola infine sommando alla quota del pelo libero con tempo di ritorno di 200 anni il franco assegnato (1 m). Si ottiene z a = 201, = 202,97 m s.l.m.

10 'ADDA A FUENTES' 'PORTATE AL COLMO MASSIME ANNUALI' 'PERIODO ' '***' 1 '1927' 1160 '1228' 860 '1929' 502 '1930' 517 '1931' 517 '1932' 581 '1933' 688 '1934' 429 '1935' 1000 '1936' 525 '1937' 930 '1938' 418 '1939' 759 '1940' 502 '1941' 443 '1942' 863 '1943' 329 '1944' 510 '1945' 541 '1946' 682 '1947' 457 '1948' 1060 '1949' 225 '1950' 334

11 *************************************************** ADDA A FUENTES PORTATE AL COLMO MASSIME ANNUALI PERIODO OSSERVAZIONI NUMERO D'ORDINE, ETICHETTA, VALORE PER L'ANALISI STATISTICA SONO STATE ADOPERATE TUTTE LE OSSERVAZIONI OSSERVAZIONI IN ORDINE CRESCENTE NUMERO D'ORDINE, FREQUENZA, VALORE 1 F =.040 X = F =.080 X = F =.120 X = F =.160 X = F =.200 X = F =.240 X = F =.280 X = F =.320 X = F =.360 X = F =.400 X = F =.440 X = F =.480 X = F =.520 X = F =.560 X = F =.600 X = F =.640 X = F =.680 X = F =.720 X = F =.760 X = F =.800 X = F =.840 X = F =.880 X = F =.920 X = F =.960 X =

12 PARAMETRI CALCOLATI DALLE OSSERVAZIONI UTILIZZATE MEDIA = E+03 SQM = E+03 *************************************************** DISTRIBUZIONE DI GUMBEL ALFA = E-02 U = E+03 TEST CHI QUADRO NUMERO CLASSI 4 X2 = P1 = P2 = MASS. LIV. SIGN. = VALORI CORRISPONDENTI AI TEMPI DI RITORNO ASSEGNATI T = X = E+04 VALORE, PROBABILITA' CALCOLATA X = P =.013 X = P =.081 X = P =.086 X = P =.205 X = P =.224 X = P =.249 X = P =.274 X = P =.359 X = P =.359 X = P =.374 X = P =.387 X = P =.387 X = P =.403 X = P =.433 X = P =.507 X = P =.668 X = P =.677 X = P =.763 X = P =.852 X = P =.854 X = P =.895 X = P =.926 X = P =.945 X = P =.967