Teoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari :

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1 Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >, per ogni R se, per tutti e soli gli R se <, per tutti e soli gli Z. Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite: ( ). Csi prticolri :.,, per ogni R,, per ogni R Le proprietà delle potenze definite per esponenti interi vlgono nche per esponenti reli: Se >, ( ) : ( ) per ogni, pprtenenti R vle :

2 Funzione esponenzile Si chim funzione esponenzile ogni funzione del tipo :, con > fissto, R. Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttriuire è tutto R il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R (l funzione esponenzile è sempre strettmente positiv). Si distinguono tre csi: > : funzione crescente : > > : funzione costnte : per ogni R < < : funzione decrescente : > <. I seguenti grfici illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi : < < > > >

3 EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del tipo :, con > e > è l' incognit dell' equzione. Un'equzione esponenzile del tipo può essere impossiile, indetermint o determint : impossiile se, oppure e esempio : oppure 5 indetermint se, esempio : determint se >,, > esempio : 5. Si chim ritmo in se di l'unic soluzione dell'equzione esponenzile elementre se dell eponenzile e del ritmo nel cso determinto, cioè l'esponente d ssegnre ll se per ottenere il numero. Supponimo di dover risolvere un'equzione esponenzile : se e si scrivono come potenze (rzionli) dell stess se, si eguglino gli esponenti : 8 se e non si scrivono come potenze (rzionli) dell stess se, le soluzioni si scrivono sotto form di ritmi :. Il ritmo risult essere l'operzione invers dell'esponenzile, pertnto le limitzioni cui è soggetto l'esponenzile si riflettono sul ritmo: fisst l se >, deve essere >, inoltre vlgono i csi prticolri:, poichè, poichè. Anmente, lle proprietà degli esponenzili precedentemente elencte corrispondono le seguenti proprietà dei ritmi: ) ) ) ( R ( R ( R, > ) c 4) (,, c > ) formul di cmimento di se nei ritmi. c I ritmi che compiono sulle clcoltrici sono in se oppure in se e, 78: indic il, detto nche ritmo decimle ln, indic il e, detto nche R, > ) R R, > )

4 ritmo nturle o neperino. Funzione ritmic Si chim funzione ritmic ogni funzione del tipo :, con > e fissto, R L funzione ritmic è l'invers dell'esponenzile, pertnto dominio e codominio risultno scmiti rispetto quelli dell funzione esponenzile. Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttriuire è R il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R. Si distinguono due csi: > : funzione crescente : > > < < : funzione decrescente : > < I grfici dell funzione ritmic si ottengono d quelli dell funzione esponenzile. < < > > > per simmetri rispetto ll isettrice del I e III qudrnte ( ) essi illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi :

5 EQUAZIONI LOGARITMICHE Un'equzione si dice ritmic qundo l'incognit compre soltnto nell'rgomento di uno o più ritmi. L'equzione ritmic più semplice (elementre) è del tipo :, con > e R > è l' incognit dell' equzione. L su soluzione, per qunto detto proposito dell'equzione esponenzile, è :. Per risolvere un'equzione ritmic conviene:.. (qundo è possiile) trsformre l'equzione dt in un equivlente del tipo A( ) B( ), pplicndo le proprietà dei ritmi.. determinre le soluzioni dell'equzione A ( ) B( ).. eseguire il controllo medinte verific dirett dei vlori di clcolti l punto in lterntiv l punto, ssocire ll'equzione di cui l punto tutte le condizioni di esistenz sui ritmi (ricordimo che un ritmo è definito soltnto per vlori positivi del suo rgomento), per selezionre le soluzioni ccettili.