Sistemi di controllo

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1 Cognome: Nome: N. Matr.: Sistemi di controllo Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 8 gennaio Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5 su 10), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. La progettazione di un azione di controllo in avanti (eventualmente approssimata) può essere realizzata se: l impianto ha grado relativo nullo l impianto ha tutti i poli a parte reale negativa l impianto è a fase minima l impianto ha tutti gli zeri a parte reale negativa 2. In un sistema in retroazione unitaria negativa le variazioni parametriche dell impianto G G sistema retroazionato F F sono legate mediante: la funzione di sensitività 1 1+R(s)G(s) la funzione di sensitività complementare R(s)G(s) 1+R(s)G(s) la funzione d anello del sistema retroazionato R(s)G(s) il guadagno statico del regolatore R(0) e quelle del 3. Se in un sistema di controllo in retroazione la funzione di anello è di tipo h = 2: l errore a regime per ingresso a gradino è nullo l errore a regime per ingresso a rampa è diverso da zero e costante l errore a regime per ingresso a parabola è costante l errore a regime per ingresso a rampa è nullo 4. Dato un sistema in retroazione negativa con funzione d anello L(s) priva di poli a parte reale positiva e il cui diagramma di Bode delle ampiezze attraversa in un solo punto l asse 0dB, il criterio di Bode afferma che: condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di fase di L(s) sia negativo condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di ampiezza di L(s) sia positivo condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di fase di L(s) sia positivo condizione necessaria e sufficiente per la sua asintotica stabilità è che il margine di ampiezza di L(s) sia negativo 5. Dato un impianto da controllare, se le specifiche richiedono una larghezza di banda per il sistema controllato pari al massimo a ω b = 10 rad/s ma è presente un disturbo di tipo d non misurabile a ω d 12 rad/s: oltre al regolatore in retroazione occorre un filtro passa-basso sul ramo di retroazione non è possibile trovare nessun regolatore in grado di soddisfare le specifiche oltre al regolatore in retroazione occorre una compensazione in avanti del riferimento oltre al regolatore in retroazione occorre un compensatore del disturbo

2 6. Dato un sistema di controllo in retroazione, la specifica sul tempo di assestamento della risposta, che si desidera aperiodica, si traduce in: un vincolo sul solo margine di fase M f del guadagno d anello un vincolo sul solo margine di ampiezza M a del guadagno d anello un vincolo sulla sola pulsazione di incrocio ωc del guadagno d anello un vincolo sulla coppia (M f, ω c ) del guadagno d anello 7. Il regolatore PID, nella sua formulazione standard: si comporta come una rete ritardatrice si comporta come una rete anticipatrice si comporta come una rete a ritardo/anticipo per ingresso a gradino produce un azione di controllo infinita 8. In un sistema di controllo digitale, l aliasing: consiste in una sovrapposizione frequenziale della componente primaria e di quelle secondarie che costituiscono lo spettro del segnale campionato è particolarmente critico quando l impianto è affetto da disturbi di misura ad alte frequneza può essere eliminato alzando il tempo di campionamento è più accentuato se vengono impiegati regolatori passa alto piuttosto che regolatori passa basso 9. In un sistema di controllo del moto basato su un attuatore elettrico, i valori efficaci di accelerazione e velocità di una traiettoria devono essere compatibili con: la coppia continuativa dell attuatore la coppia di picco dell attuatore la velocità e accelerazione nominale dell attuatore la velocità e accelerazione di picco dell attuatore 10. La funzione di trasferimento tempo-discreta dell impianto G d (z): può essere ottenuta dalla corrispondente funzione tempo-continua G(s) mediante la sostituzione s = 2 1 z 1 T 1+z 1 approssima l uscita della corrispondente funzione tempo-continua con ricostruttore di ordine zero nell ingresso alle pulsazioni inferiori a quella di Nyquist fornisce esattamente i valori dell uscita (campionati) della corrispondente funzione tempo-continua con ricostruttore di ordine zero nell ingresso quando sia applicata la stessa sequenza di campioni del controllo

3 Cognome: Nome: N. Matr.: Sistemi di controllo Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 8 gennaio Problemi e domande a risposta aperta Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (10 su 20), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. 1. Descrivere il significato delle diverse componenti di controllo che compongono un regolatore PID e riportare gli schemi che risolvono il problema dell azione di controllo infinita in presenza di un ingresso discontinuo e della saturazione dell azione integrale dovuta ai limiti fisici del sistema di attuazione. 2. Dato l impianto G(s) = s+60 (s+0.1)(s+5)(s+40) Si vuole realizzare un regolatore in retroazione che consenta l ottenimento delle seguenti specifiche statiche e dinamiche: errore a regime nullo per ingresso di riferimento costante; attenuazione di almeno 10 volte di tutti i disturbi d(t) aventi pulsazione inferiore a 0.8 rad/s; risposta aperiodica; massimo tempo di assestamento Ta = 0.25 s. Si richiede pertanto di svolgere i seguenti punti. a) Tracciare i diagrammi di Bode di G e (s) = G(s) s più idonea a risolvere il problema. Vedere diagramma in fondo. per poter valutare quale sia la tipologia di regolatore b) Progettare il regolatore R(s) di complessità minima che soddisfi tutte le specifiche indicate in alto (suggerimento: per semplificare i calcoli può essere utile, ma non è obbligatorio, procedere per cancellazione).

4 Il regolatore richiesto potrà avere la forma di un PI o un PID, dal momento che, come già evidenziato al punto a), è necessario un polo nell origine (integratore) per soddisfare la specifica relativa all errore nullo per ingresso di riferimento costante. Dalle altre specifiche discendono i seguenti vincoli frequenziali: Risposta aperiodica M f 80o ; attenuazione dei disturbi d assumendo un andamento passa-basso della funzione di anello, (in maniera conservativa) si può assumere ω c = 8 T a = 3 ω c T a ω c 3 T a ω c = 12; Dal diagramma di Bode al punto 1), e ancor meglio dal calcolo analitico della fase di G e (jω) alla pulsazione ωc = 12 risulta arg{g e(j12)} = o, per cui con l aggiunta dello zero si riuscirebbe a ottenere un margine di fase che al massimo potrà essere di o. Pertanto sarà necessario un regolatore PID. Per la progettazione iniziale del PI R PI (s) = µ τzs+1 s si procede in cancellazione con il polo dell impianto in 5, per cui τ z = 1/5 = 0.2 mentre il guadagno µ viene selezionato imponendo che il modulo della funzione di sensitività in corrispondenza della massima pulsazione di d(t) sia non superiore a 0.1, ovvero che il modulo della funzione di anello a tale pulsazione sia non inferiore a 10 (la pulsazione di incrocio della funzione di anello col regolatore PI sarà certamente inferiore a 12): R PI (j0.8) G(j0.8) 10 µ τ 2 z G(j0.8) 10 µ = essendo G(j0.8) = Per semplicità si assume µ = 25. Si noti che la successiva rete anticipatrice che forma il regolatore PID non può diminuire il modulo della funzione di anello, pertanto le prestazioni di bassa frequenza non possono essere peggiorate. Una volta realizzato il regolatore PI, la progettazione della rete di anticipo che compone il PID deve essere svolta a partire dal sistema esteso (denominato G e1 (s)) composto dall impianto e dal regolatore R PI (s) s+60 G e1 (s) = R PI (s)g(s) = 5 s(s+0.1)(s+40) e imponendola pulsazionedi incrocio desiderata ω c = 12 rad/s e il margine di fase M f = 80o. Occorre pertanto calcolare modulo e argomento per ω = ω c = 12 di G e1(s): G e1 (j12) = , arg{g e1 (j12)} = o. I parametri della rete anticipatrice si trovano imponendo nelle formule di inversione un amplificazione M 1 = G e1 (j12) = e uno sfasamento ϕ = 180 o +M f arg(g e1(j12)) = o 90 o Dopo avere verificato analiticamente le condizioni di applicabilità della rete anticipatrice, e in particolare che cos(ϕ ) > , M dalle formule di inversione si ricava che τ = e α = per cui e alla fine il regolatore complessivo risulta R a (s) = s s+1 R PID (s) = 25 (0.2s+1)(1.6371s+1) s(0.0032s+1)

5 c) Supponendo che i disturbi d siano misurabili, progettare un compensatore M(s) che li cancelli completamente e riportare lo schema a blocchi del sistema controllato in retroazione con il compensatore. Il compensatore del disturbo misurabile dovrà avere un espressione del tipo M(s) = H(s)G 1 (s) Nel caso in esame H(s) = 1 non essendo presente alcun sistema filtrante sul disturbo, per cui M(s) = G 1 (s) Come primo passo, si riscrive la funzione di trasferimento nella forma di costanti di tempo G(s) = 3( 1 60 s+1) (10s+1)( 1 5 s+1)( 1 40 s+1). Dal momento che G(s) ha grado relativo 2, la sua inversa non sarà fisicamente realizzabile. Occorre quindiprovvedere a una sua approssimazionenel range frequenziale di interesse (ω d 0.8 rad/s). In particolare si può notare come il polo in 40 sia al di fuori della banda di interesse (oltre una decade a destra rispetto a ω d ) per cui può essere trascurato. Il compensatore del disturbo misurabile può essere quindi ottenuto invertendo Ĝ(s) = 3( 1 60 s+1) (10s+1)( 1 5 s+1) e aggiungendo un ulteriore polo in 60 per garantire la fisica realizzabilità. Risulta infine M(s) = 1 (10s+1)( 1 5 ( s+1) s+1) 2. d) Volendo discretizzare sia il regolatore R(s) che il compensatore dei disturbi misurabili M(s) scegliere il tempo di campionamento più idoneo tenendo in considerazione la banda del sistema in anello chiuso al punto b) lo spettro del disturbo e la banda del compensatore M(s) al punto c) una specifica sul ricostruttore di ordine zero che deve introdurre uno sfasamento sul margine di fase inferiore a 5 o Assumere lo stesso tempo di campionamento e la più restrittiva delle condizioni suddette e discretizzare entrambi i sistemi con il metodo delle differenze all indietro.

6 Il tempo di campionamento può essere scelto considerando la più restrittiva delle condizioni suddette: (a) ω c = 12 rad/s ω s = 10ω c = 120 T = 2π ω s = s (b) Data la pulsazione massima del disturbo d ω d = 0.8 rad/s ω s = 10ω d = 8 rad/s T = 2π ω s = s (c) M f = T 2 ω 180 c π 5o T 5 2π ω c 180 = s essendo ω c = 12 rad/s. Il valore T = 0.01 soddisfa tutti i vincoli richiesti. Assumendo s = 1 z 1 la funzione di trasferimento del regolatore discretizzata risulta T R PID (s) = 25 (0.2s+1)(1.6371s+1) s(0.0032s+1) mentre quella del compensatore dei disturbi misurabili è R PID (z) = z z z z 2 = 131z2 255z+124 z z M(s) = 1 (10s+1)( 1 5 s+1) z z 2 ( s+1) 2 M(z) = z z 2 = 985.4z z z z e) Scrivere le equazioni alle differenze corrispondenti ai due sistemi discretizzati al punto precedente R(z) = U(z) E(z) e M(z) = U d(z) D(z). Interpretando z 1 come l operatore ritardo unitario segue immediatamente che le equazioni alle differenze corrispondenti a R(z) e M(z) sono: R(z) = z z 2 U(z) z 1 = z 2 E(z) u k = 1.242u k u k e k 255e k e k 1 M(z)= z z z z 2 u dk = 1.25u dk u dk d k +1923d k d k 2

7 Cognome: Nome: N. Matr.: Modulo M [db] Diagrammi di Bode di G e (s) 0 Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]