Meccanica Meccanica dei fluidi

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1 Meccanica 8-9 Meccanica dei fluidi

2 olidi Liquidi Gas orma propria Pressione acqua Assumono la forma dell ambiente che li contiene Volume proprio Incomprimibile kg/m 3 3 p Riempie tutto il volume Comprimibile.3 kg/m orza che agisce perpendicolarmente a una superficie aria p d d 3 luidi corrimento di qualsiasi parte del fluido rispetto alle parti circostanti Viscosità: resistenza interna allo scorrimento Assumeremo fluido ideale : viscosità nulla Grandezza scalare! Unità di misura: Pascal Pressione atmosferica a livello del mare: N 5 [ p] Pa bar Pa m 5 p.35 Pa atm.35 bar

3 dm luido nei pressi della superficie terrestre orza di pressione : cosθ sinθ 3 pbh pah cosθ p3ch pah sinθ b a cosθ c a sinθ p p p3 p dv gdm Pressione: grandezza non direzionale. Consideriamo un elemento di fluido in quiete in cui agiscano solamente forze di pressione Equilibrio statico: p p p3 Elemento infinitesimo di un fluido in quiete: orza di volume : peso 3 h c d g dm gdv d Lavoro delle forze di pressione orza di pressione: può produrre spostamento dh: dwpressione dh Lavoro complessivo: p dh Wpressione p dv pdv a b p d acciamo tendere a zero il volume: Ogni elemento dv subisce uguale pressione in ongi parte della sua superficie. Pressione: grandezza scalare dh θ

4 Equilibrio idrostatico Consideriamo un fluido ideale in quiete, densità costante orza peso: dpeso gdm gdv gddh h orza di pressione: dpressione dp d h + dh p( h) p( h + dh) Differenza di pressione tra i piani dello strato dh Pressione esterna: p dpd dv gdm Condizione di equilibrio: gdm Equazione dell equilibrio idrostatico dpd gddh dpd dp dh g p( h) p dp gdh h dp g dh p( h) p + gh Legge di tevino imone di Bruges (548-6) Come cresce la pressione con la profondità in un bacino d acqua? kg/m p 3 3 acqua 5 patm Pa p h 5 3 ( ) ( h[m])pa La pressione aumenta di ~ atmosfera ogni m di profondità 4 h m p ondi oceanici (assumendo cost.) 8 3 Pa bar

5 ' Principio di Archimede luido in equilibrio, densità Isoliamo una porzione (generica) di fluido. Per essa vale: pressione ostituiamolo con un materiale di densità ' peso gv L azione delle forze di pressione rimane identica La forza peso cambia: La forza risultante è: ' peso pressione gv ' g ' V peso g ' V gv ' Non c è più equilibrio: peso pressione g( ' ) V A Peso dell oggetto spinta di Archimede Archimede (87- ac) e ' < la spinta di Archimede prevale sulla forza peso, e l oggetto sale verso l alto Esempio. Quale frazione del volume di un iceberg è sommersa? orza peso in equiliberio con spinta di Archimede: g V g V ghiaccio acqua V V ghiaccio acqua.9 ghiaccio.9 acqua

6 luido in moto in un condotto Moto di un fluido Variazione di velocità e pressione del fluido a seconda della sezione e della quota del condotto? Assumiamo moto in regime stazionario: d v La velocità varia da un punto all altro del condotto, ma non dipende dal tempo ' portata v v( x, y, z) Linee di corrente: Traiettorie di elementi di flusso, tangenti al vettore velocità sono fisse in regime stazionario Tubo di flusso: Insieme di tutte le linee di corrente in una sezione Portata: Consideriamo il tubo di flusso per una sezione infinitesima d: dq vd 3 [m /s] Volume di fluido che attraversa d in un secondo In regime stazionario la portata è costante in ogni sezione q dq cost. q vd v cost. Media delle velocità nei vari punti della sezione Legge di proporzionalità inversa tra velocità e sezione Leonardo da Vinci (45-59)

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8 Moto di un fluido: teorema di Bernoulli Relazione tra velocità e pressione del fluido in un condotto generico luido ideale (no attriti), densità costante, regime stazionario Considero volume di fluido compreso tra e z ' si sposta e va a riempire il tratto e dh luido incomprimibile, i volumi si conservano: z ' dv dh dv dh Lo scorrimento equivale a spostare il fluido dal volume dv al volume dv dh dw de Lavoro della forza peso: peso P dw p dh p dh ( p p) dv dek dmv dmv gdv ( z z) + ( p p) dv dvv dvv Lavoro della pressione: pressione Variazione energia cinetica: dw dw + dw de Usiamo la relazione: peso pressione K gdm( z z ) dm dm ovviamente gdv ( z z )

9 Moto di un fluido: teorema di Bernoulli gdv ( z z ) + ( p p ) dv dvv dvv gz + p + v g z + p + v Poichè gli stati e sono generici, vale in generale che: Teorema di Bernoulli + + costante p v g z In un fluido ideale in regime stazionario la somma di pressione, densità di energia cinetica e densità energia potenziale si conserva. Daniel Bernoulli (7-78) v p + gz costante p p gh p( h) p + gh e il fluido è statico: e il condotto è orizzontale: Ritroviamo la Legge di tevino z cost. p v + costante Pressione e velocità cambiano solo se cambia la sezione. ezioni più strette: aumenta la velocità, diminuisce la pressione (Viceversa in sezioni più larghe) z z h p p

10 In regime stazionario, se la sezione è costante, la velocità è costante: Per la portata: Teorema di Bernoulli: applicazioni lusso in un tubo a sezione costante z h h p Tubo di Venturi p p + gz v Il teorema di Bernoulli si riduce a: costante Nei tre tratti del condotto abbiamo: p + gh p p + gh costante La pressione decresce con la quota secondo la legge di tevino Quota costante. Dal teorema di Bernoulli: v v v v + + p v p v v ( p p) p v Variazione della pressione? p p gh p p gh Misura della velocità di un fluido in un condotto p + v p + v p ( p p ) p Misurando p e p ricavo le velocità v e v

11 Teorema di Bernoulli: applicazioni Recipiente con un piccolo foro (a << A), profondità -h Velocità con cui il fluido esce dal foro? Poiché a << A, sulla superficie libera A, possiamo assumere il regime statico z Pressione esterna: p A pa Consideriamo il flusso attraverso le sezioni A e a, e applichiamo il Teorema di Bernoulli: p + v + g z p + v + gz p va z A pa p v p p + v gh gh v v gh La velocità di deflusso: A a v za Legge di Torricelli Non dipende né dalla densità del fluido, né dalla pressione esterna a h h Evangelista Torricelli (68-647) a E pari a quella che avrebbe se fosse scesa in caduta libera da un altezza h