Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio

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1 Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe e di uzioe iversa. Ua uzioe è ua relazioe che ad ogi elemeto del domiio associa uo e u solo elemeto del codomiio Le uzioi che ci iteressao soo le uzioi reali di variabile reale, cioè quelle uzioi che hao come domiio e come codomiio sottoisiemi di R. I particolare ci iteressao le uzioi poteza, cioè le uzioi del tipo umero itero y, co Qui sotto soo riportati i graici di alcue uzioi poteze: Per comodità soo stati tracciati solo i graici per =,, 4, 5, giusto per ar vedere come tutte le uzioi poteza co espoete pari si comportio come la parabola y : - soo uzioi decresceti per, cresceti per, - hao come asse di simmetria l asse y, - o soo iiettive, metre le uzioi poteza co espoete dispari si comportio come la cubica - soo uzioi cresceti su tutto R, - hao come puto di simmetria l origie, - soo biettive. y : 1

2 Per arrivare ai radicali abbiamo acora bisogo di itrodurre il cocetto di uzioe iversa. Metre ua relazioe è sempre ivertibile, cioè data ua relazioe è subito R a, b A, si avrà come relazioe idividuata ache la sua iversa, i quato se B 1 iversa R b, a B A, ua uzioe o è sempre ivertibile. Ua uzioe è ivertibile se la relazioe iversa è acora ua uzioe, e ciò succede solo per le uzioi biettive. Ua uzioe è ivertibile se, e solo se, è biettiva. Per quato riguarda le uzioi poteza co espoete dispari o c è essu problema a cosiderare la uzioe iversa i quato quella di parteza è biettiva. La uzioe poteza associa ad ogi valore il valore che si ottiee moltiplicado per : R R se stesso volte: y come quel valore y legato ad dalla relazioe. Si può quidi deiire la uzioe radice -esima di y : 1 : R R y y. Data ua qualuque uzioe ivertibile, la sua iversa quello di rispetto alla bisettrice I-III quadrate. 1 ha graico simmetrico di

3 Sia la uzioe poteza che la uzioe radice, rispettivamete co espoete ed idice dispari, soo uzioi - ovuque deiite i R (il domiio è tutto R), - suriettive i R (il codomiio è tutto R), - strettamete cresceti ( 1 1 ; ), passao etrambe per l origie del sistema di rierimeto che e costituisce il cetro di simmetria. Co dispari è pertato possibile calcolare la radice -esima di u qualuque valore 5 reale: 7 ; ; 7 ;. Negli ultimi due esempi o è possibile ar seguire le radici dal sego uguale perché o c è essu umero razioale uguale ai valori che esse assumoo. Tali valori soo iatti irrazioali e se e può dare solo u approssimazioe: 7, 8667 ; 1, 87. Co dispari la radice -esima di u qualuque valore sarà u umero reale che avrà lo stesso sego dell argometo della radice. Cosideriamo uzioi che si ottegoo compoedo u poliomio o ua razioe algebrica e ua radice co idice dispari: 1. y. y La prima radice ha come domiio, o campo di esisteza, tutto R. Preso u qualuque valore è iatti possibile calcolare 4 e di questo la radice terza. Per quato riguarda il sego della uzioe, esso sarà positivo per gli che redoo positivo il poliomio 4 ( 4 per o per ) e egativo per gli che lo redoo egativo. Per il domiio della secoda radice bisoga teer coto del atto che l argometo è ua razioe algebrica che esiste per tutti i valori della variabile che o aullao il deomiatore: C.E. = R - ;. Il sego di questo secodo radicale coiciderà co il sego dell argometo:

4 4 N N D D F Co le uzioi poteza co espoete pari o è possibile cosiderare direttamete la uzioe iversa i quato quella di parteza o è biettiva: per ogi valore di y (positivo!) ci soo due cotroimmagii. Solo dopo aver ristretto il domiio di queste uzioi all isieme R si può quidi deiire la uzioe radice -esima di come quel valore y (positivo!) legato ad (positivo!) dalla relazioe y : 1 : R R y y Acora ua volta otterremo ua uzioe che avrà graico simmetrico a quello della uzioe data rispetto alla bisettrice I-III quadrate 4

5 La uzioe radice co idice pari o è ovuque deiita i R: il suo domiio è solo Lo stesso per il suo codomiio. È strettamete crescete ( 1 1 ). Passa per l origie del sistema di rierimeto. Co pari è pertato possibile calcolare la radice -esima solo di valori reali positivi o 4 tutt al più ulli: 16 4 ; 81 ; 6 ; 1. R. Negli ultimi due esempi o è possibile ar seguire le radici dal sego uguale perché o c è essu umero razioale uguale ai valori che esse assumoo. Tali valori soo iatti irrazioali e se e può dare solo u approssimazioe. Co pari la radice -esima di u qualuque valore positivo sarà u umero reale che avrà acora lo stesso sego dell argometo della radice. Co le radici di idice pari l argometo può assumere solo valori positivi o ulli e lo stesso vale per i valori che può assumere la radice. Cosideriamo uzioi che si ottegoo compoedo u poliomio o ua razioe algebrica e ua radice co idice pari: 1. y 4. y 4 1 La prima radice ha come domiio, o campo di esisteza, i valori reali che risolvoo la disequazioe 4 : C.E. = R /. Preso u qualuque valore è iatti possibile calcolare 4 ma la radice quadrata esiste solo per valori positivi o ulli. Per quato riguarda il sego della uzioe C.E. che o la aullao (cioè C.E. tale che )., esso sarà positivo per tutti gli del Ache per il domiio della secoda radice bisoga teer coto dell idice della radice (idice pari porta co sé la codizioe argometo )

6 1 N D D D F C.E. = R / 1. I valori e soo esclusi dal C.E. i quato aullao il deomiatore della razioe algebrica argometo della radice; il valore 1 appartiee al C.E. i quato i esso la razioe si aulla e. Il sego di questo secodo radicale sarà sempre positivo per tutti gli del C.E. che o la aullao. Riassumedo: uzioe C.E sego y dispari y pari No ci soo codizioi legate alla radice. Occorre veriicare se ci soo codizioi legate all argometo: se l argometo è ua razioe algebrica occorre porre il deomiatore. Per determiare il C.E. occorre determiare gli isiemi i cui l argometo risulta La uzioe assume su tutto il C.E. il sego che assume il suo argometo: assume valori positivi se l argometo è positivo, egativi se l argometo è egativo; la radice vale si aulla l argometo La uzioe assume su tutto il C.E. valori positivi o ulli; la radice vale si aulla l argometo 6