Dinamica del punto. Le leggi di Newton. Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

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1 Dinamica del punto Le leggi di Newton Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Dinamica e inerzia DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE Studia le CAUSE FISICHE che determinano il moto del punto INERZIA La tendenza di un corpo a rimanere fermo o a proseguire di moto rettilineo e uniforme IN ASSENZA DI FORZE è chiamata inerzia Principio d inerzia: «Un corpo non soggetto a forze non subisce cambiamenti di velocità, ossia rimane in quiete se già lo era o si muove di moto rettilineo uniforme»

3 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Dinamica e inerzia Osservazione fondamentale: Prima Galileo ( ) e poi Newton ( ) avevano capito che la VARIAZIONE DI VELOCITÀ ( che implica accelerazione), in modulo, direzione, o entrambi, è dovuta all AZIONE DI UNA FORZA La variazione dello STATO DI MOTO di un punto è determinata dall INTERAZIONE del punto con l AMBIENTE CIRCOSTANTE

4 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Introduzione al concetto di forza ACCELERAZIONE FORZA FORZA Grandezza che esprime e misura l INTERAZIONE tra sistemi fisici o Concetto legato inizialmente alla sensazione di sforzo muscolare, o sforzo esercitato da sistemi meccanici (molle, leve) Constatazione: NON è necessario un CONTATTO per esercitare una forza o INTERAZIONE A DISTANZA (gravitazione, elettrostatica) Alla forza si associano i concetti di INTENSITÀ E DIREZIONALITÀ

5 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Introduzione al concetto di forza Un MOTO ACCELERATO segnala la PRESENZA DI UNA FORZA AGENTE Esempio: Moto circolare uniforme o Velocità costante in modulo, ma con direzione variabile per effetto dell accelerazione centripeta quindi per effetto di UNA FORZA! o Se la forza si annulla, il punto cessa il moto circolare uniforme e inizia un moto rettilineo uniforme diretto lungo la tangente alla circonferenza nel punto in cui è cessata l azione della forza!

6 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Prima Legge della Dinamica Detta anche PRIMA LEGGE DI NEWTON o PRINCIPIO D INERZIA Se su un oggetto non agiscono forze (o la risultante è nulla), esso non subisce cambiamenti di velocità Se era in quiete, rimane in quiete Se era in movimento, si muove di moto rettilineo uniforme

7 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Sistemi di riferimento inerziali Il Principio d inerzia implica una particolare scelta di sistemi di riferimento nei quali essa è SEMPRE VALIDA In alcuni sistemi di riferimento la legge potrebbe non essere valida! Ogni sistema in moto rettilineo ed uniforme RISPETTO ad un sistema inerziale è anch esso inerziale o Un sistema in moto accelerato NON PUÒ ESSERE INERZIALE o Un sistema di riferimento che si muove con velocità costante rispetto alle stelle lontane può essere considerato con buona approssimazione inerziale o La Terra può essere considerata un sistema inerziale, nonostante abbia una piccola accelerazione dovuta al suo moto

8 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Se si tenta di modificare lo stato di moto di un corpo, questo SI OPPONE a tale cambiamento L opposizione è una misura della risposta di un corpo a forze esterne Un corpo manifesta «un INERZIA» al cambiamento dello stato di moto INERZIA è collegata alla MASSA del corpo, che nel S.I. si misura in kg Osservazione: MASSA Massa inerziale A parità di forza agente: MAGGIORE la massa MINORE l accelerazione risultante sul corpo o Relazione sperimentale tra masse e accelerazioni: m 1 m 2 = a 2 a 1 Proprietà intrinseca del corpo, indipendente da come viene misurato o da ciò che lo circonda La massa è una grandezza scalare ed è additiva UNITÀ DI MISURA kg

9 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Forze Lo stato di moto «naturale» degli oggetti è essere in quiete, oppure in moto rettilineo uniforme Le forze sono RESPONSABILI di questo cambiamento Due tipi di forze: Forze di CONTATTO o Conseguenza del contatto fisico fra due oggetti CAMPI DI FORZE o Agiscono tramite lo spazio, senza contatto fisico A livello microscopico, esistono SOLO CAMPI DI FORZE

10 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Forze FORZE DI CONTATTO CAMPI DI FORZE m M q +Q Ferro N S

11 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Seconda Legge della Dinamica Legge FONDAMENTALE della dinamica del punto Formulazione QUANTITVA del legame tra FORZA e STATO DEL MOTO F = m a o F: forza che esprime l interazione del punto materiale con l ambiente circostante o a: accelerazione del punto VARIAZIONE della sua VELOCITÀ nel tempo o m: massa inerziale ( punto «materiale») Se a = 0 v = costante si ritrova il principio d inerzia: F = 0 Formalmente si indica anche come: F = m dv dt = m d2 r dt 2 o Dalle caratteristiche della forza si ricavano quelle del moto, e viceversa! È una LEGGE VETTORIALE! F x = m a x, F y = m a y, F z = m a z UNITÀ DI MISURA kg m/s 2 = N "Newton"

12 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quantità di moto e impulso DEFINIZIONE DI QUANTITÀ DI MOTO p mv Forma più generale della seconda legge della dinamica F = dp dt Lo stato dinamico del punto è individuato dalla quantità di moto, in cui compaiono la massa e la velocità Valida per v c (c = velocità della luce) Nel caso particolare in cui F = 0 si ha una LEGGE DI CONSERVAZIONE La quantità di moto SI CONSERVA se la risultante delle forze è nulla

13 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quantità di moto e impulso L azione di una forza F durante un tempo dt provoca una variazione infinitesima della quantità di moto del punto DEFINIZIONE DI IMPULSO ԦJ න Fdt = න dp = p p 0 = Δp 0 t p p 0 UNITÀ DI MISURA Ns Rappresenta l integrale della forza nel tempo TEOREMA DELL IMPULSO L impulso di una forza applicata ad un punto materiale provoca la variazione della sua quantità di moto ԦJ = m v v 0 = mδv o FORMA INTEGRALE della seconda legge della dinamica o Valuta l effetto complessivo in un intervallo di tempo finito

14 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.1 Si consideri un punto materiale di massa m = 50 g che si muove con velocità costante v = 2 m/s e che urta contro un muro, posto a 90 rispetto alla traiettoria. Esso rimbalza ripercorrendo l iniziale traiettoria rettilinea con velocità v. Si calcolino: 1. La variazione di quantità di moto; 2. Il valor medio della forza agente durante l urto di durata Δt = 10 3 s.

15 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A PESO = Forza gravitazionale Causata dall attrazione gravitazionale che la Terra esercita su tutti i corpi Vicino alla superficie terrestre, un corpo di massa m risente della forza peso P diretta verso il centro della Terra: P = mg o Direzione normale alla superficie terrestre Forza peso o L accelerazione di gravità g sulla superficie della Terra è INDIPENDENTE dalla massa del corpo, dipende invece dalla massa e dal raggio della Terra

16 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Forza peso ATTENZIONE A NON CONFONDERE I CONCETTI DI MASSA E PESO Anche se sono tra loro collegati Il PESO P è il modulo della forza peso esercitata dalla Terra su un oggetto di massa m o Noi di fatto misuriamo il modulo di tale forza chiamandolo peso o La forza peso risulta dall interazione di un corpo con la Terra Lo stesso oggetto di massa m ad esempio posto sulla Luna risulterebbe avere un peso pari a 1/6 del suo peso sulla Terra! o Valore differente di g!

17 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Terza Legge della Dinamica Quando due corpi m 1 e m 2 interagiscono, le forze esercitate da un corpo sull altro sono UGUALI IN MODULO E DIREZIONE, ma OPPOSTE in verso «PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE» F 1,2 = F 2,1 o Le due forze hanno la stessa RETTA D AZIONE NON ESISTE UNA FORZA ISOLATA o Le forze vanno considerate sempre a coppie

18 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Terza Legge della Dinamica ESEMPI La forza che il martello esercita sul chiodo è uguale e contraria a quella che il chiodo esercita sul martello La forza che il tavolo esercita sul monitor (detta forza NORMALE) è la reazione alla forza che il monitor esercita sul tavolo. La forza (di AZIONE) che la Terra esercita sul monitor è uguale ed opposta alla forza (di reazione) che il monitor esercita sulla Terra

19 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.2 In base alla Terza Legge della Dinamica, la stessa forza che la Terra esercita su di noi viene da noi esercitata sulla Terra. Assumendo che la nostra massa sia m = 60 kg, e sapendo che la massa della Terra vale M T = kg, si calcoli: 1. L accelerazione da noi esercitata nei confronti della Terra.

20 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri il caso in cui su un punto materiale agiscano contemporaneamente più forze F 1, F 2,, F n DEFINIZIONE di RISULTANTE Risultante delle forze R = F 1 + F F n = In presenza di più forze, ciascuna agisce indipendentemente dalle altre INDIPENDENZA delle azioni simultanee i F i a = R m = i F i m = i a i Dallo studio del moto di un punto materiale si ottengono informazioni solo sulla risultante R delle forze agenti sul punto stesso, NON sulle singole forze

21 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Affermare che la forza agente su un punto è nulla, non implica necessariamente che sul punto non agiscano forze, ma che LA SOMMA DELLE FORZE agenti sul punto, ovvero che la RISULTANTE R sia NULLA DEFINIZIONE DI EQUILIBRIO STATICO Equilibrio statico Se R = σ i F i = ma = 0 e il punto ha inizialmente velocità nulla RIMANE IN QUIETE R x = R y = R z = 0 σ i F x,i = 0, σ i F y,i = 0, σ i F z,i = 0

22 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.3 Un punto materiale è sottoposto ad una forza F 1 = 34 N lungo il verso negativo dell asse y e ad una forza F 2 = 25 N che forma un angolo θ = 30 con l asse y nel verso delle x negative. Calcolare modulo, direzione e verso della forza F 3 che occorre applicare al punto materiale per mantenerlo in equilibrio statico.

23 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Forza normale Detta anche REAZIONE VINCOLARE Due corpi a contatto esercitano uno sull altro le FORZE DI CONTATTO Se le superfici sono prive di attrito, le forze di contatto sono sempre DIRETTE NORMALMENTE (=PERPENDICOLARMENTE) ad esse.

24 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Vincoli Un vincolo è una qualunque LIMITAZIONE DELL AMBIENTE AL MOTO del corpo Limitazione avviene per contatto tra corpo e vincolo ESEMPI: Una fune Una superficie d appoggio o rotaia Un asse fisso Un punto fisso

25 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Vincoli Un vincolo è una qualunque LIMITAZIONE DELL AMBIENTE AL MOTO del corpo Limitazione avviene per contatto tra corpo e vincolo ESEMPI: una fune Il contatto tra corpo e vincolo produce un interazione che si manifesta sotto forma di forza una superficie d appoggio o rotaia un asse fisso un punto fisso Per la 3 Legge della Dinamica, la forza con cui il corpo agisce sul vincolo è uguale e contraria a quella, detta reazione vincolare, con cui il vincolo agisce sul corpo

26 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A ESEMPIO: Oggetto poggiato su un tavolo (supporto rigido) Il supporto si deforma e reagisce esercitando una FORZA NORMALE N perpendicolare alla superficie stessa o N eguale e contraria alla forza peso P o alla risultante R delle forze agenti o In caso di equilibrio: R + N = 0 Le reazioni vincolari non sono note a priori Si ricavano caso per caso, analizzando le altre forze agenti In generale, le reazioni vincolari hanno sia componenti perpendicolari che tangenziali alla superficie stessa di contatto o Vincolo liscio solo la componente perpendicolare (reazione normale) o Vincolo scabro Reazioni vincolari R N

27 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A FILI E FUNI Fili, funi, carrucole Oggetti che trasmettono la forza solo in trazione Esempio contrario: le barre possono trasmettere la forza sia in trazione, sia in compressione, che in sforzo di taglio CARRUCOLE Le considerazioni svolte possono essere estese al caso in cui siano presenti carrucole e quindi la fune cambi direzione

28 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Tensione dei fili Quando un filo è fissato ad un corpo e tirato si dice che esso è sotto tensione. Il filo esercita sul corpo una forza detta TENSIONE Direzione: quella del filo Verso: quello di trascinamento del corpo Spesso, il filo si considera IDEALE Privo di massa ed inestensibile Esercita la sua funzione nel medesimo modo su ciascuno dei suoi estremi Questo non cambia anche in caso si utilizzino carrucole Un filo si dice «allentato» quando T = 0

29 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.4 Un semaforo di peso 122 N pende da un cavo leggero connesso ad altri due cavi leggeri come in figura, con θ 1 = 37 e θ 2 = Determinare le tensioni dei tre cavi in condizione di equilibrio. θ 1 θ 2

30 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Azione dinamica delle forze Forze agenti sulla cassa Tensione della corda di T La forza peso: F g = P La forza normale N esercitata dal pavimento Risoluzione applicando la Seconda Legge della Dinamica alle componenti x e y: F x = T = ma x F y = N mg = 0 N = mg Se T = cost. a = cost. Moto uniformemente accelerato

31 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esempio: Macchina di Atwood Costituita da due oggetti di massa m 1 e m 2 connessi da un filo inestensibile di massa trascurabile, posto sopra una carrucola priva di massa. Studio del rapporto tra forza peso, massa e accelerazione 1. Tensione: T 1 = T 2 È la stessa per i due oggetti (un solo filo!) 2. Accelerazione: a 1 = a 2 È la stessa per i due oggetti (connessi dal filo!) 3. Soluzione: Risolvere separatamente o ATTENZIONE AI VERSI DI T E A!! ቊ T m 1 g = m 1 a y m 2 g T = m 2 a y a y = g m 2 m 1 m 1 + m 2 m 1 m 2 m 1 m 2 T = g 2m 1m 2 m 1 + m 2

32 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.5 Si consideri una persona di 75 kg in un ascensore in movimento. Si calcoli la reazione vincolare nei seguenti casi: 1. L ascensore sale con accelerazione costante di 1 m/s 2 ; 2. L ascensore scende con accelerazione costante di 1 m/s 2 ; 3. L ascensore sale con velocità costante di 3 m/s.

33 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri un punto materiale di massa m = 0. 8 kg, inizialmente in quiete, sottoposto all azione di una forza costante F 1, avente direzione e verso dell asse x e modulo F 1 = 16 N. Dopo un tempo t 1 = 3 s cessa l azione della forza e si osserva che il punto rallenta uniformemente, fermandosi all istante t 2 = 9 s. Si calcolino: 1. La velocità e lo spazio percorso dal punto materiale in t 1 ; 2. La decelerazione del punto materiale prima di t 2 ; 3. La forza F 2 parallela all asse x che agisce durante la frenata; 4. Lo spazio totale percorso. Esercizio 3.6

34 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Piano inclinato θ Si consideri un corpo, assimilabile ad un punto materiale di massa m, appoggiato su un PIANO INCLINATO rispetto all orizzontale di un angolo θ

35 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Piano inclinato N mg cosθ θ P mg senθ θ Si consideri un corpo, assimilabile ad un punto materiale di massa m, appoggiato su un PIANO INCLINATO rispetto all orizzontale di un angolo θ Conviene scegliere Asse x lungo il piano inclinato Asse y perpendicolare al piano Scomporre la forza peso nelle due componenti: ቊ x: N mgcoθ = 0 y: mg sen θ = m a x Moto uniformemente accelerato

36 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Se su un corpo non agiscono forze allora: a) Rimane in quiete Quesiti di riepilogo (1) b) Continua con moto rettilineo uniforme se era in moto o rimane in quiete se era fermo c) Continua con moto rettilineo uniformemente accelerato

37 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Se su un corpo non agiscono forze allora: a) Rimane in quiete Quesiti di riepilogo (1) b) Continua con moto rettilineo uniforme se era in moto o rimane in quiete se era fermo c) Continua con moto rettilineo uniformemente accelerato

38 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (2) Quale affermazione delle seguenti è l unica corretta per la massa? a) La massa è il peso in assenza di gravità; b) La massa è proporzionale all accelerazione del corpo quando soggetto ad una forza c) La massa è l inerzia che presenta un corpo alla variazione del suo stato di moto d) La massa rappresetna la capacità di un corpo di variare il suo stato quando è in quiete

39 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (2) Quale affermazione delle seguenti è l unica corretta per la massa? a) La massa è il peso in assenza di gravità; b) La massa è proporzionale all accelerazione del corpo quando soggetto ad una forza c) La massa è l inerzia che presenta un corpo alla variazione del suo stato di moto d) La massa rappresetna la capacità di un corpo di variare il suo stato quando è in quiete

40 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Forza di attrito Si consideri un corpo appoggiato su un piano orizzontale a cui venga applicata una forza F ext parallela al piano d appoggio Si osserva sperimentalmente che il corpo NON ENTRA IN MOVIMENTO ma oppone una certa RESISTENZA allo scorrimento FORZA DI ATTRITO: schematizzabile come una forza TANGENTE alla superficie F att F ext A livello microscopico, l attrito è dovuto ai legami (delle vere e proprie microsaldature) che si instaurano tra i corpi a contatto.

41 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Attrito radente statico Sperimentalmente si osserva che il corpo NON ENTRA IN MOVIMENTO finché il modulo della forza F applicata al corpo non abbia superato un certo valore proporzionale alla reazione vincolare N esercitata sul corpo: F s,max = μ s N μ s : COEFFICIENTE DI ATTRITO STATICO (adimensionale) N FORZA DI ATTRITO RADENTE STATICO: F s = F È presente finché F F s,max o Condizione di quiete: F μ s N o Condizione di moto: F > μ s N F F s P

42 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Attrito radente dinamico Quando F > μ s N, il corpo entra in movimento lungo il piano. Una nuova forza SI OPPONE ora al moto FORZA DI ATTRITO RADENTE DINAMICO F d = μ d N μ d : COEFFICIENTE DI ATTRITO DINAMICO (adimensionale) Per una data coppia di superfici risulta sempre: μ d < μ s La forza di attrito dinamico: o Non dipende dalla velocità del corpo rispetto al piano d appoggio o Ha verso CONTRARIO rispetto alla direzione del moto ( u v : versore velocità) F d = μ d N u v

43 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Attrito statico e dinamico Riassumendo: Un piano reale si oppone al moto di un corpo poggiato su di esso con una forza di attrito. Fintanto che il corpo resta fermo, si parla di attrito statico F s, caratterizzato da un valore massimo F s,max ; quando il corpo è in movimento si parla di attrito dinamico F d = cost. 1. Per vincere i legami tra superfici a contatto a livello microscopico è necessaria una forza che stira e rompa tali legami Questo spiega l attrito statico 2. I legami si riformano continuamente ad ogni contatto con le asperità Questo spiega l attrito dinamico L attrito è sempre proporzionale all effettiva superficie di contatto, dunque alla reazione vincolare F att N. Le forze di attrito vanno incluse nella somma σ F che appare nella Seconda Legge della Dinamica. F att Caso statico F s,max F as Caso dinamico F ad F x

44 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Forze centripete Come studiato in cinematica, un corpo che percorre una circonferenza di raggio r a velocità costante è soggetto ad un accelerazione centripeta a N = v 2 /r. Una forza F r che provoca un accelerazione centripeta agisce nella direzione del centro del cerchio Questa forza produce un cambiamento nella direzione del vettore velocità e un moto circolare Se la risultante delle forze R agenti su un punto materiale presenta una componente F r ortogonale alla traiettoria, questa risulta curvilinea F r = ma N = mv2 r In generale, R ha anche componente tangente F T, responsabile della variazione del modulo della velocità Se F T = 0, il moto lungo la traiettoria è uniforme e a N è l unica accelerazione Forze centripete prodotte da Rotaie; Pneumatici; Fili che collegano il corpo ad un punto fisso; Vincoli che fanno incurvare la traiettoria.

45 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A La forza che accelera un automobile è la FORZA DI ATTRITO AL SUOLO 1. Il motore applica una forza sulle ruote 2. Il fondo delle ruote applica forze in direzione contraria al moto sulla superficie stradale, mentre la reazione (della strada sulle ruote) produce il moto in avanti dell automobile Si consideri una curva orizzontale piatta La forza centripeta è data dalla forza di attrito statico Velocità massima alla quale l automobile può affrontare la curva mv2 max r v max Moto di un automobile in curva μ s mg μ s g r o Notare come la velocità massima NON DIPENDA dalla massa dell automobile

46 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.7 Nel 1901 un acrobata di un circo si lanciò nel numero del giro della morte in bicicletta su una pista circolare verticale. Assumendo che la pista sia un cerchio di raggio R = 2. 7 m, si calcoli: 1. Il minimo valore che deve raggiungere la velocità della bicicletta per rimanere in contatto nel punto più in alto della pista.

47 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.8 Un auto di massa M = 1600 kg viaggia con velocità costante v = 20 m/s su una pista circolare di raggio R = 190 m. Si calcoli: 1. Il minimo valore di coefficiente di attrito statico tra pneumatici e strada che impedisce all auto di slittare.

48 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Punto materiale appeso tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile Posizione verticale in C = posizione di EQUILIBRIO STATICO Seconda Legge della Dinamica P + T = ma ቊ x: mg sen θ = m a T y: T mg cos θ = m a N P t = mg sen θ è una forza di richiamo verso C, visto che tende a riportare il corpo in equilibrio A differenza della forza elastica NON ha direzione costante! Pendolo semplice O L C θ P T P T y P N x

49 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Pendolo semplice Equazione differenziale del moto del pendolo d 2 θ dt 2 + g sen θ = 0 L Per piccole oscillazioni (piccoli angoli, θ < 10 ): sen θ θ LEGGE ORARIA del moto θ(t) = θ 0 sen (ωt + φ 0 ) o θ 0 : ampiezza dell oscillazione o φ 0 : fase iniziale Pulsazione: ω = g/l, Periodo: T = 2 π L/g o Entrambi non dipendono dalla massa dell oggetto, ma dalla lunghezza del filo LEGGE ORARIA (dello spostamento lungo l arco di circonferenza s t = Lθ t = L θ 0 sen (ωt + φ 0 ) o Ampiezza: A = L θ 0

50 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (3) La forza di attrito statica ha espressione: a) 0 b) μ s Mg c) μ s N d) μ s N

51 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (3) La forza di attrito statica ha espressione: a) 0 b) μ s Mg c) μ s N d) μ s N

52 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Studio del moto di un corpo in un fluido (liquido o gas) Il mezzo esercita una forza di resistenza che si oppone al moto La forza risultante è opposta al moto ed è in genere PROPORZIONALE ALLA VELOCITÀ Accelerazione: a = bv/m Forza di attrito viscoso F = bv o In presenza di una forza di attrito viscoso non è possibile realizzare una condizione di equilibrio statico, poiché se v = 0, la forza si annulla! Il moto nei mezzi viscosi può essere molto più complesso Es. Un oggetto si muove nell aria con una velocità abbastanza grande da produrre moti turbolenti nell aria

53 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.9 Si consideri un punto materiale di massa m che cade in un fluido. Assumendo che le uniche forze agenti siano la forza peso e la forza di attrito viscoso, si determini: 1. L andamento della velocità in funzione del tempo; 2. Cosa succede nel limite di v = gm/b.

54 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Forza elastica LEGGE DI HOOKE: DEFINIZIONE DI FORZA ELASTICA (unidimensionale) Forza di direzione costante, con verso sempre rivolto ad un punto O, chiamato centro, e con modulo proporzionale alla distanza da O. F = k l l 0 u x = k x u x k: COSTANTE ELASTICA della molla l 0 : lunghezza a riposo della molla x: rappresenta la deformazione UNITÀ DI MISURA N/m o Se si assume la forza diretta lungo l asse x, il segno meno indica opposizione allo spostamento l 0 l > l 0 F Molla allungata: Forza di richiamo l < l 0 F Molla compressa: Forza repulsiva

55 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Accelerazione a = F m = k m x = ω2 x = d2 x dt 2 MOTO ARMONICO SEMPLICE Legge oraria: x t = A sen(ωt + φ 0 ) o Pulsazione o Periodo ω = T = 2π k/m m/k Nei punti di massimo allungamento e compressione: Accelerazione massima e velocità nulla Nel punto di equilibrio: Forza elastica Accelerazione nulla e velocità massima (con opportuno segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo) l 0 l > l 0 F Molla allungata: Forza di richiamo l < l 0 F Molla compressa: Forza repulsiva

56 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.10 Un carrello sale lungo un piano inclinato di 20 con accelerazione costante a 1 = 2 m/s 2. Sul carrello si trova un corpo di massa m = kg, fissato ad una parete del carrello tramite una molla di costante elastica k = 12 N/m. Non ci sono attriti e oscillazioni. 1. Calcolare di quanto si allunga la molla e in che verso; 2. Verificare cosa cambia se l accelerazione vale a 2 = 5 m/s 2, assumendo che il carrello scenda verso il basso.

57 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (4) Quale affermazione delle seguenti `e l unica corretta? a) Il periodo di oscillazione del pendolo è proporzionale alla massa; b) Il periodo di oscillazione del pendolo è linearmente dipendente dalla lunghezza del filo; c) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende dalla lunghezza del filo; d) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende da k/m.

58 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (4) Quale affermazione delle seguenti `e l unica corretta? a) Il periodo di oscillazione del pendolo è proporzionale alla massa; b) Il periodo di oscillazione del pendolo è linearmente dipendente dalla lunghezza del filo; c) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende dalla lunghezza del filo; d) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende da k/m.

59 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.11 Un oggetto di peso P = 700 kn è tirato tramite una corda ad un angolo di 30 rispetto al piano orizzontale con una forza pari a 1200 N. 1. Determinare l accelerazione con la quale si muove l oggetto.

60 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.12 Si consideri un blocco di massa M = 3. 3 kg poggiato su una superficie liscia e senza attrito, collegato tramite una fune inestensibile ed una carrucola (ideale) ad un altra massa m = 2. 1 kg. Si assumano cavi e puleggia senza massa. 1. Determinare le accelerazioni delle due masse e le tensioni dei fili. M m

61 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Caveat Problemi con punti materiali collegati tra loro I problemi sono spesso riconducibili alla dinamica del punto materiale Si schematizzano le forze agenti su ogni corpo indicando anche la tensione della fune (diagramma di corpo libero); Si sceglie il sistema di riferimento più opportuno; Tenendo conto che la dinamica effettiva non dipende dal nostro sistema di riferimento, è possibile scegliere un sistema diverso per ogni punto materiale Si ha spesso a che fare con funi inestensibili I capi della fune si muovono con le stesse accelerazioni e velocità

62 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Due alpinisti di massa m = 65 kg e M = 85 kg si trovano sul bordo di un crepaccio di un ghiacciaio, con pendenza θ = 25 e sono tra loro legati. Uno dei due cade trascinando anche il primo. Prima che riesca a fermarsi con la piccozza, l alpinista rimasto sul ghiacciaio scivola senza attrito. Si calcolino: 1. L accelerazione che hanno i due alpinisti durante la caduta; 2. La tensione della corda. Esercizio 3.13 M m

63 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Una scatola di massa m 1 = 3 kg su uno scivolo privo di attrito inclinato di 30 è collegata ad un altra di massa m 2 = 1 kg appoggiata su una superficie orizzontale egualmente priva di attrito. Ad m 1 è applicata una forza F di modulo F = 2. 3 N diretta come in figura. Si calcolino: 1. La tensione nella corda; Esercizio L intensità massima di F per evitare che la corda si allenti. m 1 m 2

64 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Tre blocchi di massa m 1 = 12 kg, m 2 = 24 kg e m 3 = 31 kg sono collegati tra loro come in figura e sono spinti verso destra su un piano orizzontale liscio da una forza T 3 = 65 N. Si calcolino: 1. L accelerazione del sistema; 2. Le tensioni T 1 e T 2. Esercizio 3.15 m 1 m 2 m 3

65 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.16 Si considerino due masse m 1 = 8 kg e m 2 = 10 kg unite tramite una corda che scivolano su due piani inclinati lisci. La massa m 1 si trova su un piano inclinato di θ 1 = 40, mentre m 2 si trova su un piano inclinato di θ 2 = Determinare l accelerazione e la tensione della fune. θ 1 θ 2

66 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.17 Si consideri il sistema in figura. Si considerino gli attriti trascurabili e la carrucola come ideale. I valori delle masse sono: m A = 200 g, m B = 300 g e m C = 100 g. 1. Calcolare il valore di F affinchè m A rimanga in quiete rispetto a m B.

67 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.18 Si consideri una cassa di massa m = 67 kg che viene trascinata sul pavimento mediante una corda attaccata alla cassa ed inclinata di 15 sopra l orizzontale. 1. Se il coefficiente d attrito statico è 0. 5, si calcoli il modulo della forza minima necessaria a smuovere la cassa; 2. Se il coefficiente di attrito dinamico è 0. 35, si calcoli l accelerazione della cassa, trascinata con la stessa forza calcolata al punto precedente.

68 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Una forza F parallela ad una superficie inclinata di 15 rispetto al piano orizzontale agisce su un blocco di peso 45 N appoggiato su di essa, come indicato in figura. I coefficienti di attrito tra blocco e piano inclinato sono μ s = 0. 5 e μ d = Se il blocco è inizialmente fermo, si determini il modulo della forza d attrito per i seguenti valori di F: a) F = 5 N; b) F = 8 N; c) F = 15 N. Esercizio 3.19 F

69 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.20 Si consideri la figura sottostante, nella quale due blocchi di massa m A = 10 kg e m B sono collegati tra loro attraverso una puleggia. La massa A si trova su un piano inclinato di 30. Il coefficiente d attrito dinamico vale μ d = Se m A scivola lungo il piano inclinato con velocità costante, si determini il valore di m B.

70 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 3.21 Si considerino i due blocchi raffigurati aventi m = 16 kg, M = 88 kg. Il coefficiente d attrito statico tra i due blocchi pari a μ s = La superficie su cui poggia la massa M è priva d attrito. 1. Si calcoli la minima intensità di F necessaria a tenere m attaccato a M.

71 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si considerino i due corpi mostrati in figura, con m A = 10 kg e m B = 3 kg. I coefficienti di attrito statico e dinamico tra A ed il piano inclinato (con θ = 40 ) sono rispettivamente μ s = e μ d = È possibile che il sistema rimanga in quiete? 2. Si calcoli l accelerazione del sistema nei seguenti casi a) A è in moto in salita; b) A è in moto in discesa. Esercizio 3.22

72 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri una massa M 1 = 1 kg, posta sopra una massa M 2 = 2. 5 kg. Le due masse sono collegate tra loro da una fune inestensibile. Una terza massa M 3 = 5 kg è collegata ad M 2 come mostrato in figura. Il coefficiente di attrito dinamico è μ d = 0. 3 per tutte le superfici in contatto. Si calcolino: 1. L accelerazione; 2. Le tensioni delle funi. Esercizio 3.23

73 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si considerino due blocchi di massa M A = 4 kg e M B = 6 kg. Al corpo A è applicata una forza F = 20 N. Si considerino trascurabili gli attriti. Si calcolino: 1. L accelerazione dei blocchi; Esercizio La reazione vincolare tra i due blocchi.