Legge di Coulomb e campo elettrostatico

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1 A. hiodoni esecizi di Fisica II Legge di oulomb e campo elettostatico Esecizio Te caiche positive uguali sono fisse nei vetici di un tiangolo euilateo di lato l. alcolae (a) la foza elettica agente su ognuna delle caiche e (b) il campo elettostatico nel cento del tiangolo. oluzione (a) onsideiamo una delle caiche, pe esempio la, come caica di pova e calcoliamo la foza elettica esecitata su di essa dalle alte due caiche. Pe fa ciò, patiamo dai campi elettici geneati dalle caiche e e isentiti da : E E π l I contibuti delle due componenti lungo l asse sono uguali ed opposti pe agioni di simmetia, petanto il modulo della isultante del campo elettico nel punto P saà dato da: E E y + E y π l cos π l A uesto punto calcoliamo la foza F che agisce su : Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

2 A. hiodoni esecizi di Fisica II F E π l ˆ u y (b) alcoliamo oa il campo elettico nel cento del tiangolo; data la simmetia del poblema, il contibuto di ciascuna caica è uguale a uella delle alte. In modulo, abbiamo che E E E dove π l l onsideiamo oa il poblema dal punto di vista di vettoiale; si ha che: E E E + E + in uanto i te vettoi sono disposti come i lati di un tiangolo euilateo e la isultante è nulla. iò significa che se ponessimo una caica in, essa non isentiebbe di alcuna foza e esteebbe in euilibio. Esecizio L elettone e il potone in un atomo di idogeno si tovano a una distanza media.5 - m, che coincide con le dimensioni dell atomo. alcolae l intensità della foza gavitazionale e della foza elettostatica ta il potone e l elettone. oluzione alcoliamo le due foze e confontiamone l intensità: foza gavitazionale: F g 7 mem p γ.6 (.5 ) 6 7 N foza elettostatica: F e π 9 9 e p (.5 ) N 9 come si può notae, F e è molto più gande di F g ( F. ) e F g : a livello atomico la foza gavitazionale è completamente tascuabile ispetto alla foza elettica. Esecizio Due sfeette di massa m m mg e caica e ispettivamente, sono appese a due fili di lunghezza l cm, che fomano all euilibio due angoli θ e θ, Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

3 A. hiodoni esecizi di Fisica II molto piccoli, con la veticale. alcolae (a) il appoto θ /θ. e la distanza ta le sfeette all euilibio è cm, calcolae (b) il valoe di. oluzione θ θ θ (a) All euilibio, la isultante della foza peso e della foza elettostatica agenti su ciascuna sfea è dietta lungo il filo, uguale ed opposta alla tensione del filo stesso. Le due foze hanno moduli: Fe F g mg π e se consideiamo le elazioni tigonometiche ta gli angoli di euilibio e le foze: F Fe tgθ. Fg tgθ F π e g mg ma anche Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

4 A. hiodoni esecizi di Fisica II F Fe tgθ. Fg tgθ F π e g mg Dunue tg θ tgθ θ θ (b) onsideando che θ e θ sono molto piccoli e consideando le elazioni tigonometiche all inteno dei singoli tiangoli, l sinθ l sinθ lθ lθ Possiamo alloa calcolae la caica : tgθ θ l π mg π mg π mg l l Inseiamo oa i valoi numeici l.m π m (.) 9.8 (.96) (9) () (.).. 6 Esecizio Due sfeette di massa m m e m m hanno entambe caica 8 5 e sono sospese a due fili di lunghezza l cm. All euilibio i due fili fomano due piccoli angoli θ e θ con la veticale. alcolae (a) il appoto θ / θ. e la distanza ta le sfeette all euilibio è cm, calcolae (b) la massa m. oluzione Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

5 A. hiodoni esecizi di Fisica II θ θ θ (a) All euilibio, la isultante della foza peso e della foza elettostatica agenti su ciascuna sfea è dietta lungo il filo, bilanciato dalla tensione del filo steno. Pe la sfea vale: F e F tgθ tgθ g F F e g π mg θ Pe la sfea si ha che: F e F tgθ tgθ g F F e g π mg θ Possiamo uindi concludee che θ θ (b) Da elazioni tigonometiche sappiamo che l sinθ lθ ; l sinθ lθ + lθ + lθ l( θ + θ ) alloa: θ θ l( θ + θ ) θ l θ l Alloa la massa m si può calcolae come: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

6 A. hiodoni esecizi di Fisica II θ l m m π mg π θ g π g 8 7 (5 ) 9 8 (9 ) (.) (9.8).96. g. mg Esecizio 5 Una caica è distibuita unifomemente su un sottile anello di aggio. alcolae il campo elettostatico E sull asse dell anello. oluzione θ Definiamo la densità lineae di caica come λ costante sull anello, pe cui L π ciascun elemento dl di anello ha una caica infinitesima d λdl. e consideiamo due elementi dl e dl di anello diametalmente opposti, di caica d e d, si ha che le componenti lungo l asse dei campi elettostatici de e de dovute ai due elementi sono uguale e concodi, mente uelle lungo l asse y, essendo uguali e discodi si elidono. Il campo elettostatico lungo l asse saà dato di: λdl de ) de cosθ cosθ π π E ( λ cosθ uˆ dl λ cosθ π uˆ ( ) π l π cosθ Poiché e + cosθ + Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

7 A. hiodoni esecizi di Fisica II E λ λ ( ) u u / ( ) ˆ ˆ E π ( + ) ( ) u / ˆ onsideiamo i divesi casi: se >, si ha che il campo elettostatico è paallelo e concode all asse dell anello se, si ha che il campo elettostatico è nullo se <, si ha che il campo elettostatico è paallelo e discode all asse dell anello se >>, dell anello) E( >> ) uˆ (come se la caica fosse concentata nel cento π Esecizio 6 Un disco sottile di aggio ha una caica distibuita unifomemente su tutta la sua supeficie. alcolae il campo elettostatico E sull asse del disco. Estendee il isultato al caso in cui tende all infinito (piano unifomemente caico). oluzione d, d l θ P Definiamo la densità supeficiale di caica σ costante su tutto il disco. π iascun elemento di supeficie d avà una caica d σ. d. onsideiamo una coona cicolae compesa ta e d+, assimilabile a un anello di supeficie d πd e caica d π σ d. A distanza dal cento, il campo elettostatico saà dato da: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 7

8 A. hiodoni esecizi di Fisica II Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 8 θ π σ θ π θ cos. cos. cos ) ( l d l de E d ma l + cos cos l + θ θ alloa u d u d E d ˆ ) (.. ˆ ) ( ) (. ) ( / / σ π π σ e oa sommiamo tutti i contibuti di tutti gli anelli: u u d E ˆ. ˆ ) (. ) ( / + + σ σ (pe isolvee l integale, si è poceduto come segue: la egola geneale di integazione pe le potenze dice che, + + m m d m m se poniamo d d m / ) ( +, alloa d / / / ) ( ) ( ) ( + + e dunue /. ) (. ) (. / ) (. E σ σ σ σ ) In geneale, consideando che il campo è paallelo e concode all asse pe >, ed è paallelo e discode pe <, possiamo scivee che u u E ˆ. ˆ. ) ( + ± + ± π σ osa accade pe, cioè cosa accade se ci avviciniamo al disco a patie dalle ascisse negative o da uelle positive?

9 A. hiodoni esecizi di Fisica II I due limiti, desto e sinisto sono divesi: lim σ ˆ E+ u, lim E u σ ˆ nell attavesae la supeficie caica con densità di caica σ, il campo elettostatico subisce la discontinuità E + - E σ uˆ e poi consideiamo un piano indefinito unifomemente caico ( ), si ha che: σ. E( ) ± ˆ u Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 9

10 A. hiodoni esecizi di Fisica II Lavoo elettico, potenziale elettostatico, teoema di Gauss (pima pate) Esecizio Te caiche sono poste ai vetici di un tiangolo euilateo di lato l, calcolae (a) il potenziale elettostatico al cento del tiangolo, (b) l enegia potenziale elettostatica del sistema, (c) il lavoo W necessaio pe potae una caica posta al cento del tiangolo all infinito. -> oluzione (a) Il potenziale al cento del tiangolo saà dalla somma dei potenziali delle te caiche uguali. Quindi, poiché l o cos l Il potenziale al cento del tiangolo saà dato da V π π l V i Vi i i π i (b) Poiché Ue (sistema) i j i j π ij (il temine / davanti la sommatoia tiene conto del fatto che ciascuna combinazione viene contata volte). Ue( sistema) U + U + U + + π π π (c) La caica posta al cento del tiangolo possiede l enegia potenziale elettostatica: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

11 A. hiodoni esecizi di Fisica II Ue( ) + + con π π π l L enegia potenziale elettostatica complessiva è: Ue Ue( sistema) + Ue( ) Il lavoo necessaio pe allontanae la caica è ( Ue sistema) Ue( )) Ue( ) Ue( ) w Ue ( in uanto Ue(sistema) peché l enegia potenziale del sistema imane costante al vaiae della posizione di e l enegia potenziale all infinito Ue(, ). Esecizio Una caica è distibuita unifomemente su un sottile anello di aggio. alcolae il potenziale sull asse dello anello. dl -> oluzione Definiamo λ la densità lineae di caica. La caica infinitesima in ciascun tatto π dl di anello è d λdl. Il potenziale saà dato da: dv π d λdl π π λ dl e alloa λ λ π V dl π π π l +, in uanto + Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

12 A. hiodoni esecizi di Fisica II Il potenziale è massimo nel cento O e decesce all aumentae della distanza di P dal cento. Pe >>, V, come se la caica fosse nel cento. Possiamo calcolae il π campo elettico come gadiente del potenziale: ( + ) E V / + ( ) / π π V V Ey, Ez y z Esecizio Un sottile disco di aggio ha una caica distibuita unifomemente su tutta la sua supeficie; calcolae il potenziale. d, d l θ P ->oluzione Definiamo la densità di caica supeficiale σ ; ciascun elemento di supeficie di π aea d possiede una caica d σ d. onsideiamo un anello concentico al disco di aggio compeso ta ed +d e aea d π d. Il potenziale saà dato da dv d σd σ πd d π l π + π + + σ σ d σ -> V dv ( + ) +, Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

13 A. hiodoni esecizi di Fisica II (pe isolvee l integale, si è poceduto come segue: la egola geneale di integazione m+ m pe le potenze dice che d, m m + se poniamo ( + ) m / d d, alloa / ( + ) ( + ) / () d / e dunue V σ [ ( + )] ( ( + ) σ d σ + ) ) σ Pe, cioè al cento dell anello, si ha che V ma ; pe >> -> V (come se la caica fosse tutta nel cento) π alcoliamo il campo elettostatico come gadiente del potenziale: V σ E + della pima lezione), E E (come già tovato nell esecizio 6 y z Esecizio Un guscio sfeico di aggio a pota una distibuzione di caica continua unifome avente densità di caica supeficiale σ. alcolae il campo elettico geneato da tale distibuzione di caica in un punto ualsiasi P esteno al guscio stesso, sia V( ) -> oluzione O Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

14 A. hiodoni esecizi di Fisica II i può suddividee il guscio sfeico in tante ondelle ognuna delle uali possiede una caica d σda, dove da è l aea infinitesima individuata dal podotto della ciconfeenza della ondella pe il suo spessoe. Quindi: d σ da σ π ( a sinθ ) ciconfeenza ondella a { dθ acoaa' (a sinθ è il aggio della ondella ) Nel punto P il potenziale infnitesimo geneato della caica d è: dv d πa σ sinθ dθ + cost π π onsideando il tiangolo AP, pe il teoema di anot: a + a cosθ deivando ispetto a e a θ: ( asinθ ) dθ d -> sinθ d θ d a e uindi dv π πσ a d + cost dove cost se V a. Integando su tutto il guscio: V πσ a π OP+ a πσ a d π OP π Dove è la caica totale distibuita sul guscio σ π a. Il campo elettico ha simmetia adiale ispetto al cento del guscio: E V πσ a π π Deteminiamo oa il campo elettico utilizzando il teoema di Gauss: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

15 A. hiodoni esecizi di Fisica II Il campo elettico è adiale in uanto dato da contibuti simmetici a due a due ispetto all asse, la isultante è dunue adiale. Il campo elettico ha modulo constante sul guscio ed ha veso entante o uscente a seconda del segno della caica. E E ( ) uˆ, ( distanza dal guscio a P) Applichiamo il teoema di Gauss: φ( E) E u d E( ) uˆ uˆ d E( ) d E( ) π n n int, dove πa σ int uindi πa σ a σ E ( ) -> E uˆ π π π All inteno del guscio, φ ( ) ' E E, dove è il guscio sfeico di aggio < a. All inteno del guscio non c è caica, cioè E e dunue ( E) osa succede al tendee di ad a? φ. Dall inteno il campo è sempe nullo ( lim E( ) ), mente punto discontinuità > a lim a σ σ + -> > a Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

16 A. hiodoni esecizi di Fisica II Pe il potenziale V se a, π V π a a Esecizio 5 Un elettone viene immesso con velocità v in una egione limitata in cui agisce un campo elettostatico unifome pependicolae a v. Uscito della egione l elettone colpisce uno schemo nel punto. alcolae l angolo di deflessione α, l enegia cinetica e la velocità finali dell elettone e la distanza d del punto dall asse. y -> oluzione civiamo l euazione del moto dell elettone: ee F e F cioè eem e a. L elettone è soggetto a una acceleazione a dietta lungo m l asse y uando attavesa la egione in cui c è campo elettostatico. Il moto lungo è ettilineo unifome con velocità v, il moto lungo y è unifomemente acceleato. Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

17 A. hiodoni esecizi di Fisica II ee Le euazioni del moto lungo i due assi catesiani sono: vt, y t at. m La taiettoia dell elettone ento la egione di campo elettostatico è un aco di paabola (cuva ossa nel disegno) di euazione y( ) ee m v L angolo di deflessione si calcola da: dy eel tgα (la deivata di una funzione f in un punto è la misua del d l mv coefficiente angolae, cioè la tangente dell'angolo) e la distanza h ta il punto in cui l elettone esce dalla zona di campo elettico e l asse ee l saà: h y( l) m v L enegia cinetica in B saà data dall enegia cinetica iniziale più l enegia potenziale acuistata nel passaggio della zona di campo elettico: mv mv + E e h mv + e E mv l Moltiplicando pe due e dividendo pe m: e E l v v + v + ah e uindi la velocità finale è v v ah m v +. Fuoi dalla zona di campo elettico, l elettone descive una taiettoia ettilinea; calcoliamo d: d e E l h + L tgα + L mv Questo è il pincipio di funzionamento di un tubo a aggi catodici. Esecizio 6 Un elettone enta con velocità agisce un campo elettico v 7 m / s in una egione di lunghezza l cm in cui E V / m unifome e pependicolae a v. alcolae (a) lo spostamento d dopo l attavesamento e (b) l enegia cinetica acuisita E (in ev). Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 7

18 A. hiodoni esecizi di Fisica II -> oluzione (a) Le euazioni del moto dell elettone sono: ee F e F cioè eema. L elettone è soggetto a una acceleazione a dietta lungo m l asse y uando attavesa la egione in cui c è campo elettostatico. Il moto lungo è ettilineo unifome con velocità v, il moto lungo y è unifomemente acceleato. Le leggi oaie lungo gli assi catesiani sono: v t y at E m t La taiettoia dell elettone saà dunue y ee m e v A uesto punto, è possibile deteminae d: d 9 ee l.6 y m v 9. ( l).cm.m e 6 7 (b) ome visto nell esecizio pecedente v v + ad v 9 ee.6 v + d + m m / s Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 8

19 A. hiodoni esecizi di Fisica II e Quindi, l enegia cinetica finale è Ef m v ( ) J Infine, l enegia acuisita è pai a 7 E Ef Ei me ( v v ) eed. J ev Esecizio 7 on il ifeimento alla figua, - -8 e il flusso del campo elettostatico E φ E φ E, attaveso le supefici indicate, e isulta: ( ) ( ) φ ( E).6 Vm. alcolae e. -> oluzione alcoliamo il flusso del campo E attaveso le te divese supefici, utilizzando il teoema di Gauss: + 8 φ ( E) -> + φ ( E) -> φ + ( E).6 Quindi, possiamo oa deteminae le due caiche incognite. 8 8 (.6 ) ( ) + 8 Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 9

20 A. hiodoni esecizi di Fisica II Teoema di Gauss Esecizio Una caica è distibuita con densità spaziale ρ unifome nel volume di una sfea di aggio. alcolae il campo elettico E nei punti inteni ed esteni alla sfea. -> oluzione Data la simmetia sfeica, il campo elettostatico saà di tipo adiale. Pe deteminae il modulo del campo elettostatico, icoiamo al teoema di Gauss. onsideiamo una supeficie sfeica di aggio > estena alla sfea e concentica ad essa. Il teoema di Gauss ci dice che φ( E) E u ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) π n d E u und E d E int E uindi, il campo all esteno della sfea vale: E π uˆ ρ u ˆ π ρ cioè è come se la caica fosse concentata nel cento della sfea. All inteno della sfea, il campo elettico è non nullo in uanto è contenuta della caica. e consideiamo una supeficie sfeica di aggio < : possiamo applicae nuovamente il teoema di Gauss e uindi ' φ( E ) π E ; ' ρ π π π Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

21 A. hiodoni esecizi di Fisica II E uindi ' π ρ E π π π π Il potenziale all esteno della sfea saà V ρ V ( ). π ; sulla supeficie della sfea, vaà π All inteno, invece: V ρ ρ ( ) V ( ) E d s d ( ) V 6, dove d ρ ρ ρ ρ + V + e uindi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π. ρ 8π Al cento della sfea V ( ) V ( ) Esecizio Una distibuzione spaziale continua e unifome di caica ha foma cilindica di aggio ; calcolae il campo E da essa podotto all esteno del cilindo stesso. Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

22 A. hiodoni esecizi di Fisica II -> oluzione La simmetia cilindica del poblema suggeisce che il campo sia dietto in ogni punto otogonalmente all asse del cilindo e sia constante su ogni supeficie cilindica coassiale di aggio. Pe calcolae il modulo del campo elettico, facciamo icoso al teoema di Gauss consideiamo una scatola cilindica Σ di aggio > e altezza h. Il flusso di E attaveso le basi di Σ è nullo in uanto il campo elettostatico è paallelo alle basi e uindi otogonale a û n. Il flusso attaveso la supeficie lateale vale: φ( E) E u d E( ) d E( ) πh n int La caica contenuta ento Σ è: ρdτ ρπ h λh dove λ ρπ è la caica contenuta in un cilindo di aggio e altezza unitaia. h Alloa λh λh λ φ( E ) πhe -> E( ) π h π E E ( ) uˆ La diffeenza di potenziale ta due supefici euipotenziali, cilindiche e coassiali di aggi e è: V ( ) V ( ) λ Ed d π λ π ln mente ispetto al bodo Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

23 A. hiodoni esecizi di Fisica II V ( ) V ( ) λ π ln I isultati tovati valgono anche pe un sottile filo ettilineo molto lungo, su cui è depositata una caica distibuita con densità unifome λ. Esecizio All inteno di una sfea di aggio cm è contenuta una caica 9 8, distibuita unifomemente con densità ρ ( ) b, con v costante ed distanza dal cento O della sfea. alcolae (a) la costante b, (b) il campo elettostatico E ( ) e (c) la diffeenza di potenziale V ta il cento O e la supeice sfeica. -> oluzione (a) Poiché abbiamo una distibuzione di caica che dipende da, calcoliamo la caica contenuta in ciascun guscio pe deteminae la costante b: TOT π ρ ( ) π d b π d πb d b πb Quindi la costante b saà: b π /. ( ) m (b) Il campo elettostatico, data la simmetia, saà di tipo adiale. Applichiamo il teoema di Gauss: pe < < E uˆ ds n πb d E -> E π ( ) πb E π b b π Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

24 A. hiodoni esecizi di Fisica II E uindi, E( ) π 5 ; facendo i conti, E ( ) 7. V / m pe > E πb π π b pe πb b E π (c) La diffeenza di potenziale ta il cento e il bodo della sfea è V 5 5 E( ) d 7. d V Esecizio Una distibuzione di caica sfeica ha una densità di caica volumica che è funzione solo di, cioè della distanza dal cento della distibuzione. e ρ A B con A, B costante pe ρ pe > Deteminae il campo elettico in funzione di in tutto lo spazio e il potenziale V ). (condizione ( ) -> oluzione Poiché la distibuzione di caica ha simmetia sfeica, applichiamo il teoema di Gauss: pe > E ( A B ) π d 5 B d A B 5 Q π A π π π pe < ( A B ) π d 5 Q A B E A B π π 5 5 Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

25 A. hiodoni esecizi di Fisica II Il potenziale, patendo dalla elazione dv a E data la simmetia, vale: d E V gadv, che in uesto caso si iduce 5 > V A B + const. 5 che essendo ( ) 5 V -> const -> V A B 5 < -> V A B + const. 5 dove la costante si detemina imponendo che pe : V ( > ) V ( < ) A B A const. + B 5 + const. -> -> const. A A B B A + 5 -> const. B Esecizio 5 Una distibuzione di caica elettica a simmetia sfeica con caica totale densità ρ( ) ρ ep( α) con α m. (a) Dae il valoe della costante ρ in µ ha µ / m, (b) scivee l espessione del modulo del campo elettico in un punto a distanza dal cento della sfea in temini di e α. -> oluzione (a) Pe deteminae il valoe di ρ, integiamo la densità di caica in tutto lo spazio, imponendo che l integale sia pai a : α α ρ e π d ρ π e d alcoliamo l integale indefinito pe pati: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

26 A. hiodoni esecizi di Fisica II e α e d α α e α e d α + e α e α α α α α α e + α α α e d α e α α α e + α α α e α e α α e α α e α α e oa consideiamo l integale definito: ep ( α ) ( α) ep( α) ( α) ep ep d α α α 8πρ -> πρ -> α α ρ α 8π 8π 6 6. / m (b) Utilizziamo la legge di Gauss e integando su una supeficie sfeica di aggio INT E v uˆ n d -> π E ( α) ρ ep ( α) π d α ep E π ep π 8π α α α ( α) ep( α ) Esecizio 6 In una zona dello spazio è pesente un campo elettico il cui potenziale vale: V a + by con a e b costanti, calcolae (a) il modulo del campo elettico in un punto di coodinate (, y, z) e (b) la caica complessiva pesente in un cubo di lato L con un vetice nell oigine, gli spigoli paalleli agli assi e giacente nel punto ottante. i supponga costante. -> oluzione a) Poiché E V, si ha che V E a V Ey b y -> E aiˆ bˆj V E z, ( ) E a + b a + b Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

27 A. hiodoni esecizi di Fisica II b) Utilizziamo il teoema di Gauss E v uˆ n d INT esteso alla supeficie del cubo. onsideiamo sepaatamente le facce del cubo: - facce con z e zl, paallele al piano y: la componente lungo z del campo E è nulla -> il flusso è nullo. - facce con e L, paalele al piano zy: > E L > E al ˆ -> φ ( E) al u u d al L al ˆ n - facce con y e yl, paallele al piano z: sia pe y che pe yl, Ey b su entambi i lati si ha ( ) φ ( ) ( bl + bl ) Ey TOT φ E φ Ey bl una volta entante e una volta uscente. al + al > Q al ommando i flussi, ( ) Esecizio 7 on ifeimento alla figua, il campo elettostatico E v vaia con la legge 5 E (5 + ) ˆ V/m, con espesso in meti. alcolae: (a) il flusso Φ (E ) u attaveso la supeficie chiusa di lati a cm, b5 cm, c cm e (b) la caica contenuta all inteno del paallelepipedo. b a y c Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 7

28 A. hiodoni esecizi di Fisica II -> oluzione (a) Pe tovae il flusso totale del campo elettico, dobbiamo consideae la somma dei flussi del campo attaveso ciascuna delle facce del cubo. Poiché peò il campo elettico è dietto lungo l asse, è nullo il fluso del campo attaveso le facce del cubo pependicolai all asse in uanto la nomale alla supeficie e il campo elettostatico isultano pependicolai una ispetto all alta. consideando la faccia che taglia l asse delle ascisse in, la nomale alla supeficie ha la stessa diezione del campo elettico ma veso opposto e uindi: φ ( E) E uˆ d E d 5 n 5 ab consideando la faccia che taglia l asse delle ascisse in c, la nomale alla supeficie ha la stessa diezione e lo stesso veso del campo elettico e uindi: φ ( E) E uˆ d E d (5 + c ) n 5 ab ommando i due contibuti, si ottiene: φ TOT ( E) ab + 5 ab + c ab abc Vm (b) Dal teoema di Gauss φ( E ), si icava : φ( E) Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 8

29 A. hiodoni esecizi di Fisica II Dipoli elettici e condensatoi Esecizio Un dipolo, di momento elettico p e momento d inezia I ispetto ad un asse passante pe il suo cento e otogonale a p, è immeso in un campo E unifome. Descivee il moto del dipolo uando viene spostato di un piccolo angolo della posizione d euilibio. -> oluzione θ d L L euazione di otazione, dalla dinamica dei copi igidi è: M Iα p E. dt d θ Poiettando sull asse di otazione che è la asse z: I pe sinθ dt d θ pe Nell ipotesi d angolo piccolo, sin θ θ e l euazione di otazione diventa + θ dt I Questa è l euazione di un moto amonico con pulsazione e peiodo pai a: pe ω, I T π π ω I pe Le leggi oaie dell angolo e della velocità angolae sono: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 9

30 A. hiodoni esecizi di Fisica II ( t) θ sin( ωt φ), Ω t) ωθ cos( ωt + φ ) θ + dθ dt ( Esecizio Un dipolo elettico di momento p 6. m si tova al cento di due caiche 9 positive.6 che distano d 9 m. alcolae la foza F che agisce sul dipolo elettico. -> oluzione In uesto caso sul dipolo agisce la foza isultante dovuta alla pesenza delle due caiche. Il campo elettico è non unifome. F ( E E ) E d E p Il campo elettico geneato delle due caiche e sentito dal dipolo posto al cento è: E E π π (nella posizione geneica, E i ) π Poiché esse sono uguali, possiamo calcolae la foza F come: F p ( E ( ) E ( ) ) E p d / onsideiamo a pate la deivata paziale: E π ( ) π e calcoliamo il suo valoe nel punto d/: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

31 A. hiodoni esecizi di Fisica II E 8 d / π π / d π d d Quindi, la foza F saà: 8 p F p π d π d N Esecizio (capacità di un condensatoe piano) alcolae la capacità di un condensatoe piano con amatue di aea e distanza d caicate con una caica + e densità di caica +σ e e densità di caica -σ ispettivamente. -> oluzione Possiamo consideae le due amatue come due piani infiniti. I campi elettostatici σ geneati dai due piani in modulo valgono E (vedi l esecizio 6 pe il disco esteso a >, pima lezione). Utilizzando il pincipio di sovapposizione pe calcolae il campo isultante E E + + E, si vede che i campi elettostatici si sommano nella egione compesa ta i due piani e si annullano all esteno: σ E ˆ u Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

32 A. hiodoni esecizi di Fisica II Quindi, all inteno il campo elettostatico è unifome. onsideiamo oa di deteminae la diffeenza di potenziale ta l amatua positiva e un ceto punto inteno alle amatue: V σ ( ) ( ), icodando che, in geneale, V ( ) E V La diffeenza di potenziale ta le due amatue saà alloa: V V V σ ( ) dσ Ed σ d d La capacità del condensatoe saà V d Esecizio Ai capi di te condensatoi (patitoe capacitivo) c è una ddp V VB VA V e la capacità euivalente del sistema è pf. alcolae i valoi delle capacità,,, tali che ispetto a V A sia V 5V e V 7V. -> oluzione La caica che si tova su ciascuna amatua vale: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

33 A. hiodoni esecizi di Fisica II V 8 Le singole capacità valgono: 8 F V V 5 A pf 8 5 F 5 pf V V 8. F VB V pf Esecizio 5 (apacita di un condensatoe cilindico) Deteminae la capacità di un condensatoe le cui amatue abbiano aggio ed, con >, di uguale lunghezza d, gande ispetto ai aggi. oluzione Le amatue di un condensatoe cilindico sono due pozioni di supeficie cilindiche coassiali, una di aggio e l alta di aggio >, di uguale lunghezza d, gande ispetto ai aggi. i ealizza cosi un ulteioe situazione di conduttoe al inteno di un alto conduttoe cavo, con induzione appossimativamente completa. e si escludono i tatti esteni, nell intecapedine cilindica ta e il campo elettostatico è adiale (vedi esecizio, teza lezione): E λ, con λ densità lineae di caica π ( ) u La diffeenza di potenziale (d.d.p.) ta le amatue è: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

34 A. hiodoni esecizi di Fisica II λ d λ λ V V E d ln π π ln π La caica pe unità di lunghezza λ è / d Quindi, la capacità saà: V V λd π d λ ln π ln e h è molto minoe dei aggi, è possibile sviluppae in seie il denominatoe aestandosi al pimo temine: ln ln + h Pe cui la capacità diventa: π d, con πd supeficie lateale del cilindo. h h Quindi, la capacità pe unità di lunghezza è π ln E possibile ealizzae un condensatoe cilindico a capacità vaiabile facendo scoee uno dei due cilindi lungo l asse, in modo da fa vaiae la lunghezza d. d d Esecizio 6 dispone di 5 condensatoi uguali di capacità. ollegali in modo che la capacità totale TOT sia pai a /7. Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

35 A. hiodoni esecizi di Fisica II -> oluzione Poiché il collegamento dei 5 condensatoi in seie o in paallelo dà come capacità totale. e 5 ispettivamente, pe ottenee il valoe ichiesto dobbiamo icoee ad un collegamento misto seie-paalello. onsideiamo η elementi in seie e µ elementi in paallelo ta loo e con la seie: La capacità totale saà alloa Abbiamo uindi che: + ( 5 η) η 7 + µ η 7 µ + η 5 η + TO T µ + 5 η η 7 7η η 7 η < η > oluzione non ammissibile. e invece poviamo a dispoe la seie di η condensatoi in seie (e non in paallelo) al paallelo di µ condensatoi: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

36 A. hiodoni esecizi di Fisica II i ha: TOT + η µ η 7 + µ -> η + µ 5 η + 5 η 7 isolvendo l euazione di secondo gado si ottiene η e µ Esecizio 7 Un condensatoe piano è costuito usando te diffeenti mateiali dielettici, come mostato in figua. (a) Tovae un espessione pe la capacità in funzione dell aea delle piaste A, della loo distanza d e delle te costanti dielettiche elative,. (b) alcolae la capacità usando i valoi di A cm, d mm,.9, 5.6,., uesti ultimi costanti dielettiche ispettivamente di bachelite, veto Pye e teflon. -> oluzione a) Questo condensatoe lo possiamo vedee come in paallelo con la seie Le singole capacità saanno: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

37 A. hiodoni esecizi di Fisica II l / A / A, d d l / A / A, d / d l / A / d / A d Mente la capacità euivalente saà: TOT + Dove + + Alloa: seie di due capacità. -> TOT + + A A / d A A A + + ( ) + d A/ d + d d + d + ( + ) + A ( + ) A + d + d + b) Inseendo i valoi numeici, si ottiene: ( 8.85 Nm ) / ( ) F.76 pf Esecizio 8 alcolae in valoe e segno la vaiazione dell enegia elettostatica di un condensatoe piano, con le amatue di aea poste alla distanza d e caicato con una caica Q, uando si inseisce ta le amatue stesse un foglio di mateiale dielettico di spessoe s < d, avente le stessi dimensioni delle amatue e caatteizzato dalla costante dielettica. Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 7

38 A. hiodoni esecizi di Fisica II Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 8 -> oluzione Quando il dielettico viene inseito nel condensatoe esso si polaizza: Le supefici supeioe ed infeioe del dielettico in uesta situazione euivalgono a delle sottilissime amatue metalliche e uindi potemo consideae il sistema come costituito da condensatoi in seie. Dunue: TOT + + on s d, s, Alloa: s s d s s d TOT ) ( Infine, la capacità saà: s s d s s d ) ( d s d s

39 A. hiodoni esecizi di Fisica II Pima di intodue il dielettico, la capacità iniziale ea pai a. d e la caica del sistema in entambe le configuazioni è Q, possiamo scivee le due enegie elettostatiche iniziale e finale: Q Q d U e, i U e, f [ ( d s) s] Q Q + TOT La vaiazione d enegia saà pai a: ( ) Q s U e U e, f U e, i < in uanto > sempe Poiché la diffeenza di enegia elettostatica è negativa, la lasta viene isucchiata all inteno del condensatoe. Questo isultato è anche indipendente dalla posizione del dielettico. Esecizio 9 Un condensatoe a facce piane e paallele, ettangolai di dimensione a e b è a pazialmente iempito, pe un tatto, da una lasta di dielettico omogeneo ed isotopo di costante dielettica elativa. e la caica totale sull amatua supeioe è Q 6, uanto vale la caica Q che si dispoe sulla pate di amatua supeioe attaccata al dielettico? -> oluzione Il sistema dato euivale a due condensatoi in paallelo: // + Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 9

40 A. hiodoni esecizi di Fisica II La d.d.p. V ta i punti A e B la posso espimee in due modi euivalenti: V Q Q Q + // e d è la distanza ta le amatue, si ha: Pe cui: Alloa Q + ( a ) b, d b b b + + d d d [ a + ( ) ] // Q // a + Q a ( ) a ( ) ( a + a) a Q a + b ( a ) d Q Esecizio Le amatue di un condensatoe piano sono costituite da piaste uadate di lato l, distanti d. Il condensatoe viene caicato alla tensione V e successivamente le amatue vengono isolate in modo che la caica su ognuna imanga costante. (a) alcolae l enegia U immagazzinata nel condensatoe. i intoduce poi ta le amatue e paallelamente a ueste una lamina metallica piana, molto estesa, spessa h. alcolae: (b) il lavoo che si deve effettuae pe intodue tale lamina; (c) la nuova tensione V ta le amatue. 7 oluzione (a) Essendo la capacità del condensatoe pai a l immagazzinata saà pai a U V V. d l, l enegia d d Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

41 A. hiodoni esecizi di Fisica II Politecnico di Toino osi dilauea a distanza Dopo che si è inseita la lamina, il sistema è assimilabile ad una seie di due condensatoi uno con distanza ta le amatue e l alto con distanza d-h-. I due condensatoi hanno alloa capacità: e h d da cui h d l h d TOT + + L enegia immagazzinata dal sistema in uesta nuova configuazione saà: TOT TOT Q V U, dove, poiché la caica sulle amatue non cambia, Q è pai a V d l V Q e uindi d h d V l l h d V d l U (b) Il lavoo necessaio pe inseie la lamina saà pai a: V d h l d h d V d l U U W W è positivo e uindi il lavoo viene fatto dalle foze del campo elettico che isucchiano la lamina. (N.B. e W fosse stato definito come U -U si saebbe tovato che il lavoo ea negativo: infatti nella convenzione WU -U si saebbe avuto pe W> lavoo subito dall esteno, e pe W< lavoo effettuato dal sistema) (c) La diffeenza di potenziale ta le amatue del condensatoe di patenza in uesta nuova configuazione vale: V d h d l h d d V l Q V TOT V <V la diffeenza di potenziale ta le amatue è diminuita.

42 A. hiodoni esecizi di Fisica II ampo magnetico, foza magnetica, momenti meccanici sui cicuiti piani Esecizio Un potone d enegia cinetica E k 6MeV enta in una egione di spazio in cui esiste un campo magnetico BT otogonale al piano della taiettoia, fomando con l asse y l angolo θ. alcolae a) l angolo θ della diezione di uscita con l asse y e b) la distanza lungo y ta il punto di uscita e il punto di ingesso. oluzione ` B a) L angolo θ è uguale a θ in uanto la taiettoia che il potone segue all inteno della egione di campo magnetico è cicolae con aggio di cuvatua. b) onvetiamo E k da ev a J (ev.6-9 J): E k 6MeV 9.6 J ul potone che enta nella zona dove c è il campo magnetico agisce la foza di Loenz: F v vb m, cioè la paticella segue una taiettoia cicolae di aggio. Dalla conoscenza di E k icaviamo la uantità di moto p: p m E. p k A uesto punto, è possibile icavae il aggio di cuvatua della taiettoia cicolae come: mv mv p m pek, cioè, nel nosto caso, vb B B B Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

43 A. hiodoni esecizi di Fisica II m La distanza cecata vale: y sin( θ ) sin( ) (.5). 5m Esecizio Un potone di enegia cinetica E k 5MeV si muove lungo l asse e enta in un campo magnetico B.5T, otogonale al piano y, che si estende da a Lm. alcolae all uscita del magnete nel punto P: a) L angolo che la velocità del potone foma con l asse e b) la coodinata y del punto P. oluzione a) ome nell esecizio pecedente, abbiamo il moto di una caica in una zona dove c è campo magnetico. Il moto ento uesta zona è cicolae, pe cui possiamo calcolaci il aggio di cuvatua. onvetiamo l enegia in Joule e deteminiamo il aggio: E k 5MeV8 - J alcoliamo il aggio di cuvatua della taiettoia del potone: p B m B E p k m Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

44 A. hiodoni esecizi di Fisica II A cos (9 -α) Inolte, abbiamo che, consideando il tiangolo AP, L cos( 9 α) e uindi L LB cos( 9 α ) ( p E oa possibile tovae l angolo α di uscita dalla egione di campo magnetico come: cos( 9 α ) sin( α ).9 α acsin(.9) b) La coodinata y del punto P saà: y ( cosα ) ( cosα ). 6m Esecizio Un fascio di elettoni, dopo essee stato acceleato da una d.d.p. V V, enta in una egione in cui esiste un campo magnetico B.T. La diezione degli elettoni foma un angolo α con B. alcolae a) il aggio della ciconfeenza della taiettoia elicoidale compiuta dagli elettoni. b) di uanto avanzano gli elettoni, lungo l elica, in ciascun gio (p, passo dell elica). oluzione Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

45 A. hiodoni esecizi di Fisica II y v p B z a) Iniziamo con il calcolae la velocità degli elettoni: mv 9 ev.6 ev v m m / s v Le due componenti paallela e pependicolae a B sono v // v cosα, v vsinα. alcoliamo oa il aggio di cuvatua dalla componente della velocità otogonale al campo magnetico, a patie dal euazione del moto: mv eb eb eb ev B v vsinα v, e uindi: m m msin( α) 7 mvsin( α) sin( α ) 5 8. m. 87mm 9 eb.6. b) Pe deteminae il passo dell elica dobbiamo tovae il peiodo T π m π 9. π ω eb.6. s.78 s Alloa, usando dalla componente della velocità paallela al campo magnetico: 7 p v cosα T.87. cos( ).78. m. mm Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

46 A. hiodoni esecizi di Fisica II Esecizio Al giogo di una bilancia è sospesa una spia igida laga b5cm. La pate infeioe è immesa in un campo magnetico unifome B otogonale al piano della spia. e nella spia cicola una coente di intensità ia con veso oppotuno, si osseva che pe ieuilibae la bilancia occoe mettee una massa m.5 g sul piatto. alcolae il valoe del modulo di B. oluzione Il lato oizzontale della spia immeso nel campo magnetico isente della foza F ibb ( legge di Laplace) che in modulo vale F ibb sin(θ ) ibb in uanto B e b sono otogonali. Negli alti tatti di spia sottoposti al campo magnetico la coente ha vesi opposti e le foze sono uguali e contaie; esse hanno anche la stessa etta di azione pe cui non poducono nessun effetto. La foza F è dunue euilibata dalla foza peso mg : mg ibb B Esecizio 5 mg ib T i considei una spia ettangolae, di lati a e b, pecosa dalla coente i; essa è immesa in un campo magnetico unifome e con esso foma un angoloθ. Deteminae il momento tocente che tende ad allineae la spia pependicolamente al campo magnetico B. oluzione Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

47 A. hiodoni esecizi di Fisica II Q ome si deduce dalla figua, le foze magnetiche F e F sui lati e PQ sono uguali e contaie e hanno la stessa azione; ciascuna di esse è la isultante di un sistema di foze paallele applicate nel cento del lato e nel loo insieme fomano una coppia di baccio nullo e uindi di momento nullo. Le foze F e F sui lati Q e P, ciascuna di modulo F iab ( legge di Laplace) in uanto i lati a sono a B, sono anch esse uguali e contaie, ma costituiscono una coppia di baccio b sinθ. Il momento della coppia vale il modulo: M bsinθ F bsinθ iab iσbsinθ ed è paallelo al piano della spia e oientato paallelamente al lato a. Poiché v m iσuˆ il momento magnetico della spia, il momento meccanico può essee definito anche come M mb iσuˆ B. Tale momento è nullo solo se m B //. La posizione con θ è e di euilibio stabile, uella con n θ π di euilibio instabile. Pe ualsiasi alto valoe di θ M tende a fa uotae la spia in modo che il momento magnetico m (che è paallelo a û n, nomale alla spia oientata ispetto alle coente secondo la egola della mano desta) diventi paallelo e concode a B. n è Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 7

48 A. hiodoni esecizi di Fisica II ogenti del campo magnetico, legge di Ampee, legge di Biot-awat Esecizio Due spie cicolai di aggio cm, aventi lo stesso asse, sono poste in piani paalleli oizzontali distanti amm. La spia supeioe è appesa al giogo di una bilancia. e nelle spie cicola nello stesso veso la stessa coente ia, pe istabilie l euilibio occoe aggiungee sull alto piatto una massa m. Deteminae il valoe di m. oluzione A patie dalla seconda legge elementae di Laplace: df ids B, e icodando che il modulo del campo magnetico geneato da una spia pecosa da µ i coente è B, abbiamo che la foza (attattiva) che agisce sulle spie vale: π µ i µ i i π B i π πa a F m Notiamo che uesto appoccio può essee utilizzato in uanto il appoto ta le distanze a ta le due spie e la lunghezza ( π ) delle due spie è molto piccolo e uindi esse possono essee tattate come fili indefiniti paalleli. L euilibio nella bilancia viene stabilito se F m F p. Quindi: µ i µ i mg m a ga kg Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 8

49 A. hiodoni esecizi di Fisica II Esecizio Ognuno degli 8 conduttoi in figua è pecoso da una coente di A, entante o uscente dal piano della pagina. ono indicate due linee chiuse pe l integale di linea B ds. Qual è il valoe della integale pe a) la linea di sinista e pe b) la linea a desta? oluzione Pe isolvee il poblema icoiamo alla legge di Ampèe: ds µ i B Fissato il veso del cammino di integazione, esta fissato anche il segno delle coenti, secondo la egola della mano desta. Pe cui: 6 6 a) B ds ( i i i ) µ ( i i i) µ iµ.6.5 Tm b) B ds ( i + i i + i ) µ ( i + i i + i) µ Esecizio Un conduttoe cilindico cavo di aggi a e b è pecoso da una coente distibuita unifomemente. alcolae: a) il campo magnetico B() in funzione della distanza dall asse e b) veificae che pe a si ottengono i isultati elativi ad un conduttoe cilindico pieno (vedi esecizio ). Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 9

50 A. hiodoni esecizi di Fisica II oluzione a) Pe isolvee il poblema utilizziamo la legge di ampee ds µ i, scegliendo via B via come cammino di integazione una ciconfeenza di aggio dento e fuoi dal cilindo. < a B( ) pechè non ci sono coenti concatenate con il cammino di integazione. a b B ds Bds cos θ πb, in uanto B // ds. La coente i è unifomemente distibuita nell aea del cilindo cavo; la coente tansitante ento la linea π è popozionale all aea acchiusa dalla linea stessa: i int π ( π ( b a ) i, uindi: a ) B ds µ i int ( Bπ µ i ( b a ) µ i B( ) a ) π ( b a (si assegna segno positivo alla coente consideando un cammino di integazione con veso antioaio) > b ( ) a ) Il cilindo si compota come se fosse un filo indefinito pecoso da coente: B ds µ i B(π) B( ) µ i π b) e a, µ i µ j B( ) πb Esecizio Un filo ettilineo indefinito di aggio è pecoso da una coente di intensità i. alcolae il campo magnetico podotto dal filo in funzione della distanza dall asse del filo. oluzione Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

51 A. hiodoni esecizi di Fisica II Poiché pe la pima legge elementae di Laplace µ ids db uˆ t uˆ, è poiché pe un filo indefinito vale: π ût diezione del tatto infinitesimo ds û diezione di si ha che il campo magnetico di un filo indefinito ha lo stesso valoe in tutti i punti di una ciconfeenza coassiale al filo di aggio ed è ad essa tangente. Applichiamo la legge di Ampee: µ i : B ds B(π ) µ i B π i itova cioè la legge di Biot e avat. In uesto caso, dobbiamo consideae la coente concatenata alla linea di integazione, cioè la coente intena alla ciconfeenza di aggio. Nell ipotesi che la Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

52 A. hiodoni esecizi di Fisica II i densità di coente sia unifome su tutta la sezione e che j, applicando la legge π di Ampee: B ds B( π π µ i µ j π ) µ iconc µ i B µ i π L andamento del campo magnetico in funzione di saà: Esecizio 5 icavae dalla legge di Ampee il campo magnetico podotto da un solenoide ettilineo indefinito con n spie pe unità di lunghezza pecose dalla coente i. oluzione Poiché il sistema è indefinito, facciamo l ipotesi che la densità delle spie sia costante; il campo magnetico saà paallelo all asse del solenoide e avà ovunue lo stesso valoe. Data la simmetia del sistema, si può anche ipotizzae che il campo abbia lo stesso valoe in tutti i punti inteni al solenoide e che le linee del campo siano paallele all asse. Le linee, chiudendosi all infinito, implicano che all esteno del solenoide il campo B sia nullo. onsideiamo oa il pecoso chiuso ADF; la coente concatenata è pai a nih, in uanto nh è il numeo di spie contenuto nella pozione alta h di solenoide e i la coente che pecoe ciascuna spia. Applichiamo la legge di Ampee: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

53 A. hiodoni esecizi di Fisica II A D A F D F A B ds µ inh) B ds B ds + B ds + B ds + B ds, dove B ds Bh ( B ds e B ds, pechè ds B A F B ds, pechè fuoi, B A D F Quindi, Bh µ inh B µ in Esecizio 6 Un solenoide tooidale è costituito da N spie avvolte attono ad una supeficie a foma di tooide. alcolae a) il campo magnetico se nel sistema cicola la coente i. b) se il tooide è un mateiale con pemeabilità magnetica elativa µ, calcolae i campi H, B ed M nel suo inteno. oluzione i B a) Data la simmetia del poblema, le linee del campo magnetico all inteno del solenoide sono ciconfeenze con cento sull asse del tooide. Applichiamo la legge di Ampèe pe tovane il modulo: µ Ni B ds µ Ni πb B π b) icodando che H B µ, che M ( µ ) H χ mh e che H ds i (legge di Ampee pe H ), alloa: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

54 A. hiodoni esecizi di Fisica II Ni πh Ni H, π µ µ N. i B µ µ H π. Ni B M χ m H χ m H ( µ ) H π µ Esecizio 7 Un anello tooidale di aggio cm è fatto di feo con pemeabilità magnetica µ 5. Una bobina con N spie è avvolta sulla supeficie dell anello. alcolae la coente i che deve pecoee la bobina pe podue una magnetizzazione 5 M A. m oluzione icodiamo la elazione che lega la magnetizzazione con l induzione magnetica: B M ( µ ) H ( µ ) ; applichiamo la legge di Ampèe B ds µ Ni Bπ µ. Quindi µ Ni B ; π H Ni ; π M ( µ ) Ni π πm La coente i saà uindi i ( µ ) N π (5 ) 5.5A Esecizio 8 Due spie di aggio ed (con >>) sono pecose ispettivamente dalle coenti i e i. La pima spia giace sul piano y, mente la seconda giace sul piano yz ad una distanza d dalla pima spia (sia d>>). alcolae il momento meccanico che agisce sulla seconda spia e die come detta spia uota pe potasi in posizione di euilibio (si supponga fissa la pima spia). Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

55 A. hiodoni esecizi di Fisica II oluzione Il campo magnetico geneato dalla spia () nella zona occupata dalla spia () vale: o B µ ( sull asse) i + d ) / kˆ (dalla a legge di Laplace applicata ad una spia e calcolata (i suppone che essendo <<, il campo sia pessoché costante in tutta la zona occupata dalla spia ()). Alla spia () può essee associato il momento magnetico supeficie acchiusa dalla spia e û n coincide con il vesoe î : m i uˆ, dove è la n m iπ iˆ Di conseguenza, sulla spia agisce un momento meccanico µ iiπ M m B ( + d ) / Poiché il momento meccanico vale in modulo ˆj M aggiunge uando m e B hanno la stessa diezione. θ posizione di euilibio stabile θ π Posizione di euilibio instabile mbsinθ, la posizione all euilibio si Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 55

56 A. hiodoni esecizi di Fisica II Esecizio 9 Due spie cicolai di cento O e O ispettivamente, aventi uguale aggio.m e distanti a.5m, sono disposte paallelamente e collegate in seie. La spia infeioe è fissa, mente la spia supeioe costituisce il piatto di una bilancia a bacci uguali. All alto baccio della bilancia è collegata l amatua mobile di un condensatoe piano a facce paallele di aea A.m e distanza d.m. Deteminae la diffeenza di potenziale da applicae al condensatoe pe mantenee l euilibio che si ha in condizione di iposo uando nelle spie passa la coente I A. oluzione La distanza fa le spie è molto minoe del loo aggio. Possiamo alloa appossimae il campo ceato da una spia nei punti in cui si tova l alta calcolandolo con la fomula di Biot e avat, come se i fili fosseo ettilinei indefiniti e paalleli, cioè: I B µ π a Tale campo ha lo stesso valoe in tutti i punti di ogni spia. Poiché le spie sono pecose dalla coente nello stesso veso, si esecita una foza attattiva fa le spie (dietta veso il basso, sulla spie supeioe) pai a: F m IB π µ I Pe calcolae la foza attattiva fa le amatue del condensatoe possiamo ossevae che ad una vaiazione vituale d della distanza ta le amatue coispondeebbe in lavoo d. Tale lavoo saebbe il coispettivo della vaiazione di enegia F e elettostatica cambiata di segno, più il lavoo compiuto al geneatoe collegato al condensatoe, il uale pe mantenee invaiata la tensione avebbe dovuto tasfeie una ceta uantità infinitesima d di caica da un amatua alla alta. La vaiazione di enegia elettostatica a tensione costante è: a Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 56

57 A. hiodoni esecizi di Fisica II dw d V V d Il lavoo del geneatoe è pai a dv. Poiché V dv V d Quindi, V V F e d d + V d d Detta la distanza fa le amatue del condensatoe piano, si ha che: A E alloa F e V d dx A V (la foza è attattiva) e d e icodando che i bacci della bilancia sono uguali, posso uguagliae F m ed F e A Fm µ I Fe V a d V µ I V Id µ 76. 6V a A a A Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 57

58 A. hiodoni esecizi di Fisica II LEGGE DI FAADAY, LEGGE DI LENZ, INDUTTANZA, ENEGIA MAGNETIA Esecizio Una bobina costituita da N spie di aea cm e esistenza complessiva 5Ω è posta ta le espansioni di un elettomagnete e giace in un piano otogonale alle linee di B. Il campo magnetico, unifome sui punti di, vaia nel tempo aumentando lineamente del valoe zeo al valoe B. 8T in un tempo t s. alcolae la f.e.m. indotta nella bobina e il lavoo totale speso nel tempo t. oluzione La legge di vaiazione del campo magnetico è attaveso la bobina vale: B t t B e di conseguenza il flusso ( B) φ NB uˆ nd NB cos( θ ) d NB d NB NBt t Il valoe della fem indotta saà: (legge di Faaday) ξ i fem i dφ( B ) N dt db dt NB.8 8 V t La coente indotta saà paai a: i fem dφ( B) 8 dt 5.6 A Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 58

59 A. hiodoni esecizi di Fisica II La coente cicola in veso tale da opposi con il suo campo alla vaiazione di B (legge di Lenz). La potenza fonita dalla fem (dissipata sulla esistenza ) e il lavoo totale valgono: P ξ. i ( 8 i L Pt ξ it.8 i ) (.6 J ).8 W Esecizio Una bobina ettangolae di lati a cm e b 5 cm è composta da N spie di esistenza complessiva Ω e giace nel piano y. Un campo magnetico B 5 ( t.5) uˆ T agisce sulla bobina. alcolae (a) la fem indotta ξ (t) nella bobina z (b) La coente i(t) e la caica (t) che cicola nella stessa ta l istante t e t,5 s. oluzione a) alcoliamo innanzi tutto il flusso di B e poi applichiamo la legge di Faaday. a a 5bN ( t.5) a ( B) φ NBuˆ nd N 5 ( t.5) bd N( t.5) b5 d 5 8. ( t. 5)Wb o 6 5 Quindi la fem indotta saà: ( t.5) 8. o ( t.5) dφ( B) fem i ( 8. t) V ( 6.7 t) V dt Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 59

60 A. hiodoni esecizi di Fisica II b) alcoliamo la coente indotta: fem 6.7 t i ( 8. t) A E infine, la caica (t) si icava da i(t): t φ dφ( B) ( t) i( t) dt ( φ φ) dt to φ ( t) 8. ( φ () φ (.5)) ( ). Esecizio Una spia di aggio a5cm, costituita da un filo conduttoe di sezione mm e 8 esistività ρ,7 Ωm, viene potata da una egione in cui esiste un campo di induzione magnetica unifome B,5Wb / m dietto secondo un angolo α 6 ispetto alla nomale al piano della spia, in una egione in cui il campo è nullo. Qual è la caica totale che pecoe la spia in conseguenza di tale spostamento? oluzione La coente indotta nella spia ottenuta sfuttando la legge di Faaday, vale: dφ( B) i dt Mente la caica totale (legge di Felici) veà: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

61 A. hiodoni esecizi di Fisica II t φ dφ( B) Q i( t) dt dt t φ [ φ ( B) φ ( B) ] u uesto caso, φ ( B ) pechè la spia viene potata in una zona in cui il campo magnetico è nullo. Alloa: φ ( ˆ πa B) B und B cos( α ) ds B cos( α) ds B cos( α ) Quindi, icodando che l ρ Q φ ( ) cos( α) π cos( α) π B B a B a ρl ρπa B cos( α) a ρ N.B. uesto pocesso viene utilizzato pe la misua di campi magnetici mediante galvanometo balistico: noto Q si isale al valoe di B. Esecizio E dato un sistema di conduttoi costituito da un lungo filo ettilineo e da una spia piana ettangolae disposti (nel vuoto) come in figua. Nel filo ettilineo fluisce una coente ia. Mediante l apetua di un inteuttoe essa viene idotta al valoe in un tempo t. 5. alcolae la fem indotta nella spia ettangolae ed indicae il veso in cui fluisce la elativa coente. oluzione Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6