Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Esame del 21 Febbraio 2006

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1 Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Esame del Febbraio 006 Gli esercizi devono essere risolti solo sui ogli dei colori indicati. Per esiti e soluzioni si veda il sito web del corso: Per contattare il docente: nicoli@elet.polimi.it. Esercizio (oglio bianco, 8 punti: Trasormata di Fourier. + cos B rect, con B = KHz. Si consideri il segnale x(t avente trasormata X( = a. ( punti Si rappresenti gra camente X(. b. ( punti Si determini il segnale x(t antitrasormata di X( e lo si rappresenti gra camente, indicando le posizioni degli zeri di x(t. c. ( punti Supponendo di voler utilizzare x(t come impulso base per la modulazione M-PAM, si dica se e con quale requenza di simbolo x(t è un impulso di Nyquist, giusti cando la risposta. d. ( punti Si calcoli l antitrasormata y(t del segnale Y ( = X( exp( j =B e la si rappresenti gra camente. Esercizio (oglio azzurro, 8 punti: Filtri. Si consideri il sistema rappresentato in gura, cascata dei due ltri aventi risposta all impulso: h (t = 0 6 tri 0 6 t ; h (t = sinc 0 6 t 6 s : Sia inoltre x(t = A cos( t + A cos t + + A cos t + il segnale applicato all ingresso del sistema, con A = 0V, A = V, A = 0V. a. ( punti Si rappresentino gra camente, in modulo e ase, H (, H ( e la risposta in requenza del ltro complessivo H( = Y (=X(. b. ( punti Sia = 0:5MHz, = MHz e = :5MHz. Si dia l espressione del segnale d uscita y(t. Si calcolino le potenze di x(t e y(t. c. ( punti Si ripeta il calcolo delle potenze di x(t e y(t del punto (b nel caso = = 0:5MHz e = MHz. d. ( punti Si ripeta il calcolo della potenza del punto (c nel caso in cui le ampiezze A, A, A siano variabili casuali incorrelate con media nulla e E[jA j ] = 00, E[jA j ] = 6, E[jA j ] = 00. x ( t H y ( t H Figura : Esercizio, sistema LTI. Esercizio (oglio verde, 0 punti: Campionamento. Si vuole campionare il segnale x(t = 000 sinc (500t a requenza c e successivamente ricostruire il segnale originale dai suoi campioni attraverso un opportuno ltro di ricostruzione. a. ( punti Si rappresenti gra camente lo spettro del segnale x(t. Si assuma di utilizzare per la ricostruzione il ltro passa-basso rappresentata in gura, avente requenza di taglio T e banda di transizione 0: T. Si determini il valore minimo di T e della requenza di campionamento c a nché il segnale possa essere ricostruito esattamente a partire dai suoi campioni. b. ( punti Si assuma c = khz e il ltro di ricostruzione ideale. Si determini il segnale ricostruito prima nel dominio delle requenze e poi nel dominio del tempo. c. ( punti Si ripeta il punto (b per c = khz (non servono calcoli! d. ( punti Si ripeta il punto (b assumendo che il campionamento a c = khz sia preceduto da un un ltro antialias con risposta in requenza H a ( = rect 000.

2 H r c. T T 0. T T Figura : Esercizio -(c, risposta in requenza del ltro di ricostruzione. Esercizio (oglio giallo, 0 punti: Trasmissione. Si consideri la trasmissione di un usso binario con bit-rate R b = 00Mbit/s mediante segnalazione - PAM in banda base. La risposta in requenza del ltro di trasmissione G( è rappresentata in gura. All ingresso del ltro di ricezione è presente un rumore additivo gaussiano bianco con densità spettrale di potenza S w ( = N 0 = 0dBm/Hz. Il canale è ideale (H( = nella banda di trasmissione e il ltro di ricezione è adattato. a. ( punti Si valuti la requenza di simbolo. Si dimostri che è veri cata la condizione di Nyquist per l assenza di intererenza intersimbolica (ISI. b. ( punti Si calcoli l energia E g del segnale g(t (antitrasormata di G( e la probabilità di errore sul bit. c. ( punti Si calcoli la potenza di picco del segnale utile all uscita di ltro adattato+campionatore e la potenza media. d. ( punti Si determini la densità spettrale di potenza del rumore all uscita del ltro adattato, la potenza del rumore e il corrispondente rapporto segnale rumore (espresso in db. e. ( punti Assumendo ora di impiegare una trasmissione -PAM, si dica se è ancora soddisatta la condizione di Nyquist per non avere ISI. G Figura : Esercizio, risposta in requenza del ltro di trasmissione. Esercizio 5 Matlab (oglio rosa, punti Si vuole simulare un processo x(t ottenuto ltrando un rumore gaussiano bianco w(t, a media nulla e con potenza =. Il ltro applicato a w(t ha risposta all impulso rettangolare di durata T = 0: s e area unitaria. Si assumano i segnali w(t e x(t campionati con passo di campionamento dt = ms nell intervallo di osservazione T oss = 5 s. Si scriva il codice MATLAB per: a. Costruire il processo x(t come convoluzione del rumore w(t con il ltro rettangolare. b. Calcolare e rappresentare gra camente la densità spettrale di potenza del prosesso x(t. c. Stimare la potenza del processo x(t, P x = E[jx(tj ], mediando opportunamente i campioni a disposizione.

3 Soluzione esercizio a Trasornata di Fourier: H - 0 [KHz] b Segnale nei tempi: h(t = (t + t + t + sinc(t = B sinc(t + sinc( t + sinc( t + = B sinc(t + sinc(t + sinc(t + Rappresentazione gra ca: B h( t t [ms] Gli zeri del segnale x(t sono in posizione t = ; :5; ; :5; ; : : : [ms]. Pertanto x(t soddisa la condizione di Nyquist quando la requenza di trasmissione e s = ksimbolo/s. d Si ha: Y ( = X( exp( j =B = X( exp( j con = :5ms. Dunque l antitrasormata è il segnale x(t ritardato di :5ms y(t = x(t :5ms: y(t = B sinc( (t :5ms + sinc( (t :5ms + sinc( (t + :5ms + = B sinc(t + sinc(t + sinc(t + Soluzione esercizio a Il ltro complessivo ha risposta H( = H (H ( = sinc =0 6 rect =( 0 6 exp( j 6 ; con jh(j = sinc =0 6 rect =( 0 6 e 6 H( = j M, rappresentati in gura. b Le ultime due sinusoidi vengono annullate dal ltro. Quindi: y(t = 0jH(0:5Mj cos( t + 6 H(0:5M jh(0:5mj = 0:8 6 H(0:5M = =6 y(t = 8 cos( t P y = 8 = W 6

4 H H 0 = H H H H Il segnale in ingresso è la somma di sinusoidi con requenze diverse, e quindi ha potenza uguale alla somma delle potenze delle tre sinusoidi, cioé: c La risposta del ltro al segnale: x(t = 0 cos( t + cos P x = = 08W t cos( t + è tale da annullare la seconda sinusoide e lasciare passare la prima e la terza. Il segnale risultante y(t = 0jH(0:5Mj cos( t + 6 H(0:5M + 0jH(0:5Mj cos( t H(0:5M = 8 cos( t =6 + 8 cos t + 6 Il segnale in ingresso x(t è la somma di due cosinusoidi con la stessa requenza. Quindi è ancora una cosinusoide con requenza, con asore uguale alla somma dei due asori associati alle due cosinusoidi A e j q = 0 e A e j = 0e j. Si ottiene A e j + A e j = Be j' con modulo B = (0 + 0= p + (0= p = 8: 78. Quindi la potenza di x(t è P x = B = = 8: 78 =W= dbw. Il segnale d uscita è la cosinusoide d ingresso moltiplicata per H(0:5M e sasata di 6 H(0:5M. Poiché la ase non in uenza la potenza, la potenza in uscita si ottiene da quella in ingresso moltiplicando per il attore di scala jh(0:5mj = 8 = 6 = 8dB, cioè P y = 8 + dbw= 0dBW. d Se le ampieze sono incorrelate allora le cosinusoidi si sommano in potenza, quindi la potenza media di x(t è P x = E[A ] + E[A ] + E[A ] = 08W. La potenza in uscita si ottiene da P x moltiplicando per jh(0:5mj : P y = 08 6 = :dBW= +8:dBW.

5 Soluzione esercizio c La trasormata di Fourier di x(t è X( = tri 500 ; di banda.5khz. A nché il segnale originale possa essere ricostruito esattamente a partire dai suoi campioni con il ltro di ricostruzione dato è necessario che T 500Hz c : T I valori minimi sono T = :5kHz e c = : khz. b Nel caso in cui c = khz si ha alias e lo spettro del segnale campionato S c ( è quello rappresentato in gura a. Considerando un ltro di ricostruzione ideale con risposta in requenza H r ( = 000 rect 000, X c a [khz] X b [khz] la trasormata di Fourier del segnale ricostruito è quella rappresentata in gura b: ^X( = rect tri : 500 Antitrasormando si ottiene: ^x(t = 8000 sinc (000 t sinc (500 t : c La ripetizione periodica del triangolo X( a passo c = :5kHz dà come risultato uno spettro costante X c ( = c. Il segnale ricostruito è ^X( = rect cioè ^x(t = 000 sinc (500 t. 500 d In questo caso acendo passare il segnale s(t nel ltro antialis vengono eliminate tutte le componenti del segnale al di sopra di khz e si ottiene il segnale: X a ( = X( H a ( = tri rect = tri rect : 000 5

6 Nel tempo: x a (t = 000 sinc (000 t sinc (000t : Essendo la requenza di campionamento è khz, non si ha equivocazione e il segnale ricostruito con un ltro ideale coincide dunque con il segnale x a (t all uscita del ltro antialias. Soluzione esercizio Nel caso di trasmissione -PAM antipodale i simboli trasmessi a k g assumono i valori (;. a Il rate di simbolo risulta essere R s = T s = R b = 00Msimb/s. Replicando a passo 00MHz jg(j si ottiene un segnale costante, dunque non si ha esistenza intersimbolica. b E g = E g N 0 = Z 0 0 0: 0 P b (E = M M log M Q jg(j d = = 0 J: = 5: 9 = db r! Eg = Q (5 = :5 0 7 : N 0 c Il valore del segnale utile nell istante di campionamento kt s è a k E g, con potenza a k E g. Il valore di picco della potenza si ha per a k = : R s = 9E g = 9 0 W = 00:5dBm La potenza media si ottiene mediando le potenze per a k = ;, cioé Più in generale, per un M-PAM: P s = E g + E g + 9E g + 9E g = 5E g = 5 0 = 0dBm P s = E[a k ]E g = M Eg d La densità spettrale di potenza del rumore all uscita del ltro di adattato di ricezione è La potenza del rumore è: Il rapporto segnale rumore è P n = N 0 S n ( = S w (jg(j = N 0 jg(j : Z jg(j d = N 0 E g = :9 0 mw SNR = P s = 5E g P N n 0 = 5 E g = 0 log E g N ( 0 0dB = db: 0 e Nel caso di trasmissione binaria antipodale il rate di simbolo coincide con quello di bit, la ripetizione periodica di jg(j a passo R b non è costante e dunque si ha ISI. Soluzione esercizio 5 % Costruzione del segnale x(t dt=0.00; % s t=[0:dt:5-dt]; N=length(t; r=ones(,0./.00/.; w=randn(,n*sqrt(; x=conv(r,w*dt; x=x(:n; 6

7 % % Calcolo della densità spettrale di potenza DSPX=tshit(abs(t(x,N.^/N; d=/(n*dt; =[-N/+[0:N-]]*d; % % Rappresentazione della densità spettrale di potenza igure, plot(,dspx, -b ; xlabel( Frequenza [Hz] ; % % Stima potenza PX=mean(abs(x.^; 7