PROBLEMA 1. la funzione f (x) presenta un flesso.

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1 PROBLEMA 1 1. Utilizzando il teorema di Torricelli si ha: e quindi e. 2. La funzione, con, ha periodo T = 4. Le intersezioni con l asse x sono: da cui e. Il grafico della funzione f (x), riportato in seguito, è stato ottenuto da quello della funzione con una traslazione di ½ nel verso positivo dell asse y. Tale grafico delimita, con l asse delle x: aree positive nei due intervalli e ; area negativa nell intervallo. Considerato che la funzione f (x) rappresenta, geometricamente, l area delimitata dalla funzione f (x), si deduce che la f (x) avrà il massimo, assoluto e relativo, per e un minimo relativo, ma non assoluto, per. Tali valori sono: L andamento qualitativo della f (x), ricavato da quello della f (x) è, avendo come riferimento il significato geometrico di f (x), quello riportato nella seconda figura. A Nel punto la funzione f (x) presenta un flesso.

2 Nella costruzione del secondo grafico si è tenuto conto dei valori assunti dalla funzione f(x) in che valgono, rispettivamente, - 3. Il valore medio richiesto vale: 4. Il volume richiesto è:.problema 2 1. La funzione f(x) è definita su tutto l asse reale e risulta ovunque positiva (tali sono, per ogni x, il numeratore e il denominatore. Poiché risulta, essa ha per asintoto orizzontale l asse delle ascisse y = 0 e non ha altri asintoti. E una funzione pari e, pertanto,simmetrica rispetto all asse y. Dallo studio del segno della derivata prima si ha: e, pertanto, la funzione ha un massimo nel punto R (0; 2). Dallo studio del segno della derivata seconda si ha: e, pertanto, si hanno due flessi nei punti,. Si ha il seguente grafico

3 Poiché si ha f (-2)=1/2 e f (2)= -1/2, le tangenti nei punti P e Q hanno, rispettivamente, equazioni y=(1/2)x+2 e y=(-1/2)x+2. Tali rette si intersecano in R=(0; 2). Dalle coordinate dei punti si evince che le diagonali del quadrilatero OPQR sono perpendicolari e e si bisecano nel punto H=(0; 1). Ciò è sufficiente per concludere che PQRS è un rombo. Con riferimento al grafico si ha, pertanto. Gli altri due angoli hanno misure supplementari a quella di. 2. Ricaviamo i punti A e B risolvendo i sistemi: le cui soluzioni sono, Affinché il punto appartenga al grafico, le sue coordinate devono soddisfare l equazione della funzione f. Infatti risulta. 3. Si ha: Tale valore è anche l area di un cerchio di raggio 1. Indicata con T la regione di cui si chiede l area, si ha, per simmetria,. 4. Dovendo integrare rispetto alla variabile y occorrerà invertire la funzione f ottenendo, limitatamente al ramo x>0, la funzione. Il volume W si ottiene sommando all integrale il volume del cilindro di altezza OH e raggio di base OK.

4 QUESTIONARIO 1. Indicata con la misura del terzo lato, e con il semiperimetro per la formula di Erone si ha: e, sostituendo in le misure 2, 3 degli altri due lati, si ottiene, da cui l equazione risolvente, ovvero. Tendo conto della condizione, il terzo lato misura. 2. Le condizioni di realtà impongono: Tale sistema è equivalente alle seguenti condizioni: a sua volta equivalente a. Si ha infine. 3. Si tratta della retta passante per e perpendicolare alla retta. Tenendo conto delle coordinate assegnate, il coefficiente angolare della retta è e, pertanto, la retta richiesta ha equazione, ovvero. 4. Il tronco di piramide ABCDSPQR appartiene alla piramide ABCDV. Intersecando la piramide con il piano per V e per i punti medi MN di due lati opposti della base si ha il triangolo isoscele VMN, simile e complanare al triangolo VFG, i cui vertici F, G sono i punti medi dei due lati della base minore del tronco di piramide, corrispondenti ai punti medi M, N. Con riferimento alla figura si ha PQ=h, AB=a, FG=b. Sfruttando la similitudine fra i triangoli VMN e VFG si ha: VO: VP = MN : FG, cioè (VP+h) : VP = a : b, da cui segue, per la proprietà dello scomporre, h : VP = (a-b) : b e, infine. Il tronco di piramide è dato dalla differenza delle due piramidi di rispettive altezze VO=VP+h e VP, il suo volume è pertanto ottenuto come segue:

5 5. Indicate con a, b, c le tre dimensioni della valigia più piccola, avente quindi volume, se le tre dimensioni vengono aumentate del: 10% il nuovo volume sarà ; 20% il nuovo volume sarà ; 25% il nuovo volume sarà. Pertanto gli aumenti percentuali dei volumi saranno rispettivamente 33,1%, 72,8% e 95,3%. 6. Il più piccolo numero ottenibile è I sei numeri più piccoli si ottengono dal più piccolo permutando le ultime tre cifre, 5, 6, 7, essendo 6 le permutazioni di tre oggetti. Pertanto il settimo numero in ordine crescente si ottiene dal più piccolo scambiando di posto le cifre 4 e 5, cioè I 720 numeri più piccoli si ottengono dal primo permutando le ultime 6 cifre 2, 3, 4, 5, 6, 7, essendo proprio 720 il delle permutazioni di 6 oggetti. Pertanto il 721 numero più piccolo si otterrà dal più piccolo scambiando di posto le cifre 1 e 2, cioè La similitudine tra il rettangolo intero e la sua metà impone: ovvero La condizione sull area del rettangolo impone da cui risulta e. 8. L area del triangolo situato nel semipiano positivo delle y vale 2, mentre quella del triangolo situato nel semipiano negativo delle y vale 1. Pertanto la funzione area g (x) avrà andamento crescente, dal valore 0 al valore massimo 2, quando x varia tra 0 e 2 e andamento decrescente, dal

6 valore 2 al valore 1, quando x varia tra 2 e 4. Dopo 4 la funzione riprende a crescere, pertanto nel valore x = 4 si ha un minimo per la g (x). 9. Si ha:, utilizzando il limite notevole. 10. Il grafico di f (x) è il grafico A). Infatti la funzione data, crescente all esterno dell intervallo (-2; 2) e crescente al suo interno, deve avere derivata positiva all esterno del suddetto intervallo, negativi al suo interno, nulli agli estremi -2 e 2, valori per i quali la funzione assegnata presenta, rispettivamente, massimo e minimo. L unica funzione f (x) che rispetta le suddette condizioni e quella corrispondente al primo grafico. GIANFRANCO PISTONI ROHR FERRUCCIO