Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete

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1 Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete 1) Cosa intendiamo, esattamente, quando parliamo di funzione reale di due variabili reali? Quando esiste una relazione fra tre variabili reali z, x, y che associa ad ogni possibile valore di x ed y al più un valore di z, possiamo affermare che la variabile dipendente z è funzione reale delle variabili indipendenti x ed y e scriviamo: z=f(x,y). ) Cosa intendiamo per dominio o insieme d esistenza di una funzione z=f(x,y)? Il dominio (o insieme d esistenza) di una funzione z=f(x,y) è l insieme di tutte le coppie di valori delle variabili indipendenti a cui è possibile associare un valore della variabile dipendente z. Consideriamo ad esempio la funzione z= y+x. La coppia (1; ) appartiene al dominio poiché se diamo ad x il valore 1 e ad y il valore sarà possibile calcolare z= 3. Invece la coppia (-, 1) non appartiene al dominio dato che sostituendo per x e y otteniamo z= -1 e sappiamo che la radice quadrata di un numero negativo non è un numero reale! 3) Come facciamo a determinare il dominio di una funzione? Dipende dall espressione algebrica che definisce la funzione stessa. Nel caso precedente, per esempio, nell espressione è presente una radice quadrata e, quindi, affinchè si possa ottenere dal calcolo un numero reale il radicando deve essere positivo (includiamo anche lo 0, altrimenti avremmo detto strettamente positivo!!!). La considerazione precedente, espressa in forma algebrica, permette di scrivere: y+x 0 Spesso è utile rappresentare il dominio sul piano cartesiano. Nel caso precedente è semplice verificare che la voluta rappresentazione è la seguente: DOMINIO

2 4) Cos è il grafico o diagramma di una funzione z=f(x,y)? Se consideriamo tutte le coppie di valori di valori (x;y) costituenti il dominio della funzione ed associamo ad ognuna di esse il valore z della funzione stessa otterremo un insieme di terne di valori (x;y;z) che generalmente formeranno una superficie in uno spazio tridimensionale. Questa superficie sarà, appunto, il grafico della funzione. z y x 5) Cosa sono e come si rappresentano le linee di livello? Una linea di livello k è la proiezione sul piano XY della linea intersezione fra il grafico della funzione ed un piano ad altezza k parallelo ad XY stesso. In pratica data, ad esempio, la funzione z=x +y -1 la linea di livello 3 si costruisce assegnando a z il valore del livello, quindi 3, e rappresentando su XY la curva risultante: 3=x +y -1, quindi x +y =4, cioè una circonferenza centrata nell origine degli assi e di raggio. 6) Cosa intendiamo per punto di minimo [massimo] locale di una funzione z=f(x,y)? Una coppia di valori (x;y) appartenente al dominio della funzione in esame è un punto di minimo [massimo] locale se è possibile individuare un cerchio centrato sul punto stesso così che in tutti i punti del dominio della funzione in esso contenuti la funzione stessa assuma valori maggiori [minori] o uguali rispetto al valore assunto in (x;y); comunque si restringa il raggio del cerchio in esso siano comunque contenuti punti del dominio. Il valore assunto dalla funzione in questo punto, quindi f(x,y) costituisce un minimo [massimo] locale.

3 7) In pratica, qual è la procedura che consente la determinazione di eventuali punti di max e/o min di una funzione z=f(x,y)? Si procede così: a. Si determinano le derivate parziali prime della funzione e si individuano i punti P i in cui le stesse si annullano contemporaneamente. Chiaremo questi punti candidati poiché rispondono alle condizioni necessarie per la presenza di min o max locali; b. Si costruisce la matrice hessiana a partire dalle derivate seconde della funzione esaminata e se ne calcola il determinante. c. Per ognuno dei punti candidati P i si calcolano due numeri, H(P i ) e z xx (P i ) sostituendo le sue coordinate nelle espressioni del determinante e di una derivata seconda (per esempio quella rispetto alla x). d. Si scartano i candidati per cui H(P i ) risulta minore o uguale a zero. I punti P i rimanenti saranno di massimo se z xx (P i ) è negativo, di minimo altrimenti. 8) Cosa intendiamo per analisi numerica di una funzione z=f(x,y)? Le tecniche di analisi numerica, rese possibili dall avvento del calcolo automatico, consentono di riprodurre il grafico della funzione semplicemente calcolando le terne di valori che lo costituiscono. Maggiore sarà il numero di terne calcolate, migliore, ovviamente, sarà la fedeltà del grafico ricostruito. Spesso, però, almeno ad un livello elementare, detta analisi per poter essere efficace, deve essere integrata da una regia esterna che, per esempio, definisca il dominio delle coppie (x;y) per cui è possibile eseguire il calcolo!

4 Ricerca Operativa Raccolta di FAQ by Andrea Prevete 1) Come possono essere caratterizzati i problemi oggetti di studio della Ricerca Operativa? La ricerca operativa, spesso definita anche scienza del management, è nata e si è sviluppata studiando l utilizzo di modelli e strumenti propri della matematica e della statistica nel contesto dei problemi legati ai processi di decisione e gestione in ambito economico ed aziendale. ) Come può essere descritto un problema di programmazione lineare? Un problema di programmazione lineare è caratterizzato da Una funzione lineare (detta obiettivo) che, tipicamente, esprime un variabile di costo o di ricavo in funzione di alcune variabili indipendenti, dette decisionali. Lo scopo del problema è appunto quello di individuare i valori delle variabili decisionali che rendono minimo o massimo rispettivamente il costo od il ricavo. Un sistema di vincoli. Questi, tipicamente, consisteranno in disequazioni di primo grado nelle già dette variabili decisionali. Se il problema è consistente (cioè risolvibile) il sistema di disequazioni individuerà una regione del piano (se le variabili sono due, altrimenti si parlerà di iperpiano) che costituirà il dominio di ammissibilità entro il quale cercare l ottimo (minimo o massimo) della funzione obiettivo. 3) Perché cerchiamo l ottimo in corrispondenza dei vertici del dominio di ammissibilità? Perché il dominio definito da un sistema di disequazioni lineari costituisce necessariamente una regione di piano convessa. E possibile dimostrare che una funzione lineare (e la funzione obiettivo è appunto una funzione lineare!) definita su un dominio convesso ha massimi e minimi proprio nei vertici del detto dominio! ESEMPIO DI DOMINIO CONVESSO ESEMPIO DI DOMINIO NON CONVESSO

5 4) Cosa intendiamo per direzione della funzione obiettivo? La funzione obiettivo è una funzione lineare che, tipicamente, esprime un variabile di costo o di ricavo in funzione di alcune variabili indipendenti, dette decisionali. Nel caso di due variabili indipendenti la funzione avrà la forma z=ax+by e le linee di isocosto o isoricavo saranno delle rette nel piano XY. Tracciata una qualsiasi di queste, una sua perpendicolare definirà la direzione della funzione obiettivo, ossia la direzione lungo la quale, partendo da un punto qualsiasi e a parità di spostamento, si ottiene la massima variazione di costo o ricavo. Da un punto di vista operativo per ottenere i punti del dominio di ammissibilità in corrispondenza dei quali la funzione obiettivo presenta min e max basterà spostare parallelamente a se stessa una retta di isocosto (o isoricavo) fino ad ottenere una situazione come la seguente: Punti di max e min Retta di isocosto o isoricavo 5) Che cos è, esattamente, un grafo PERT? Per grafo PERT intendiamo un grafo orientato (vedi figura) in cui i nodi rappresentano degli stati di progetto e gli archi le attività o i processi che permettono di modificare gli stati stessi. Ad esempio nel progetto organizzazione di un viaggio in auto l arco-attività fare benzina permetterebbe di passare dal nodo-stato serbatoio vuoto al nodo-stato serbatoio pieno. Grafo non orientato Grafo orientato 6) Cosa sono i tempi al più presto e al più tardi? Lo scopo principale di un analisi PERT è quello di individuare il tempo minimo (o appunto al più presto ) di realizzazione di un progetto. A tal fine si utilizza un algoritmo che passa attraverso la

6 determinazione dei tempi al più presto di tutti gli stati del grafo. I tempi al più tardi determinano, invece, per ogni stato del grafo, il tempo massimo per il suo raggiungimento affinchè la durata dell intero progetto non ne risulti penalizzata. 7) Che cos è un path critico? Per path intendiamo un percorso del grafo PERT, cioè un elenco di archi-attività che partendo dal nodo iniziale conducano a quello finale. Ora tale path sarà detto critico quando tutte le attività che lo compongono risultano critiche, cioè determinerebbero con un ritardo nel loro svolgimento un ritardo nei tempi generali di realizzazione del progetto. 8) Cos è il diagramma di Gantt Il Diagramma di Gantt è una visualizzazione temporale delle diverse attività di un progetto complesso e del tempo necessario per l'esecuzione completa di ognuna di esse. La visualizzazione della durata si effettua attraverso l'uso di linee di lunghezza differente che rappresentano appunto i periodi di tempo occorrenti per le diverse attività. Esempio: 1^ ^ 3^ 4^ 5^ 6^ 7^ 8^ Attivita 1 Attivita Attivita 3 Attivita 4 Attivita 5 In questo esempio le attività 1 e sono propedeutiche per l attività 3. Comunque l attività 1, di durata imane, ha un margine operativo di 1 imana (cioè può ritardare di una imana la conclusione, senza che ciò produca un ritardo nell avvio dell attività 3). Ciò è indicato nel precedente diagramma con un riquadro grigio chiaro.

7 4) Cos è la tecnica delle medie mobili? Supponiamo di rilevare il numero di clienti di un certo centro commerciale per 100 giorni di seguito. Otterremo una sequenza di valori N1, N, N3, N4,, N30,, N100 che rappresentati su un grafico cartesiano mostreranno sicuramente un andamento caotico L applicazione delle medie mobili consente di regolarizzare il grafico evidenziano il cosiddetto TREND del fenomeno in esame. Il principio è molto semplice: sostituire ad ogni valore la media aritmetica ottenuta a partire dal valore stesso e da k valori che lo precedono e k che lo seguono. K può valere 1,, 3, etc e determina la profondità della media. Ovviamente se sto utilizzando k=4 i primi 3 e gli ultimi 3 elementi della sequenza resteranno inalterati. Ad esempio se ho la sequenza, 4, 3, 7, 5, 9, 4, 5, 11, 1 l applicazione del metodo delle medie mobili con k=1 darà come risultato, 3, 14/3, 5, 7, 6, 6, 0/3, 8/3, TREND

8 STATISTICA INFERENZIALE 1. Cosa s intende per statistica inferenziale? Ogni qualvolta abbiamo necessità di studiare un carattere di una popolazione ampia (per esempio l altezza dei diciottenni italiani) ricorriamo a delle metodologie che ci consentano di estendere i risultati ottenuti con un campione limitato (per esempio i diciottenni di 10 scuole selezionate in tutt Italia) all intera popolazione. L insieme delle suddette metodologie costituisce il cuore della statistica inferenziale.. Cosa intendiamo precisamente per popolazione? Per popolazione (o universo statistico) intendiamo l insieme di cui vogliamo studiare un carattere. Per esempio la popolazione città del mondo potrebbe essere studiata rispetto al carattere produzione di rifiuti solidi per abitante, la popolazione diplomandi potrebbe essere studiata rispetto al carattere credito scolastico, etc. In realtà quando diciamo studiare un carattere di una popolazione, per esempio l altezza dei diciottenni italiani, non intendiamo ottenere l elenco delle altezze di tutti i diciottenni, bensì un valore che rappresenti sinteticamente al meglio tale carattere. Tale valore è detto valore aspettato e coincide con la media aritmetica. 3. Cos è un campione di una data popolazione? Un campione di una data popolazione è semplicemente un suo sottoinsieme. In particolare si parlerà di tasso di campionamento per evidenziare la consistenza del campione rispetto alla popolazione. Ad esempio un tasso del 15% sta a significare che ogni 100 elementi della popolazione 15 fanno parte del campione che la rappresenta. Non a caso abbiamo utilizzato il termine rappresenta! Una delle fasi più delicate nella scelta del campione è la valutazione della sua rappresentatività. In altre parole perché un campione possa essere significativo, cioè possa essere utilizzato in sostituzione dell intera popolazione, deve avere le stesse caratteristiche della popolazione da cui è stato estratto. Sarebbe illusorio, per esempio, pensare di studiare il reddito delle famiglie italiane concentrandosi su un campione certamente non rappresentativo come potrebbe essere quello delle famiglie degli operai di una certa azienda. Una buona tecnica generale è quella del campionamento casuale semplice. Con tale tecnica ogni elemento della popolazione ha le stesse probabilità di essere estratto per far parte del campione. 3. Cos è il TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE?

9 Il teorema del limite centrale (nella versione molto semplificata che proponiamo), vero fondamento della statistica inferenziale, assicura che qualunque sia una certa popolazione di cui vogliamo studiare il carattere C purchè valgano certe condizioni molto generali su cui non ci soffermiamo, il valore aspettato del carattere C (ossia la sua media aritmetica) può essere stimato al meglio utilizzando la media aritmetica di un campione significativo estratto dalla popolazione. In più è possibile definire un errore massimo per la stima effettuata e precisamente: E MAX = ( x i _ x) n( n 1) Vediamo un esempio: Siano da valutare i risultati ottenuti in matematica in una certa scuola. Si sceglie un campione significativo composto dai voti ottenuti allo scrutinio intermedio da 0 studenti distribuiti a caso nelle varie classi. C={5, 5, 7, 8, 8, 9, 4, 4, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 4, 4, 9, 8} Valutiamo la media aritmetica del campione: x = = 0 Quindi l errore massimo: = 6,5 E MAX = (5 6,5) + (5 6,5) + (7 6,5) 0(0 1) (8 6,5) 67 = =0,8 380 In conclusione il teorema del limite centrale ci assicura che la media aritmetica dei voti in matematica dell intera popolazione di studenti è la stessa di quella calcolata utilizzando il campione di 0 studenti, con un approssimazione max di ± 0,8. In altre parole possiamo con ragionevole certezza stabilire che la suddetta media è compresa nell intervallo: -0,8 +0,8 6,5 5,7 7,3