MATEMATICA CORSO A COMPITINO DI RECUPERO (Tema 1) 10 Febbraio 2010

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1 MATEMATICA CORSO A COMPITINO DI RECUPERO (Tema 1) 10 Febbraio 010 SOLUZIONI 1. Una soluzione è un sistema omogeneo prodotto dallo scioglimento di una sostanza solida, liquida o gassosa (soluto) in un opportuno liquido (solvente). La concentrazione di una soluzione, espressa solitamente in percentuale, è il rapporto tra la massa del soluto e quella della soluzione. Sapendo che 5 ± g di soluto vengono sciolti in 175 ± g di solvente, calcola, in percentuale, il valore stimato, l errore relativo e l errore assoluto della concentrazione della soluzione ottenuta. Indichiamo con s la massa del soluto (con s il valore stimato), con S la massa del solvente (con S il valore stimato) e con M la massa totale della soluzione (con M il valore stimato). Allora si ha s = 5 ± S = 175 ± M = s + S = 00 ± 4 Il valore stimato della concentrazione c, indicato con c, è Gli errori relativi di s e M sono c = s M = 5 00 = 1.50% ǫ r s = 5 = 8% ǫr M = 4 00 = % quindi l errore relativo di c, dato dalla somma dei due, vale ǫ r c = ǫ r s + ǫ r M = 10% Per trovare l errore assoluto di c è sufficiente ricordare che da cui ǫ r c = ǫa c c ǫ a c = ǫ r c c = 10% 1.50% = 1.5% La concentrazione vale quindi c = 1.50% ± 1.5%. 1

2 . (4 punti) Si pescano 5 carte da un mazzo di 5 carte (4 semi, ciascun seme ha 13 carte, dall asso al dieci più tre figure, jack, donna e re). a) Qual è la probabilità di pescare esattamente una figura? b) Qual è la probabilità di pescare almeno una figura? c) Qual è la probabilità di pescare esattamente due figure e un asso? Pescare 5 carte contemporaneamente equivale a pescarne 5 una per volta senza rimettere la carta pescata nel mazzo. Le figure presenti nel mazzo sono 1, mentre gli assi sono 4. a) Pescare esattamente una figura significa pescare 4 carte che non siano figure e 1 figura: ( ) P(1F) = La stessa probabilità può essere calcolata utilizzando casi favorevoli e casi possibili : ( ) ( ) ( ) P(1F) = / b) L evento pescare almeno una figura è l evento complementare di pescare 0 figure che ha probabilità P(0F) = 40 ( ) ( ) = / 5 5 La probabilità cercata è allora P(almeno1F) = 1 P(0F) c) Pescare esattamente due figure e un asso significa pescare due figure, un asso ed altre due carte che non siano né figure né assi: oppure P(F 1A) = P(F 1A) = ( 5 ( 1 ) ( 3 1 ) ( 4 1 ) ) ( ) ( 5 / 5 )

3 3. In un laboratorio si misurano (in cm) le lunghezze di un campione di N foglie di un dato albero. La media di queste N lunghezze è 15. Se tre foglie del campione, della lunghezza rispettivamente 8, 9.4 e 10.6, sono scartate, la media delle foglie rimanenti è Determina il numero N di foglie del campione. Indichiamo con m i le misure delle lunghezze del campione in cm, con l indice i che varia da 1 al numero delle misure presenti nel campione. Sappiamo che la media di queste lunghezze, quando il campione è composto da N misure, vale 15: N m i N = 15 m i = 15N Togliendo 3 misure il campione resta composto da N 3 misure e la media diventa 15.5 quindi N 3 m i N 3 = 15.5 N 3 m i = 15.5 (N 3) Conosciamo però le 3 misure tolte dal campione quindi N 3 e di conseguenza m i = m i ( ) = m i 8 N 3 m i = 15.5 (N 3) m i 8 = 15.5 (N 3) m i = 15.5 (N 3) + 8 Ma la somma delle N misure è anche uguale a 15 N quindi si ottiene 15 N = 15.5 (N 3) N = = 18.5 N = 37 3

4 4. Risolvi la seguente disequazione 6 x x Disegna poi l insieme S T dove S = {(x, y) R R : y 6 x} e T = {(x, y) R R : y x } La prima cosa da fare è trovare l insieme di definizione di questa disequazione; poiché è presente una radice di indice pari il radicando deve essere maggiore o uguale a 0: 6 x 0 x 3 Se x 3 la quantità 6 x è definita ed è maggiore o uguale a 0; poiché deve essere maggiore o uguale a x, otteremo delle soluzioni se x è una quantità non positiva, cioè se x (le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente): { x 3 x da cui si ottiene un primo insieme di soluzioni x. Se x è una quantità positiva, cioè x >, dobbiamo confrontare due quantità positive e possiamo elevare al quadrato ambo i membri della disequazione: x 3 x > ( 6 x) (x ) Sviluppando si ottiene { < x 3 6 x x 4 x + 4 x x 0 ovvero { < x x che porta alle ulteriori soluzioni < x Concludendo, la disequazione è verificata per x L insieme S T è la porzione di piano cartesiano che sta sopra alla retta y = x e sotto la curva di equazione y = 6 x. Ad esempio, il semiasse negativo delle ascisse appartiene a tale insieme (vedi Figura 1). 4

5 Figura 1: Rappresentazione grafica di y = 6 x e y = x. 5. Il gruppo sanguigno è determinato da un locus genetico con tre possibili alleli A, B, 0. Il fenotipo A corrisponde ai genotipi AA, A0; il fenotipo B ai genotipi BB, B0; il fenotipo AB corrisponde al genotipo AB; il fenotipo 0 corrisponde al genotipo 00. Sapendo che in una data popolazione l allele A ha frequenza 0.6, l allele B ha frequenza 0.3 e l allele 0 ha frequenza 0.1, calcola: a) le frequenze genotipiche e le frequenze fenotipiche; b) la probabilità che un individuo, preso a caso nella popolazione abbia gruppo sanguigno AB, sapendo che entrambi i genitori hanno gruppo sanguigno AB; c) la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione abbia gruppo sanguigno AB, sapendo che la madre ha gruppo sanguigno AB ed il padre ha gruppo sanguigno A. Indichiamo con p, q ed r le frequenze degli alleli A, B e 0 rispettivamente, quindi p = 0.6 q = 0.3 r = 0.1 Si ha p + q + r = 1 da cui p + q + r + pq + q r + q r = 1 dove p = 0.36, q = 0.09, r = 0.01, pq = 0.36, q r = 0.06 e p r = 0.1. a) Le frequenze genotipiche sono i numeri calcolati precedentemente, ovvero f(aa) = p f(bb) = q f(00) = r f(ab) = pq f(b0) = q r f(a0) = pr Le frequenze fenotipiche sono f(a) = p + pr = 0.48 f(b) = q + q r =

6 f(ab) = pq = 0.36 f(0) = r = 0.01 b) P(AB P AB M AB ) = P(AB P AB M AB ) P(P AB M AB ) (pq/)(pq/) (pq) = 1 = P(AB P AB M AB ) P(P AB ) P(M AB ) = c) P(AB P A M AB ) = P(AB P A M AB ) P(P A M AB ) = P(AB P AB M AB ) P(P A ) P(M AB ) = 6. Sia data la funzione (p + p r)pq (p + pr)(pq) = 1 48 f(x) = a x b x con i parametri a, b R a, b 0. a) Calcola i parametri a e b sapendo che f( 1) = 3/ e f( ) = 5. b) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), individua l insieme di definizione e trova i valori di x per i quali f(x) = 0. c) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), calcola i limiti agli estremi dell insieme di definizione. a) Imponiamo le condizioni f( 1) = 3/ e f( ) = 5: { a ( 1) b 1 = 3 a b = 9 a ( ) b = 5 4 a b = 0 Risolvendo il sistema si trova a = 31/6 e b = /3, ovvero la funzione è f(x) = 31 x 4 6 x b) La funzione non è definita quando si annulla il denominatore, quindi il suo insieme di definizione è {x R : x }. f(x) = 0 31 x 4 = 0 x = ± 31 6

7 c) Dobbiamo calcolare quattro limiti, a ± e a da destra e sinistra. A ±, numeratore e denominatore tendono a +, ma il numeratore è un polinomio di grado superiore rispetto al denominatore, quindi il risultato del limite è + : lim f(x) = + lim x + f(x) = + x Per x che tende a, sia da destra che da sinistra, il numeratore tende a un numero finito, mentre il denominatore tende a 0, quindi lim f(x) = + lim x + f(x) = + x 7