ENS - Prima prova in itinere del 07 Maggio 2009 Tema A

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1 ENS - Prima prova in itinere del 7 Maggio 9 Tema A L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi. Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: l/ Per la discussione dello scritto si contatti il docente via rocca@elet.polimi.it; Esercizio [Punti ] (foglio bianco) Realizzazione di un filtro IIR con diverse tecniche Un segnale audio opportunamente prefiltrato occupa un intervallo di frequenze tra e.5khz. Tale segnale viene successivamente campionato alla frequenza minima per evitare aliasing. Si richiede di realizzare tramite il metodo grafico un filtro arresta-banda in grado di sopprimere le frequenze attorno a khz in una banda ω/π pari a.5khz e con attenuazione di almeno db. a) (5 punti) Si trovi la trasformata z della risposta all impulso H ab (z) del filtro sopra descritto e se ne tracci il diagramma poli-zeri. b) ( punti) Si tracci l andamento qualitativo del modulo della fdt H ab (z = exp (jωt )) trovandone i valori alle frequenze zero e di Nyquist. c) ( punti) Si tracci l andamento qualitativo della fase della fdt H ab (z = exp (jωt )). Si realizzi ora un filtro passabanda H pb (z) centrato a KHz tramite la tecnica del campionamento in frequenza assumendo la distanza tra due zeri consecutivi pari a ω = π rad/ sec. d) (5 punti) Si calcoli la trasformata z del filtro passa banda H pb (z), e se ne tracci l andamento qualitativo del modulo H pb (z = exp (jωt )). e) (5 punti) Si realizzi un altro filtro a campionamento in frequenza passa banda, H pb (z) con distanza tra gli zeri pari a metà di quella precedente (5Hz) e una banda passante di 5Hz. Si discuta il numero di oscillatori da utilizzare e la necessità di rifasare gli oscillatori introdotti. Si determini, in particolare, il valore del termine di fase da associare a ciascun oscillatore per ottimizzare la risposta del filtro. f) ( punti) Si disegni un possibile schema implementativo del filtro H pb (z). Esercizio [Punti 8] (foglio giallo) Interpolazione con un filtro FIR triangolare e sua versione polifase. Si desideri interpolare una sinusoide alla frequenza.5khz, dalla frequenza iniziale di campionamento pari a KHz fino alla nuova frequenza di campionamento di KHz e quindi effettuando un interpolazione :. Per fare ciò, si interpongono campioni nulli per ogni campione originario. Per sopprimere le repliche spettrali dovute all inserzione di questi campioni nulli, si adotta un filtro passa basso di funzione di trasferimento H (z) a forma triangolare con 7 campioni non nulli (interpolatore lineare). a) ( punti) Si determinino le trasformate z del filtro causale triangolare e della sua versione simmetrica rispetto all origine dei tempi. b) ( punti) Si tracci l andamento qualitativo del modulo della fdt, H (z = exp (jωt )). c) ( punti) Si tracci lo spettro del segnale dopo l interpolazione della sinusoide a.5 KHz con l inserzione degli zeri, ed in particolare le posizioni e le ampiezze delle repliche spettrali della sinusoide. d) (6 punti) Si determini l attenuazione del segnale a.5khz e di due delle sue repliche spettrali, dovuta all inserzione del filtro H (z). e) ( punti) Si tracci lo schema a blocchi del filtro polifase per l interpolazione. f) ( punti) Si determini la risposta all impulso dei filtri che lo compongono.

2 ENS - Prima prova in itinere del 7 Maggio 9 Tema B L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi. Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: l/ Per la discussione dello scritto si contatti il docente via rocca@elet.polimi.it; Esercizio [Punti ] (foglio bianco) Realizzazione di un filtro IIR con diverse tecniche Un segnale audio opportunamente prefiltrato occupa un intervallo di frequenze tra e khz. Tale segnale viene successivamente campionato alla frequenza minima per evitare aliasing. Si richiede di realizzare tramite il metodo grafico un filtro arresta-banda in grado di sopprimere le frequenze attorno a khz in una banda ω/π pari a.5khz e con attenuazione di almeno db. a) (5 punti) Si trovi la trasformata z della risposta all impulso H ab (z) del filtro sopra descritto e se ne tracci il diagramma poli-zeri. b) ( punti) Si tracci l andamento qualitativo del modulo della fdt H ab (z = exp (jωt )) trovandone i valori alle frequenze zero e di Nyquist. c) ( punti) Si tracci l andamento qualitativo della fase della fdt H ab (z = exp (jωt )). Si realizzi ora un filtro passabanda H pb (z), centrato a KHz, tramite la tecnica del campionamento in frequenza assumendo la distanza tra due zeri consecutivi pari a ω = π 5 rad/ sec. d) (5 punti) Si calcoli la trasformata z della risposta all impulso del filtro passa banda H pb (z), e se ne tracci l andamento qualitativo del modulo della fdt H pb (z = exp (jωt )). e) (5 punti) Si realizzi un altro filtro a campionamento in frequenza passa banda, H pb (z) con distanza tra gli zeri pari a metà di quella precedente (5Hz) e una banda passante di 5Hz. Si discuta il numero di oscillatori da utilizzare e la necessità di rifasare gli oscillatori introdotti. Si determini, in particolare, il valore del termine di fase da associare a ciascun oscillatore per ottimizzare la risposta del filtro. f) ( punti) Si disegni un possibile schema implementativo del filtro H pb (z). Esercizio [Punti 8] (foglio giallo) Interpolazione con un filtro FIR triangolare e sua versione polifase. Si desideri interpolare una sinusoide a KHz, dalla frequenza iniziale di campionamento pari a KHz fino alla nuova frequenza di campionamento di 9KHz e quindi effettuando un interpolazione :. Per fare ciò, si interpongono campioni nulli per ogni campione originario. Per sopprimere le repliche spettrali dovute all inserzione di questi campioni nulli, si adotta un filtro passa basso di funzione di trasferimento H (z) a forma triangolare con 5 campioni non nulli (interpolatore lineare). a) ( punti) Si determinino le trasformate z del filtro causale triangolare e della sua versione simmetrica rispetto all origine dei tempi. b) ( punti) Si tracci l andamento qualitativo della risposta in ampiezza del filtro, H (z = exp (jωt )). c) ( punti) Si tracci lo spettro del segnale dopo l interpolazione della sinusoide a KHz con l inserzione di zeri, ed in particolare le posizioni e le ampiezze delle repliche spettrali della sinusoide. d) (6 punti) Si determini l attenuazione del segnale a KHz e delle sue repliche spettrali, dovuta all inserzione del filtro H (z). e) ( punti) Si tracci lo schema a blocchi del filtro polifase per l interpolazione. f) ( punti) Si determini la risposta all impulso dei filtri che lo compongono.

3 Soluzioni ENS tema d esame del 7 Maggio 9 Tema A Esercizio a) Il filtro sarà costituito da due zeri complessi e coniugati e da due poli, anch essi complessi e coniugati. Normalizzando tutte le pulsazioni alla frequenza di campionamento (9kHz) si ottiene che la semibanda del filtro pari a: ω = π.5 9 = π 6 da cui, utilizzando il metodo grafico si ottiene che la distanza ρ dei poli dall origine sarà pari a ρ = ɛ = ω ω ab = ±.5 π = ± =.98 (dove ɛ è la distanza del polo dal rispettivo zero) e che i due zeri saranno posti alle pulsazioni π. La risposta all impulso sarà pertanto H(z) = cos( ω ab)z + z cos( ω ab )ρz + ρ z = + z + z +.98z +.898z () Figura : Disposizione poli-zeri del filtro arresta banda richiesto b+c) Diagramma di ampiezza e fase del filtro realizzato. and Phase Responses Phase (radians) Figura : Andamento dell ampiezza (linea continua e unità di misura a sinistra) e della fase (linea tratteggiata e unità di misura a destra)

4 d) L impiego di un filtro a campionamento in frequenza, dovendo definirne i valori ad un intervallo di π/5 richiederà l introduzione di 9 zeri lungo la circonferenza unitaria. La realizzazione del filtro passa banda di larghezza minima richiederà l introduzione di una coppia di poli complessi e coniugati che annullino gli zeri a ± π e la trasformata z sarà pertanto: H(z) = ( ) z z + z () il modulo della fdt sarà: Figura : Diagramma poli-zeri per il solo oscillatore reale Figura : Modulo della fdt del filtro e)si dovranno introdurre 8 zeri lungo il cerchio unitario e tre coppie di poli complessi e coniugati in corrispondenza delle pulsazioni : ω = π, ω = π π 9, ω = π + π 9 (e degli analoghi valori negativi). La risposta all impulso H(z) del filtro passa-banda senza rifasamento dei poli sará quindi: H(z) = ( z 8 ) ( ) 8 + z + z + cos ( π π ) z cos ( π + π ) () 9 + z La mancanza del rifasamento determina la comparsa di ulteriori zeri sul cerchio unitario compromettendo la risposta all impulso: Nel grafico di figura 5 riportato il diagramma poli-zeri e la risposta all impulso per le sole tre coppie di poli complessi e coniugati introdotti dai tre oscillatori reali non rifasati. La risposta in ampiezza complessiva del filtro privo di rifasamento viene riportata in figura 7. L approccio più semplice, anche se approssimato, per realizzare il rifasamento consiste nel moltiplicare per - i due oscillatori alle pulsazioni normalizzate (ω = π π 9 e ω = π + π 9 ) In tal caso il digramma poli-zeri diventa quello riportato in figura 7.

5 Figura 5: Ingrandimento del diagramma poli-zeri in corrispondenza dei oscillatori reali non rifasati; si vede la comparsa dei due zeri, indicati dalle frecce, dovuti al mancato rifasamento Figura 6: Risposta in ampiezza del filtro non rifasato Figura 7: Diagramma poli-zeri con il filtro rifasato, Notare la comparsa di zeri esterni al cerchio unitario! e l ampiezza della risposta all ipulso è riportata in figura Figura 8: Andamento della ampiezza dell risposta del filtro rifasato Determinazione del coefficiente esatto di rifasamento: Rispetto all oscillatore a centro-banda gli altri due oscillatori presenterebbero uno sfasamento pari a exp(jπ N + N N ) e exp(jπ N ) con N pari a 8, ma tale dettaglio risulta praticamente impercettibile nelle risposte all impulso finali. f) Un possibile schema implementativo del filtro e riportato in figura 9 5

6 Figura 9: Possibile schema implementativo del filtro rifasato Esercizio a) le due trasformate z saranno le seguenti H (z) = + z + z + z + z + z 5 + z 6 H (z) = + ( z + z ) + ( z + z ) + z + z b) La risposta in ampiezza del filtro alla pulsazione ϕ sarà data da: la cui rappresentazione è in figura H(ϕ) = + 6 cos ϕ + cos ϕ + cos ϕ () (5) (6) Figura : Risposta in frequenza del filtro proposto c,d)indicando con φ l angolo corrispondente alla sinusoide di segnale dopo l interpolazione, si ha φ = π =.6 (7) Le repliche prima della frequenza di Nyquist sono alle frequenze ±.5KHz e 5.5 KHz, ossia agli angoli: φ,, = 5 π, 7 π, π. (8) Le ampiezze del segnale e delle repliche sono H (z) z=exp(jφi i=..) =.67,.69,.,.6 e le attenuazioni relative pari a : 6.8 db,. db e 5.8 db. e) Lo schema a blocchi viene riportato in figura f) I filtri polifase sono: E (z) = + z ; E (z) = + z ; E (z) = + z ; E (z) = (9) 6

7 Figura : Schema a blocchi del filtro polifase Soluzioni ENS tema d esame del 7 Maggio 9 Tema B Esercizio a) Il filtro sar costituito da due zeri complessi e coniugati e da due poli, anch essi complessi e coniugati; in realt, essendo la frequenza richiesta per il filtro esattamente a centro banda, sia gli zeri che i poli saranno sull asse immaginario. Normalizzando tutte le pulsazioni alla frequenza di campionamento (8kHz) si ottiene che la semibanda del filtro pari a: ω = π.5 8 = π 6 da cui, utilizzando il metodo grafico si ottiene che la distanza ρ dei poli dall origine sarà pari a ρ = ɛ = ω =.8 (dove ɛ è la distanza del polo dal rispettivo zero) e che i due zeri saranno posti in corrispondenza dei valori +i e i. La risposta all impulso sarà pertanto H(z) = + z + z + ρ = z +.66z () Figura : Disposizione poli-zeri del filtro arresta banda richiesto b+c) Diagramma di ampiezza e fase del filtro realizzato. d) L impiego di un filtro a campionamento in frequenza, dovendo definirne i valori ad un intervallo di π/8 richiederà l introduzione di 6 zeri lungo la circonferenza unitaria. La realizzazione del filtro passa banda di larghezza minima richiederà l introduzione di una coppia di poli complessi e coniugati che annullino gli zeri a ± π e la trasformata z sarà pertanto: H(z) = ( ) z z () il modulo della fdt sarà: e)si dovranno introdurre zeri lungo il cerchio unitario e tre coppie di poli complessi e coniugati in corrispondenza delle pulsazioni : ω = π π, ω = π π 6, ω = π + π 6 (e degli analoghi valori negativi). La risposta all impulso H(z) del filtro passa-banda senza rifasamento dei poli sará quindi: H(z) = ( z ) ( ) + z + cos (ω ) + z + cos (ω ) + z () 7

8 and Phase Responses Phase (radians) Figura : Andamento dell ampiezza (linea continua e unità di misura a sinistra) e della fase (linea tratteggiata e unità di misura a destra) Figura : Diagramma poli-zeri per il solo oscillatore reale Figura 5: Modulo della fdt del filtro La mancanza del rifasamento determina la comparsa di ulteriori zeri sul cerchio unitario compromettendo la risposta all impulso: Nel grafico di figura 6 riportato il diagramma poli-zeri e la risposta all impulso per le sole tre coppie di poli complessi e coniugati introdotti dai tre oscillatori reali non rifasati. 8

9 Figura 6: Ingrandimento del diagramma poli-zeri in corrispondenza dei oscillatori reali non rifasati; si vede la comparsa dei due zeri, indicati dalle frecce, dovuti al mancato rifasamento La risposta in ampiezza complessiva del filtro privo di rifasamento viene riportata in figura Figura 7: Risposta in ampiezza del filtro non rifasato L approccio più semplice, anche se approssimato, per realizzare il rifasamento consiste nel moltiplicare per - i due oscillatori alle pulsazioni normalizzate (ω = π + π 6 e ω = π π 6 ) In tal caso il digramma poli-zeri diventa quello riportato in figura Figura 8: Diagramma poli-zeri con il filtro rifasato, Notare la comparsa di zeri esterni al cerchio unitario! e l ampiezza della risposta all ipulso è riportata in figura 9. Determinazione del coefficiente esatto di rifasamento: Rispetto all oscillatore a centro-banda gli altri due oscillatori presenterebbero uno sfasamento pari a exp(jπ N + N N ) e exp(jπ N ) con N pari a, ma tale dettaglio risulta praticamente impercettibile nelle risposte all impulso finali. f) Un possibile schema implementativo del filtro e riportato in figura 9

10 Figura 9: Andamento della ampiezza dell risposta del filtro rifasato Figura : Possibile schema implementativo del filtro rifasato Esercizio a) Le due trasformate saranno rispettivamente: ( + z + z ) H (z) = = + z + z + z + z () ( + z + z ) H (z) = = + ( z + z ) + z + z () + cos ϕ+ cos ϕ b) La risposta in ampiezza alla pulsazione del filtro sarà H(ϕ) la cui rappresentazione è data in figura c,d)indicando con φ l angolo corrispondente alla sinusoide di segnale dopo l interpolazione, si ha φ = π 9 =.698 (5) Le repliche prima della frequenza di Nyquist sono alle frequenze ± KHz e quindi agli angoli: φ, = π ± 9 =.9 ±.698 =:. 9;. 788 (6) Le ampiezze del segnale e delle repliche sono H (z) z=exp(jϕi ) =. 7,.6 6, e le attenuazioni relative pari a : =.85 e a db. e) Lo schema a blocchi viene riportato in figura f) I filtri polifase sono: E (z) = + z ; E (z) = + z ; E (z) = (7)

11 Figura : Risposta in frequenza del filtro proposto Figura : Schema a blocchi del filtro polifase