Compito di MQ. Gennaio Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore)

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Edoardo Angelini
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1 Compito di MQ. Gennaio 204 Determinare i livelli energetici di un sistema di due particelle che interagiscono col potenziale 3 4 mω2 (x 2 + x 2 2) 5 2 mω2 x x 2 Determinare il più generale stato compatibile con le seguenti informazioni una misura dell energia può dare i soli valori 5 ω/2 e 9 ω/2 il valor medio di x 2 + x 2 2 è 2. 3mω I Siano date due particelle (non identiche) di spin /2. A t = 0 lo spin della prima punti nella direzione positiva dell asse z e quello della seconda nella direzione positiva individuata dal versore n = 2 (,, 0). Le due particelle interagiscano con l Hamiltoniana H = ɛs z, dove S i sono le componenti dello spin della seconda particella. Determinare la probabilità per lo spin totale a tempo t. il valor medio di S x S y e S z a tempo t. verificare la compatibilità del risultato del punto precedente col teorema di Ehrenfest. II Una particella di spin /2 viene diffusa dal potenziale Determinare in approssimazione di Born (c + c 2 (σ x y σ y x)) e µr r la sezione d urto differenziale per un fascio polarizzato lungo la direzione positiva dell asse z. la probabilità che la particella mantenga il proprio spin nella diffusione.

2 Compito MQ. Febbraio 204 Data una particella in tre dimensioni soggetta al potenziale con W (r) 2 µ δ(r a) () 2m W (r) = V 0, 0 < r < a, W (r) = 0, r > a con a, V 0, µ > 0, determinare per quali valori di V 0 esiste almeno uno stato legato di energia E < V 0 (con l = 0). I Dato un oscillatore armonico tridimensionale isotropo V (x, y, z) = mω2 2 descritto a t = 0 dalla funzione d onda ( x 2 + y 2 + z 2) ψ( x) = N x e mω 2 r2 determinare i valor medi di L 2 e L x, L y, L z a t = 0. la probabilità che, a tempi grandi, l oscillatore si trovi nello stato 0,, 0 > per effetto della perturbazione (x + y + z)e γt. II Si determinino al primo ordine della teoria delle perturbazioni le correzioni alla struttura iperfine dello stato fondamentale dell atomo di idrogeno dovute all interazione 2µ ( S () 2 x S y + S ) y () S x dove S () e S sono gli spin di elettrone e protone, rispettivamente. Si usi come Hamiltoniana iperfine la seguente espressione H = A 2 S () S

3 Compitino MQ. Giugno 204 Risolvere due dei seguenti esercizi (tempo: due ore) Data una particella di spin uno con Hamiltoniana H = µ (S xs y + S y S x ) che si trova a t = 0 in uno stato con S z =. Determinare le probabilità e il valor medio di S z a tempo t confrontare il risultato per < S z > con le previsioni del teorema di Ehrenfest I Sia data una particella di spin /2 nello stato, 0, 0 > di un potenziale armonico isotropo V (x, y, z) = mω2 2 (x2 + y 2 + z 2 ). La particella abbia lo spin diretto nella direzione positiva dell asse z. A t = 0 venga aggiunta una perturbazione dipendente dal tempo e dallo spin A( σ x)e γt Fermandosi al I ordine della teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo, determinare per tempi molto grandi in quali livelli la particella si può trovare e con che probabilità qual è la probabilità che la particella abbia invertito il proprio spin II Due particelle identiche di spin /2 interagiscono attraverso il potenziale Determinare e µr r S S 2. la sezione d urto totale la probabilità che le particelle finali siano in uno stato di tripletto per un fascio non polarizzato la dipendenza della precedente probabilità dall energia e dall angolo di diffusione nel limite di bassa energia.

4 Compito di MQ. Luglio 204 Sia dato lo stato di un oscillatore armonico isotropo in tre dimensioni descritto a t = 0 dalla funzione d onda ψ(x, y, z) = C(x + iy)e mω 2 (x2 +y 2 +z 2). Determinare il valor medio di (x + y) 2 a t = 0. Sia accenda a t = 0 un campo magnetico costante nella direzione x. Determinare, trascurando i termini quadratici nel campo, la probabilità per L z a tempo t. I Siano dati l Hamiltoniana e il vettore d onda a tempo t = 0 H = µ 0 µ 0, ψ(0) = 3 determinare la probabilità che al tempo t il sistema si trovi nello stato 3 qual è il valore di questa probabilità per t = 0? e iφ e iφ e iφ II Sia data una particella confinata su un cerchio di raggio R in un piano con Hamiltoniana H 0 = 2 d 2 () 2mR 2 dφ 2 Determinare le correzioni all energia dello stato fondamentale (al II ordine in λ) e dei primi due stati eccitati (al I ordine in λ) dovute alla perturbazione V (φ) = λ sin 4φ.

5 Compito MQ. Settembre 204 Due particelle di spin /2 interagiscono attraverso il potenziale Determinare A( S S 2 3S x S 2x ). i livelli energetici e la relativa degenerazione il valor medio dello spin totale S z in funzione del tempo sapendo che a t = 0 una misura delle componenti dello spin ha dato come risultato S z = S 2z = 2. I Data una particella in tre dimensioni soggetta al potenziale con W (r) 2 µ δ(r a) () 2m W (r) = 0, 0 < r < a, W (r) = V 0, r > a con a, µ, V 0 > 0, determinare per quali valori di V 0 esiste almeno uno stato legato di energia negativa con l = 0. II Si determinino le correzioni alla struttura iperfine dello stato fondamentale dell atomo di idrogeno dovute all interazione 2µ 2 ( S () x S y S y () ) S x dove S () e S sono gli spin di elettrone e protone, rispettivamente. Si usi come Hamiltoniana iperfine la seguente espressione H = A 2 S () Quali sarebbero le predizioni della teoria delle perturbazioni al primo ordine in µ? S

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