Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.

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1 Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità (docenti G. Nappo, F. Spizzichino prova scritta giugno 5 (tempo a disposizione: ore La prova scritta consiste nello svolgimento dei punti non facoltativi dei diversi Esercizi. Inoltre, a scelta dallo studente, va svolto almeno uno fra tutti i punti indicati come facoltativi. Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE. Esercizio. Caio gioca al seguente gioco del lotto semplificato: da un urna che contiene palline numerate da a, si estraggono senza reinserimento palline. Caio punta sulla coppia di numeri {5, }. Sia X la variabile aleatoria che conta quanti numeri indovina Caio, ossia quanti fra i numeri {5, } vengono estratti. a Individuare il tipo di distribuzione di X, e mostrare che il valore atteso E(X vale 5. b Mostrare che la varianza di X vale 75. Anche Tizio e Sempronio giocano insieme a Caio. Tizio punta sulla terna di numeri {, 5, }, e sia Y la variabile aleatoria che conta i numeri indovinati da Tizio. Invece Sempronio lancia una moneta ben equilibrata: se esce testa punta sulla coppia {5, }, mentre se esce croce punta sulla terna di numeri {, 5, }. Sia Z la variabile aleatoria che conta quanti sono i numeri indovinati da Sempronio. c Scrivere in termini degli eventi T = {esce testa} e C = {esce croce} e delle variabili aleatorie X e Y, i seguenti eventi E, F, G ed A, e calcolarne le probabilità: E = {Caio non indovina neanche un numero} F = {Tizio non indovina neanche un numero} G = {Sempronio non indovina neanche un numero} A = {sia Caio che Sempronio non indovinano neanche un numero} d Sapendo che Sempronio non ha indovinato neanche un numero, calcolare la probabilità che sia uscita testa e la probabilità che sia uscita croce.

2 Esercizio. X ed Y sono due variabili aleatorie che assumono valore negli insiemi {,,, } e {,, }, rispettivamente. seguente tabella a Determinare il valore della costante c. b Calcolare la distribuzione marginale di Y. La loro distribuzione di probabilità congiunta è individuata dalla X\Y c c c c c c c c Determinare la distribuzione condizionata di Y dato {X = }. d Le variabili aleatorie X ed Y sono indipendenti? e Determinare la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria Z = X + Y. f(facoltativo Calcolare il valore atteso della variabile aleatoria Z = X + Y. Esercizio. X è una variabile aleatoria tale che, per un opportuna costante K >, ammette una densità della forma a Determinare il valore di K f(x = { K x per x altrimenti b Determinare la funzione di distribuzione di X, e disegnarne il grafico. c (facoltativo Calcolare la varianza di X. Esercizio. Una moneta equilibrata viene lanciata n volte. Per ogni k n poniamo X k = se il k-esimo lancio ha dato testa e X k = se ha dato croce. Indichiamo con X n = n (X + +X n la proporzione di teste negli n lanci. a Usando la disuguaglianza di Chebyshev, trovare una minorazione per P( X n., per n = 9; b Usando l approssimazione normale, calcolare approssimativamente P( X n.5, per n = 9; c (facoltativo Usando l approssimazione normale, calcolare approssimativamente P( X n., per n = 9; d (facoltativo stimare quanto deve essere grande n perché sia P( X n..95.

3 Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità prova scritta di lunedì giugno 5 - FOGLIO RISPOSTE NOME E COGNOME... Esercizio a La distribuzione di X è di tipo... Dimostrazione dell identità E (X = 5 svolta non svolta b Dimostrazione dell identità V ar (X = 75 svolta non svolta c E =... F =... G =... P (E =... P (F =... P (G =... A =... P (A =... d P (T G =... P (C G =... Esercizio a c =... b la distribuzione marginale di Y è data da y P (Y = y c la distrib. condizionata di Y dato {X = } è data da d X e Y sono stocasticamente indipendenti? SI NO e la distribuzione di Z è data da f (facoltativo E (Z =... y Esercizio a K = b grafico F SI NO ; F (x = c (facoltativo V ar (X =... Esercizio a Con la disuguaglianza Chebyshev si ottiene P { X 9.} b Con l approssimazione normale si ottiene P {X 9.5}... c (facoltativo Con l approssimazione normale si ottiene P { X 9.}... d (facoltativo n...

4 Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità A. A. /5 Soluzioni della prova scritta del giugno 5 (docenti G. Nappo, F. Spizzichino Esercizio. Caio gioca al seguente gioco del lotto semplificato: da un urna che contiene palline numerate da a, si estraggono senza reinserimento palline. Caio punta sulla coppia di numeri {5, }. Sia X la variabile aleatoria che conta quanti numeri indovina Caio, ossia quanti fra i numeri {5, } vengono estratti. a Individuare il tipo di distribuzione di X, e mostrare che il valore atteso E(X vale 5. La variabile aleatoria X ha distribuzione ipergeometrica di parametri M = m = ed n =, infatti possiamo considerare che si tratta di n = estrazioni senza reinserimento da un urna che contiene M = palline, di cui di tipo A le due palline contraddistinte da 5, e. Per mostrare che il valore atteso di X vale 5, si può procedere in due modi: I MODO: considerando che X = X + X + X + X, dove X j è la variabile aleatoria binaria che vale se si verifica l evento C j = {la j-sima pallina estratta è di tipo A}, e altrimenti, per cui E(X = E(X + X + X + X = E(X + E(X + E(X + E(X = P (C = = 5 II MODO: calcolando esplicitamente la densità discreta: la variabile aleatoria X assume solo i valori, e, e con probabilità da cui P (X = = P (X = = P (X = = ( ( 8 ( = ( ( 8 ( = ( ( 8 ( = = = = 6 9 = = 9 = 5 E(X = P (X = + P (X = + P (X = = = 5 = 5 b Mostrare che la varianza di X vale 75. si può procedere in due modi: I MODO: considerando che la varianza di una ipergeometrica di parametri M, m ed n vale, posto p = m M, ( V ar(x = n p( p n = M 8 ( 9 = 6 5 = 75 I MODO bis: considerando che X = X +X +X +X, dove X j è la variabile aleatoria binaria che vale se si verifica l evento C j = {la j-sima pallina estratta è di tipo A}, e altrimenti, per

5 cui V ar(x = V ar(x + V ar(x + V ar(x + V ar(x + Cov(X, X + Cov(X, X + Cov(X, X + Cov(X, X + Cov(X, X + Cov(X, X = P (C ( P (C ( + P (C C P (C P (C = ( = [ ( ] = [ ( ] = [ ] ( = 5 5 = 75 II MODO: Utilizzando il fatto che V ar(x = E ( (X E(X = E(X ( E(X e calcolando direttamente che E(X = P (X = + P (X = + P (X = = = 6 5 V ar(x = E(X ( E(X 6 = (5 = = = Anche Tizio e Sempronio giocano insieme a Caio. Tizio punta sulla terna di numeri {, 5, }, e sia Y la variabile aleatoria che conta i numeri indovinati da Tizio. Invece Sempronio lancia una moneta ben equilibrata: se esce testa punta sulla coppia {5, }, mentre se esce croce punta sulla terna di numeri {, 5, }. Sia Z la variabile aleatoria che conta quanti sono i numeri indovinati da Sempronio. c Scrivere in termini degli eventi T = {esce testa} e C = {esce croce} e delle variabili aleatorie X e Y, i seguenti eventi E, F, G ed A, e calcolarne le probabilità: E = {Caio non indovina neanche un numero} F = {Tizio non indovina neanche un numero} G = {Sempronio non indovina neanche un numero} A = {sia Caio che Sempronio non indovinano neanche un numero} E = {X = } F = {Y = } G = ( T {X = } ( C {Y = }, A = G. Si noti che l uguaglianza A = G deriva immediatamente dal fatto che A = E G = {X = } ( (T {X = } ( C {Y = } = ( T {X = } ( C {Y = }, in quanto {X = } {Y = } = {X = }. Dalle precedenti relazioni segue immediatamente che ( 7 P (E = P (X = = P (F = P (Y = = = = = 6 ( ( P (G = P (A = P ( ( T {X = } + P ( C {Y = } = =

6 d Sapendo che Sempronio non ha indovinato neanche un numero, calcolare la probabilità che sia uscita testa e la probabilità che sia uscita croce. P (T G = e P (C G =. Infatti si tratta di calcolare P (T G e P (C G = P (T G. Per cui basta mostrare che P (T G = che automaticamente si ha il valore di P (C G. P (T G = P (T G P (G P (T {X = } = P ( ( T {X = } + P ( C {Y = } = + 6 = + 6 Esercizio. X ed Y sono due variabili aleatorie che assumono valore negli insiemi {,,, } e {,, }, rispettivamente. La loro distribuzione di probabilità congiunta è individuata dalla seguente tabella X\Y c c c c c c c a Determinare il valore della costante c. c = =. Infatti P (X = x i, Y = y j = (c + c + c + c + (c + c + c = c = c =. i j = b Calcolare la distribuzione marginale di Y. y P (Y = y come è immediato notando che P (Y = = c + c = c, P (Y = = c + c + c = c, P (Y = = c + c = c. c Determinare la distribuzione condizionata di Y dato {X = }. Infatti si tratta solo di osservare che P (Y = y X = = y P (X=,Y =y P (X= c 6c = 6 c 6c = 6 = c 6c = 6 = P (X = = P (X =, Y = + P (X =, Y = + P (X =, Y = = c + c + c = 6c. d Le variabili aleatorie X ed Y sono indipendenti? X ed Y non sono indipendenti, infatti ad esempio P (X =, Y = = mentre P (X = P (Y = > (se invece fossero indipendenti, per ogni x {,,,, } e per ogni y {,, } si dovrebbe avere P (X = x, Y = y = P (X = x P (Y = y. 6

7 e Determinare la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria Z = X + Y. z P (Z = z Infatti, a priori, la variabile aleatoria Z, essendo somma di due variabili aleatorie a valori in,,, e,,, può assumere i valori,,, 5,, 7,, 9, 5. Alcuni di questi valori hanno tuttavia probabilità nulla di essere assunti, infatti vale P (Z = = P (X =, Y = = c =., P (Z = = P (X =, Y = = c =., P (Z = = P (X =, Y = + P (X =, Y = = c + =. P (Z = 5 = P (X =, Y = = c =., P (Z = = P (X =, Y = + P (X =, Y = = + c =., P (Z = 7 = P (X =, Y = = P (Z = = P (X =, Y = + P (X =, Y = = + c =., P (Z = 9 = P (X =, Y = + P (X =, Y = = + c =. ed infine P (Z = 5 = P (X =, Y = = f(facoltativo Calcolare il valore atteso della variabile aleatoria Z = X + Y. Il valore atteso di Z vale. Infatti E(Z = ( + c + ( + c + ( + c + ( + c + ( + c + ( + c + ( + c = ( c = c =. Esercizio. X è una variabile aleatoria tale che, per un opportuna costante K >, ammette una densità della forma { K x per x f(x = altrimenti a Determinare il valore di K La costante K vale 8. Infatti, la condizione diviene f(x dx = K x dx = K [ x ] = K 8 = K = 8. 7

8 b Determinare la funzione di distribuzione di X, e disegnarne il grafico. per x < x F (x = 8 per x < per x c (facoltativo Calcolare la varianza di X. V ar(x =. Infatti E(X = x 8 x dx = 8 [ x ] = 8 = da cui E(X = x 8 x dx = 8 [ x 5 5 ] = = 5 V ar(x = E(X ( E(X = 5 ( = 5 9 = 8 5 = Esercizio. Una moneta equilibrata viene lanciata n volte. Per ogni k n poniamo X k = se il k-esimo lancio ha dato testa e X k = se ha dato croce. Indichiamo con X n = n (X + + X n la proporzione di teste negli n lanci. a Usando la disuguaglianza di Chebyshev, trovare una minorazione per P( X Infatti e, tenendo conto che E( X n = e V ar( X n = n ( P( X n., per n = 9; P( X n. = P( X n >. P( X n >. n, per la disuguaglianza di Chebyshev, = 9 = 6 per n = 9 b Usando l approssimazione normale, calcolare approssimativamente P( X n.5.7. Infatti P( X 9.5, per n = 9; P( X n.5 = P( X ( Xn E( n <.5 P X n V ar( X n <.5 E( X n V ar( X n 8

9 per cui, essendo E( X n = n n =.5 e V ar( X n = n n si ha ( Xn.5 = P < n.5.5 n da cui, per n = 9 P( X n.5 Φ ( ( 9 = Φ 6 = Φ( =.7 c (facoltativo Usando l approssimazione normale, calcolare approssimativamente P( X n., per n = 9; P( X 9..5 Infatti P( X ( n. = P.5 E( X n V ar( X n X n E( X n V ar( X n.5 E( X n V ar( X n da cui, per n = 9 P( X 9. Φ(, 6 Φ(.6 = Φ(.6 =.757 =.5 d (facoltativo stimare quanto deve essere grande n perché sia P( X n..95. I MODO Con la disuguaglianza di Chebyshev: Basta prendere n 5. (tuttavia questo valore di n è eccessivamente grande, si veda il secondo modo Infatti per la disuguaglianza di Chebyshev P( X n. V ar( X n = ( e quindi affinché risulti P( X n..95, è sufficiente che n n.95.5 n n = 5. II MODO Con l approssimazione normale: Basta prendere n 96. Infatti come abbiamo visto al punto precedente P( X ( n. = P.5 E( X n V ar( X n X n E( X n V ar( X n.5 E( X n V ar( X n 9

10 da cui tenendo conto che.5 E( X n = n V ar( X, n P( X n. Φ( n Φ( n = Φ( n basta trovare n tale che ossia tale che Φ( n.95, Φ( n.95 =, 975. Poiché la funzione Φ è crescente e Φ(.96 =, 975, ciò equivale a richiedere che n = n 5, 96 n (5.96 = 98 = ( = + = 96