Microeconomia Esercitazioni a.a. 2018/2019

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1 Microeconomia Esercitazioni a.a. 2018/2019 CDL SPOSI (O-Z) STINT (A-Z) PROF. GIUSEPPE PIGNATARO TUTOR ALESSANDRA PORFIDO 1

2 Tutor Contatti Ricevimento Da definire, per il momento su appuntamento Esercitazioni Giovedì 9-11 Aula B- Berti Pichat 2

3 La matematica è uno strumento che utilizziamo per descrivere e capire l economia. 3

4 Definizione Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice funzione una qualsiasi legge che associa ad ogni elemento x di A uno ed uno solo elemento y di B. y= f(x) x: variabile indipendente y: variabile dipendente 4

5 Funzioni elementari Esistono alcuni tipi di funzioni, dette funzioni elementari, da cui partiamo per sviluppare tutte le altre. Ad esempio f x f x = k = x f x = x 2 o f x = x 2n f x = x 3 o f x = x 2n+1 Ad ogni funzione elementare è associato un grafico specifico, che può aiutarci a visualizzare le cose. (nota: altre funzioni elementari sono senx, cosx, esponenziale, logaritmo) 5

6 Com è fatto un grafico? (a 2 dimensioni) Asse delle y / Asse delle ordinate / Asse verticale Il punto in cui si incrociano gli assi del grafico è chiamato ORIGINE 0 Asse delle x / Asse delle ascisse/ Asse orizzontale 6

7 Com è fatto un grafico? (a 2 dimensioni) y Su ciascun asse è rappresentata e misurata una variabile Sugli assi si misurano i valori delle variabili x e y 0 x 7

8 Come si usa un grafico? 1)Identifichiamo le coordinate del punto A (x; y) Esempio Punto B (100; 400) Punto D (400, 100) 8

9 Come si usa un grafico? 2) Rintracciamo le coordinate sul grafico e segniamo il punto di intersezione Esempio Punto B (100; 400) Punto D (400, 100) 9

10 Come si usa un grafico? Ogni punto nel grafico rappresenta contemporaneamente un certo valore di x e y, ovvero ogni punto del grafico è identificato necessariamente da un valore di x e un valore di y. 10

11 Funzioni elementari e loro grafici f x = x 11

12 Funzioni elementari e loro grafici f x = x 2 12

13 Funzioni elementari e loro grafici f x = x 3 13

14 Equazione Lineare Una relazione lineare è rappresentata graficamente da una retta ed è espressa da un equazione lineare del tipo y = q+ mx Dove q rappresenta l intercetta verticale della retta Ed m rappresenta la pendenza della retta Parametri: intercetta e pendenza Variabili: x ed y 14

15 Pendenza di una retta La pendenza misura l inclinazione della retta. Una retta ha pendenza costante in ogni punto La pendenza di una retta è pari a: distanzaverticale tra due punti distanza orizzontale tra due punti y x 15

16 Pendenza di una retta Una retta con pendenza positiva descrive una relazione diretta tra due variabili: al crescere della x anche y aumenta Una retta con pendenza negativa descrive una relazione inversa tra due variabili: al crescere di x, y diminuisce La pendenza dà anche informazioni quantitative sulla relazione fra x e y. Esempio: m = 1 2 = 0.5 Quando x aumenta di 1 unità, y aumenta di

17 Intercetta verticale L intercetta verticale indica il punto in cui la retta incrocia l asse verticale. In altre parole ci indica qual è il valore di y quando x=0 17

18 Alcune note Gli economisti generalmente pongono il prezzo (variabile indipendente) sull asse verticale per convenzione (e tradizione) Se la pendenza è infinita o uguale a zero (retta perfettamente verticale o perfettamente orizzontale), non c è correlazione fra le variabili. Non tutte le relazioni sono lineari. Nel mondo reale, le relazioni hanno forme (curvilinee per esempio) molto più complesse, e vengono chiamate relazioni non lineari. 18

19 La relazione reddito risparmio (esercizio) La seguente tabella contiene dati sulla relazione esistente tra risparmio e reddito. Riorganizzate i dati in un ordine conveniente e rappresentateli nel grafico vuoto accanto. Qual è la pendenza della retta ottenuta? Interpretatene il significato. Reddito annuo (euro) Risparmio annuo (euro)

20 Riorganizziamo i dati Qual è la variabile dipendente? E quella indipendente? 20

21 Riorganizziamo i dati Qual è la variabile dipendente? E quella indipendente? Le ordiamo in ordine crescente, partendo dalla variabile indipendente 21

22 Quale prevedete sia il livello del risparmio per un reddito pari a euro? y = c + mx Riorganizziamo i dati y =? q =? m =? x =? 22

23 Interpretazione economica dei risultati Interpretazione economica dell equazione y = ,1x Quando X=0 Y=-500 Perché? Perché quando il reddito è nullo, per sopravvivere, per consumare, dovrò prendere a prestito. All aumentare di X il risparmio aumenta (relazione diretta) Quando il reddito aumenta di 1, il risparmio aumenta di 0,10 (cioè 10 cent.) 23

24 Le derivate Le derivate sono un altro strumento utile in economia. Geometricamente, la derivata è la retta tangente ad una funzione in un dato punto ed è utilissima per individuare i punti di massimo e i punti di minimo. Es. Il consumatore massimizza la sua utilità Il produttore massimizza il suo profitto e minimizza i costi di produzione Se disegnassimo il grafico della funzione di utilità o di quella di profitto, la derivata ci aiuterebbe ad individuare il punto in cui il consumatore è più soddisfatto o il produttore ha un minore costo di produzione (ma questi concetti verranno ripresi ampiamente più avanti). 24

25 Operativamente: Le derivate delle funzioni elementari f x = k f x = 0 f x = x f x = 1 f x = x n f x = nx n 1 Ricordate che: 1 xn = x n m x n = x n m Da cui 1 m x n = x n m 25

26 Operativamente: Le derivate delle funzioni elementari- Esercizi f x = x 4 f x = 1 x 6 3 f x = x f x = 1 1 x f x = 1 4 f x = x 7 x 5 26

27 Algebra delle derivate Ci sono alcune semplici regole di derivazione che ci aiutano a risolvere le derivate più complesse: f x = k x f x = k f x = g x ± x f x = g x ± x f x = g x x f x = g x x + g x x f x = g(x) (x) f x = g x x g x x (x) 2 27

28 Algebra delle derivate- Esercizi Ci sono alcune semplici regole di derivazione che ci aiutano a risolvere le derivate più complesse: f x = 2x 3 f x = 1 6 x4 f x = 4x x f x = x 3 5 x 2 f x = x2 3 f x = g x x g x x x (x) 2 28

29 Derivate delle funzioni composte Per derivare una funzione composta utilizziamo la chain rule. Smontiamo la funzione come fosse composta da una serie di scatole cinesi, partendo da quella più esterna per finire con quella più interna. Si applicano sempre le derivate delle funzioni elementari e l algebra delle derivate. Un esempio f x = (2x 1) 3 Posso vederla come f x = X 3 in cui X = 2x 1 Comincio dalla funzione più esterna, la derivo e poi la moltiplico per la derivata della funzione più interna f x = 3 2x 1 2 = 6(2x 1) 29

30 Derivate delle funzioni composte- Esercizi y = (3x 3 5x 2 + 1) 3 y = (3x 2 4) 3 y = (2x 2 3x + 1) 2 y = 1 x 2 1 y = 3 (2x 1) 2 y = 5x 2 3x + 2 (x 2 4) 3 30

31 Derivate delle funzioni in due variabili Se stiamo lavorando con una funzione in due variabili, possiamo calcolare le derivate parziali. Ogni volta che calcoliamo la derivata in funzione di una variabile, trattiamo l altra come se fosse una costante. Ad Esempio: Intanto, riscriviamo la funzione come f x, y = x 3 y 1 2 f x, y = x 3 y E calcoliamo le derivate, prima in funzione di x e poi in funzione di y f(x,y) x f(x,y) y = 3x 2 y 1 2 = 3x 2 y = x y 1 2 = 1 2 x 3 y 31

32 Derivate delle funzioni in due variabili- Esercizi f x, y = x 4 3 y f x, y = x y 2 f x, y = x 2 f x, y = x 3 + y f x, y = x 1 3 y 2 3 y f x, y = x 1 3 y 2 3 f x, y = x 1 4 y