ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x.

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1 ANALISI MATEMATICA Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del TEMA Esercizio Si cosideri la fuzioe f(x = arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità e la derivabilità di f. Calcolare f, determiare gli itervalli di mootoia ed evetuali puti di estremo. 4 Calcolare i limiti sigificativi di f. 5 Disegare u grafico di f (o si richiedoo il calcolo della derivata secoda e lo studio della cocavità e della covessità. Svolgimeto. L argometo x di f deve soddisfare le segueti codizioi: x > 0 (domiio del logaritmo, e 0 log x (domiio della radice e dell arcoseo. La codizioe log x 0 dà log x, cioè il domiio di f è l itervallo [e /, e / ]. f è visibilmete cotiua el suo domiio. Le regole di derivazioe si possoo applicare dove le fuzioi elemetari di cui f è composizioe soo derivabili, cioè dove l argometo della radice o si aulla (x e /, e / e dove l argometo dell arcoseo è diverso da ± (x. La fuzioe risulta perciò di classe C egli itervalli ]e /, [ e ], e / [. Si ha f (x = 4 log x x log x ( log x = sig(log x x log x. Il sego di f dipede perciò solo dal sego di log x, quidi f è strettamete crescete i [e /, ] e strettamete decrescete i [, e / ]. Gli estremi del domiio soo perciò puti di miimo assoluto (i cui f vale 0, metre x = è il puto di massimo assoluto (i cui f vale π/. 4 lim x e / + f (x = +, lim x e / f (x =, cioè agli estremi del domiio la tagete al grafico di f è verticale. Ioltre si ha lim x f (x = = lim x + f (x, cioè x = è u puto agoloso. 5 La derivata secoda o era richiesta, ma per completezza viee calcolcta e studiata. Per x ]e /, [ si ha f (x = ( log 4 log x x + x x log x x ( log = log x + log x x x ( log x, / metre per x ], e / [ è l opposto. Il sego di f dipede perciò solo dal sego di log x+ log x. Le soluzioi della disequazioe log x+ log x 0 soo: x e (+ / e x e ( + /. Teedo coto

2 Figura : Il grafico di f (Tema. del fatto che e (+ / < e / < < e ( + / < e /, f risulta cocava i [e /, ], covessa i [, e ( + /, cocava i [e ( + /, e / ], co u flesso a tagete obliqua i e ( + /. Il grafico è perciò come i Figura. Esercizio Al variare di x R, studiare la covergeza semplice ed assoluta della serie ( 4x + + x. = Svolgimeto. Usiamo il criterio della radice, dal quale ricaviamo iformazioi sia sulla covergeza assoluta che sull adameto del termie geerale, che chiamiamo a (x. Si ha lim a (x = lim 4x + + x = 4x + x. Perciò se 4x +x < la serie coverge assolutamete e quidi semplicemete, metre se 4x +x > la serie o coverge é assolutamete é semplicemete perché il suo termie geerale o è ifiitesimo. La disequazioe 4x +x <, è equivalete al sistema di disequazioi { 4x +x < 4x +x >. La prima disequazioe ha per soluzioi ], [ ]+, + [. Per disparità le soluzioi del sistema, cioè i valori di x i cui la serie coverge assolutamete, soo ], [ ] +, [ ] +, + [, metre il termie geerale o è ifiitesimo per i valori di x apparteeti all isieme ], + [ ], + [. Resta da studiare la covergeza della serie ei puti x :=, x := +, x :=, x 4 := +, ei quali a (x e quidi il criterio della radice o dà iformazioi. Per x = x, x il

3 termie geerale della serie risulta essere ( /( + e quidi la serie coverge per il criterio di Leibiz, ma o coverge assolutamete perché il termie geerale, i modulo, è asitotico al termie geerale della serie armoica, /, che diverge. Per x = x, x 4 il termie geerale è /( + e quidi la serie o coverge. Esercizio Calcolare l itegrale + log 8 e x + e x Svolgimeto. Detta f l itegrada, essa è defiita (e cotiua per e x. Duque f C(R\{log }. I particolare f C([log 8, + [ e quidi è itegrabile secodo Riema i [log 8, + [. Per il calcolo dell itegrale calcoliamo azitutto ua primitiva di f(x = e x + e x. Sembra aturale il cambio di variabile y = e x +, cioè e x = y, x = log(y, dx = dy da cui e x + e x dx = y y y 4 y dy = y y dx. y ( + (y 4(y dy = y 4 dy + (y 4(y dy. Evidetemete y 4 dy = (y (y + dy = ( 4 y y + dy = 4 log y y +, metre (y 4(y dy = ( y 4 y dy = log y y + 6 log y y + e quidi, i coclusioe e x + e x dx = log e x + e x + + e log x + e x + + =: F (x. Ora lim x + F (x = 0 come facilmete si verifica, per cui + log 8 e x + e x ( dx = F (log 8 = log 5 log = log 5 log. Esercizio 4 Calcolare tutte le soluzioi z C dell equazioe ( z + =, z scriverle i forma algebrica e rappresetarle el piao complesso. Svolgimeto. Le tre radici cubiche di soo, e πi, e πi. L equazioe è equivalete alle tre equazioi z + z + =, z z = e πi = + z + i, z = e πi = i. La prima equazioe o ha soluzioi. La secoda è equivalete all equazioe z + = (z ( + i,

4 che ha per soluzioi La terza equazioe è equivalete all equazioe z = i i = i 6. che ha per soluzioi z + = (z ( i, z = + i + i = i 6. Esercizio 5 [facoltativo] Sia f C([0, ] ua fuzioe cotiua. Calcolare il limite lim f(xdx. Svolgimeto. Fissiamo N e osserviamo che f C( [, ]. Duque possiamo applicare il teorema della media itegrale alla fuzioe f ell itervallo [, ] : esiste ξ [, ] tale che f(xdx = f(ξ (. Dato che ξ [, ] per ogi, otteiamo che lim ξ = 0 e dato che f è cotiua i 0, si ha che lim f(ξ = f(0. Quidi lim f(xdx = lim [ ( f(ξ ] = f(0. TEMA Esercizio Si cosideri la fuzioe f(x = arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità e la derivabilità di f. Calcolare f, determiare gli itervalli di mootoia ed evetuali puti di estremo. 4 Calcolare i limiti sigificativi di f. 5 Disegare u grafico di f (o si richiedoo il calcolo della derivata secoda e lo studio della cocavità e della covessità. 4

5 Figura : Il grafico di f (Tema. Svolgimeto. Per la preseza del log dobbiamo porre x > 0, ioltre per la radice dobbiamo porre log x 0 e per l arcsi abbiamo log x. Risolvedo otteiamo che il domiio è dato da D = { x [ e, e Poiché l argometo di arcsi è o egativo ache la fuzioe è o egativa el suo domiio. Essedo la fuzioe ua composizioe di fuzioi cotiue( è cotiua el suo domiio. Per la derivabilità possiamo solo affermare che la fuzioe è derivabile i D = e, e \{}. Il puto deve essere tolto per la preseza dell arcsi, gli estremi del domiio per la radice. Per ogi x D u calcolo diretto porge f sego(log x (x = x log x [ ] Il sego è quidi deciso dalla fuzioe sego(log x. La fuzioe è crescete i e, ed è decrescete [ i, e ]. Il puto x = è u puto di massimo (assoluto, i puti x = e e x = e soo puti di miimo (assoluto. 4 come descritto el puto i limiti sigificativi di f soo: lim x x + lim x x lim x x + lim x x ]} f (x = f (x = f (x = + f (x = Quidi il puto x è u puto agoloso, i puti x e x soo puti di cuspide. Il grafico è perciò come i Figura. 5

6 Esercizio Al variare di x R, studiare la covergeza semplice ed assoluta della serie ( 8x 4 + x. = Usiamo il criterio della radice, dal quale ricaviamo iformazioi sia sulla covergeza assoluta che sull adameto del termie geerale. Abbiamo lim 8x ( 4 + x = 8x 4 + x lim 8x = 4 + x Per il criterio della radice abbiamo covergeza assoluta (e quidi ache semplice per ogi x per cui 8x 4+x < cioè 8x < 4+x 8x > 4+x Risolvedo il semplice sistema otteiamo covergeza assoluta (e quidi ache semplice i ( C =, 4 ( 4 +, 4 ( 4 +, + Il termie geerale della serie o è ifiitesimo e quidi la serie o coverge i ( R\C = 4, 4 + ( 4, 4 + Rimae da studiare il comportameto della serie ei puti x = 4, x = 4 +, x = 4 e x 4 = 4 +. Per x = x o x = x abbiamo che 8x = e quidi il termie geerico della serie 4+x diveta cioè la serie diverge a + i questi puti, metre i x = x o x = x 4 abbiamo che 8x = e 4+x quidi il termie geerico della serie diveta (. I tali puti abbiamo covergeza semplice (criterio di Leibiz, ma o assoluta. Esercizio Calcolare l itegrale + 0 e x e x + Svolgimeto. Detta f l itegrada, essa è defiita (e cotiua per ogi x 0. I particolare f C([0, + [ e quidi è itegrabile secodo Riema i [0, + [. Per il calcolo dell itegrale calcoliamo azitutto ua primitiva di f(x = e x e x +5. Sembra aturale il cambio di variabile y = e x, cioè e x = y +, x = log(y +, dx = dy da cui e x e x + dx = Evidetemete metre y y + y y y + 4 y + dy = (y + 4(y + dy = ( = dx. y ( (y + 4(y + dy = y + y + y + 4 dy = arcta y, ( arcta y arcta y =. y + dy 4 ( arcta y 4 (y + 4(y + dy. + (y/ dy 6

7 Pertato e x e x + Ora F (0 = 0 come facilmete si verifica, per cui dx = arcta e x + 4 e arcta x =: F (x. + 0 e x + e x dx = lim x + F (x = π. Esercizio 4 Calcolare tutte le soluzioi z C dell equazioe ( z + =, z scriverle i forma algebrica e rappresetarle el piao complesso. Svolgimeto. Le tre radici cubiche di soo w =, w = +i e w = i. L equazioe è equivalete alle tre equazioi z + z =, z + z = + i, La prima o ha soluzioi, la secoda ha come soluzioe z = Il grafico segue: z + z = i 6 i, la terza ha come soluzioe z = 6 i. Im z Re z Figura : Le soluzioi di ( z+ z = (Tema. 7

8 Figura 4: Il grafico di f (Tema. Esercizio Si cosideri la fuzioe TEMA f(x = π arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità e la derivabilità di f. Calcolare f, determiare gli itervalli di mootoia ed evetuali puti di estremo. 4 Calcolare i limiti sigificativi di f. 5 Disegare u grafico di f (o si richiedoo il calcolo della derivata secoda e lo studio della cocavità e della covessità. Svolgimeto. V. fogli a parte. Il grafico è come i Figura. Esercizio Al variare di x R, studiare la covergeza semplice ed assoluta della serie Svolgimeto. V. fogli a parte. = + ( x 9 + x. Esercizio Calcolare l itegrale Svolgimeto. V. fogli a parte. + log 5 e x + 4 e x + 5 dx. Esercizio 4 Calcolare tutte le soluzioi z C dell equazioe ( z + =, z 8

9 scriverle i forma algebrica e rappresetarle el piao complesso. Svolgimeto. V. fogli a parte. Esercizio [0 puti] Si cosideri la fuzioe TEMA 4 f(x = π arcsi Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità e la derivabilità di f. log x. Calcolare f, determiare gli itervalli di mootoia ed evetuali puti di estremo. 4 Calcolare i limiti sigificativi di f. 5 Disegare u grafico di f (o si richiedoo il calcolo della derivata secoda e lo studio della cocavità e della covessità. Svolgimeto. Chiaramete D(f = {x R : x > 0, log x 0, log x }. Ora Ioltre log x 0, (log x, log x, e x e. log x, log x, log x 0, palesemete vera. Mettedo tutto assieme D(f = [e, e ]. Passiamo al sego: f(x 0, arcsi log x π. Ma ricordato che arcsi : [, ] [ π, π ] si ottiee che f 0 sempre. Ioltre f(x = 0, arcsi log x = π, log x =, log x = 0, x =.,4 Cotiuità: le fuzioi elemetari soo cotiue dove defiite, quidi f, essedo composizioe di fuzioi elemetari, è cotiua sul proprio domiio. Derivabilità: le fuzioi elemetari soo derivabili ove defiite eccetto, per quelle i cosiderazioe ell esercizio, la quado il suo argometo si aulla, l arcsi quado l argometo vale ±. I tutti gli altri puti sicuramete f, come composizioe di fuzioi derivabili, è derivabile. Tali puti soo log x = 0, x = e, e. log x = ±, x =. 9

10 Figura 5: Il grafico di f (Tema 4. Duque sicuramete f è derivabile su [e, e ]\{e ±, } =]e, [ ], e [. Quato ai puti x = e ±, le regole o si possoo applicare e quidi occorre procedere diversamete. Calcoliamo ( f log x (x = ( x = x log x sg (log x =. log x log x log x log x x log x Ora possiamo vedere i limiti di f ei puti dubbi: e ioltre f (e + = ( e 0+ =, f (e = e 0+ = +. f ( = = (, f (+ = =. Da questo deduciamo che f o è effettivamete derivabile i essuo dei puti dubbi, che x = e ± soo cuspidi, che ivece f è derivabile da destra e siistra i x = che quidi è u puto agoloso. Su D(f abbiamo f (x 0, sg (log x 0, log x 0, x. Ne segue che f su [e, ] metre f su [, e ]. I x = f è cotiua: si deduce che è u puto di massimo globale per f co f( = arcsi = π. I miimi si trovao ei due estremi e siccome f(e ± = arcsi (± = arcsi 0 = 0, abbiamo che etrambi soo miimi globali. Esercizio [0 puti] Al variare di x R, studiare la covergeza semplice ed assoluta della serie = ( 4x + x. 0

11 Svolgimeto. Partiamo dalla covergeza assoluta, cioè dalla serie = 4x +x =: a. Applichiamo il test della radice. Abbiamo a / = 4 x 4 x / + x + x =: q Studiamo la disequazioe 4 x, cioè x 4 x + 0. Per x 0 equivale a x 4x+ 0 che produce +x come soluzioi x 4 = oppure x 4+ = + e quidi x [0, ] [ +, + [. Per x < 0 equivale a x + 4x + 0 che produce x oppure x +, cioè ], ] [ +, 0[. Morale q, x ], ] [ +, ] [ +, + [ ed il valore q = è assuto per x =, +,, +. I accordo col test della radice allora avremo che se q < la serie a coverge, quidi la serie iiziale coverge assolutamete; se q > la serie a diverge e a +, quidi o è verificata la codizioe ecessaria e quidi la serie o è covergete (é semplicemete é assolutamete; se q = il test o dà idicazioi. Rimagoo duque i casi dove q =. Per semplificare la discussioe ricordiamo che i tali puti 4 x = + x per cui 4x +x = ± co sego opposto a quello di x. Pertato x =, + : la serie è ( = o coverge (assolutamete é semplicemete essedo la serie armoica; x =, + : la serie è ( che coverge semplicemete per il test di Leibiz ma o assolutamete. Esercizio [6 puti] Calcolare l itegrale + log 8 e x 4 e x 5 Svolgimeto. Detta f l itegrada, essa è defiita (e cotiua per e x 5, cioè per x log 5. Duque f C(R\{log 5}. I particolare f C([log 8, + [ R loc [log 8, + [. Per il calcolo dell itegrale calcoliamo azitutto ua primitiva di f(x = e x 4 e x 5. Sembra aturale il cambio di variabile y = e x 4, cioè e x = y + 4, x = log(y + 4, dx = y dy da cui y +4 e x 4 e x 5 dx = y y y y + 4 dy y ( + (y (y + 4 dy = y + 4 dy + (y (y + 4 dy. Evidetemete metre (y (y + 4 dy = 5 y + 4 dy = 4 ( y y + 4 = 0 arcta y + 0 log y y +. dx. + (y/ dy = arcta y. dy = 0 arcta y + 0 ( y y + dy

12 e quidi, i coclusioe e x + e x dx = 4 5 arcta e x log e x 4 e x 4 + =: F (x. Ora F (+ = 4 π 5 = π 5 come facilmete si verifica, per cui + log 8 e x 4 e x 5 dx = π 5 F (log 8 = π 5 4 arcta. 5 Esercizio 4 [6 puti] Calcolare tutte le soluzioi z C dell equazioe ( z + =, z scriverle i forma algebrica e rappresetarle el piao complesso. Svolgimeto. Poiamo w = z+ z. Allora w =, cioè w soo le tre radici complesse di : Pertato Ora, w =, ± i. z + z =, ± i. z + z = ζ, z + = ζ( z, z( + ζ = ζ, z = ζ ζ +. Duque z = 0 oppure z = ± i ± i = ± i ± i = ± i ± i i i = + ± i4 4 = ±i. Tempo a disposizioe: tre ore. Il cadidato deve cosegare questo foglio assieme al foglio itestato. Viee corretto solo ciò che è scritto sul foglio itestato. È vietato usare libri, apputi, telefoi e calcolatrici di qualsiasi tipo. Ogi affermazioe deve essere adeguatamete giustificata.