T = k x = N, 1 k x 2 = J.

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1 Esercizio a) La tensione del ilo è pari in modulo alla orza esercitata dalla molla: T = k x = N, dove x è la compressione della molla. b) L Energia meccanica E m del sistema è data dalla somma dell Energia cinetica E c e dell Energia potenziale E p. Essa si conserva nel tempo poichè non sono presenti orze dissipative nel sistema. All istante iniziale E c,i = 0, quindi E m = E c,i + E p,i, = E p,i = k x = J. c) Per determinare le componenti v e v delle velocità delle due masse lungo l asse del moto possiamo are ricorso al principio di conservazione dell energia meccanica e al principio di conservazione della quantità di moto totale. L energia meccanica si conserva poiché non sono presenti orze d attrito, mentre il principio di conservazione della quantità di moto totale è valido poiché la orza elastica della molla è una orza interna al sistema (la orza di gravità è compensata dalle reazioni vincolari del piano). Per il principio di conservazione dell energia meccanica: E m = E c + E p = (E c, E c,i ) + (E p, - E p,i ) = E c, - E p,i = 0, con E c,i = 0 e E p, = 0. Da questa relazione si ricava m v + m v = E p,i. Per il principio di conservazione della quantità di moto totale P: i i P = ( p p ) ( p + ) + = 0. p Da questa relazione, essendo p + = 0, si ricava i i p p + = m v + m v = 0. p

2 Il sistema delle due condizioni permette di determinare v e v : v mep,i m = ; v = v. m ( m + m ) m Se scegliamo come sistema di rierimento un asse orientato da sinistra verso destra, la componente v risulta negativa e v positiva: v = m/s, v = 0.07 m/s.

3 Esercizio a) Applicando il principio di conservazione dell energia delle particelle: E + E = E + E i k i p k p si ottiene E = E = qv k p. i All istante iniziale le particelle cariche hanno energia cinetica E 0, da cui si ricava che l energia cinetica presente campo magnetico vale: Ek di ogni particella carica che raggiunge con velocità v la regione in cui è E = mv k = qv, qv v = = m/s. m Nella regione in cui è presente campo magnetico, essendo B perpendicolare alla velocità, il moto delle particelle è circolare uniorme, con accelerazione centripeta a cp costante ottenuta dall espressione della orza di Lorentz: F = macp = qvb. k = La orza di Lorentz non compie lavoro sulla particella, quindi non ne modiica l energia cinetica e il modulo della velocità. b) L accelerazione centripeta di un corpo in moto circolare uniorme è legata al raggio R dell orbita: a v = R cp = qv mr per cui si ottiene: 4V 8V m D = R = = = m = 4. cm. vb B q

4 c) Il diametro dell orbita dei nuclei di Deuterio e di trizio risultano rispettivamente: D D = D T = D = 5.8 cm; 3 D = 7. cm.

5 Esercizio 3 a) Una orza si dice conservativa quando il lavoro da essa compiuto lungo il percorso congiungente un punto di partenza ed uno di arrivo nello spazio è indipendente dal percorso stesso. Ciò deve valere per ogni arbitraria scelta della coppia di punti di partenza e di arrivo. Equivalentemente, una orza si dice conservativa quando il lavoro compiuto lungo un qualsiasi percorso chiuso nello spazio è nullo (orza irrotazionale). b) Forza conservativa: la orza peso è conservativa. Inatti il lavoro compiuto dalla orza gravitazionale tra due punti a quote dierenti è lo stesso ed è pari al prodotto della orza peso per la proiezione della congiungente i due punti lungo la direzione di applicazione della orza stessa. Forza non conservativa: la orza di attrito non è conservativa. Consideriamo il lavoro della orza di attrito dinamico su un piano liscio orizzontale aun punto A ad un punto B: essa sarà negativa e pari in modulo al prodotto della orza stessa (costante e parallela allo spostamento) per la lunghezza del percorso seguito. Quindi seguendo due percorsi di lunghezza dierente la orza compirà lavori di entità diversa. c) L energia potenziale associata alla orza conservativa è una unzione scalare dello spazio la cui dierenza tra i valori assunti nel punto di arrivo e nel punto di partenza è pari al lavoro compiuto dalla orza cambiato di segno. Nel caso della orza peso F = mg, la l energia potenziale risulta E p = mgh, dove h è la quota (misurata nella direzione della orza peso e crescente in verso opposto).

6 Esercizio 4 a) La costante dielettrica relativa ε r > descrive la reazione del dielettrico alla presenza di un campo esterno e la sua capacità di modiicarlo: tanto più ε r è grande, tanto maggiormente il dielettrico è in grado di schermare e diminuire il campo esterno. La relazione che lega il campo E 0 nel vuoto e il campo E nel dielettrico all interno del condensatore è: E 0 = ε r E. Detta d la distanza ra le armature, in assenza di dielettrico il campo elettrico è legato alla dierenza di potenziale V 0 = 00 V da: E 0 = V 0 / d. Una volta isolato il condensatore, la carica sulle sue armature rimane costante, anche dopo l inserimento del dielettrico, ma la dierenza di potenziale V misurata ai suoi capi è data dalla somma degli integrali di linea del campo elettrico nella zona in vuoto (in cui il campo ha ancora valore E 0, come si può veriicare applicando la legge di Gauss) e nella zona in cui è presente il dielettrico: V = E 0 (d s) + E s = E 0 (d s) + E 0 s / ε r. Da questa relazione si ricava ε r = E 0 s / ( V E 0 (d s)) = V 0 s / ( V d V 0 (d s)) =.6. A questo risultato si poteva arrivare anche considerando il condensatore come la serie ra due condensatori con dielettrici dierenti. b) Nel caso di una lastra conduttrice, valgono considerazioni simili a quelle atte per il dielettrico, con la dierenza che all interno della lastra è: E = 0. Si ricava quindi che V = E 0 (d s) = V 0 (d s) / d,

7 e quindi s = d ( V / V 0 ) = 0.75 mm. Anche questo punto poteva venire risolto constatando che il condensatore con la lastra conduttrice inserita si comporta come una serie di due condensatori.