Algebra lineare. Laboratorio di programmazione e calcolo CdL in Chimica. Pierluigi Amodio

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1 Algebra lineare Laboratorio di programmazione e calcolo CdL in Chimica Pierluigi Amodio Dipartimento di Matematica Università di Bari pierluigi.amodio@uniba.it amodio A.A. 2016/17 P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 1 / 19

2 definizione una matrice A è un insieme ordinato di numeri, ciascuno dei quali è identificato da due indici che rappresentano la riga e la colonna A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn = (a ij) la matrice ha dimensione m n se è definita tramite m righe e n colonne; gli indici in ciascun elemento rappresentano la posizione nella matrice (indice di riga e colonna) P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 2 / 19

3 esempi matrice quadrata (m = n), triangolare (quadrata con aij = 0 se i > j o i < j), diagonale (quadrata con a ij = 0 se i j), tridiagonale (quadrata con a ij = 0 se i j > 1), a banda (quadrata con aij = 0 se k 1 i j k 2 ) matrice identica I (diagonale con aii = 1), nulla O (aij = 0) P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 3 / 19

4 operazioni Sulle matrici è possibile definire le seguenti operazioni algebriche addizione C = A + B: c ij = a ij + b ij sottrazione C = A B: c ij = a ij b ij moltiplicazione (elevamento a potenza) C = AB: c ij = trasposto B = A T : b ij = a ji k a is b sj Una operazione corrispondente alla divisione serve a risolvere sistemi lineari s=1 P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 4 / 19

5 proprietà Valgono tutte le proprietà esclusa la commutatività per il prodotto. associativa (A + (B + C) = (A + B) + C e A(BC) = (AB)C) commutativa (A + B = B + A) distributiva (A(B + C) = AB + AC, (A + B) T = A T + B T e (AB) T = B T A T ) ((A T ) T = A) P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 5 / 19

6 operazioni tra scalari e matrici L unica operazione ammissibile per cui non deve essere verificata la compatibilità tra le dimensioni è l operazione B = αa, dove A è una qualsiasi matrice e α è uno scalare. Ovviamente A/α è da intendersi come 1 α A P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 6 / 19

7 vettori un vettore è una particolare matrice con un sola riga o una sola colonna; ciascun elemento è identificato da un solo indice per le operazioni tra vettori valgono le stesse propretà definite per le matrici (non vale il prodotto ma è possibile definire il prodotto scalare ed un prodotto di rango 1) dati k vettori x 1, x 2,..., x k si definisce combinazione lineare α 1 x α k x k k vettori x 1, x 2,..., x k sono linearmente indipendenti se α 1 x α k x k = 0 se e solo se α 1 = = α k = 0 2 vettori x e y sono ortogonali se x T y = 0; vettori ortogonali sono linearmente indipendenti P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 7 / 19

8 spazio vettoriale R insieme di vettori con n elementi su cui sono definite le operazioni di somma (tra vettori) e prodotto (scalare per vettore); il vettore con tutti gli elementi uguali a 0 è detto vettore nullo un sottoinsieme E di R n è detto sottospazio vettoriale di R n se, fissati x, y E e α R si ha x + y E e αx E una base di uno spazio vettoriale è il più piccolo insieme di vettori con i quali è possibile definire tutti gli elementi dello spazio; il numero di vettori nella base definisce la dimensione R n ha dimensione n k vettori e tutte le loro combinazioni lineari definiscono uno spazio vettoriale; se i vettori sono linearmente indipendenti tale spazio ha dimensione k P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 8 / 19

9 sistemi lineari un sistema lineare è un equazione (sistema di equazioni) del tipo Ax = b in cui x è l incognita range di A (range(a)) è lo spazio generato dalle colonne di A rango (caratteristica) di A (rank(a)) è la dimensione di questo spazio ( (m, n)) teorema (di Rouchè Capelli): il sistema lineare Ax = b ha soluzione se e solo se rank(a) rank([a b]) P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 9 / 19

10 teorema di Rouchè Capelli Indicato con k = rank(a) si ha k = m (la matrice A ha rango massimo): k < m: non può essere m > n m = n: il sistema ha una soluzione m < n: il sistema ha n m soluzioni rank([a b]) = k il sistema ha n k soluzioni rank([a b]) > k il sistema non ha soluzioni; può aver senso calcolare una soluzione approssimata, cioè un vettore x per cui Ax b P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 10 / 19

11 esempi ( ) ( ) ( ) 1 3 x1 = 4 5 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 ( ) 1 2 ( ) 6 = 2 ( ) 1 x x 2 = x 3 ( ) c ( ) x1 = 11 x P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 11 / 19

12 sistemi omogenei Un sistema lineare è detto omogeneo se il termine noto coincide con il vettore nullo. In questo caso esiste sempre una soluzione in quanto rank(a) rank([a b]) (la soluzione banale che ha tutti i valori uguali a 0). Seguendo quanto detto precedentemente, se k = rank(a), esempi: k = n = m: il sistema ha 1 soluzione. k < n: il sistema ha n k soluzioni ( soluzione ( ) 0 x1 = 1 soluzione x 2 2 soluzioni 0 0 ( ) ) ( ) x1 = x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 ( ) 0 0 ( ) 0 = 0 P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 12 / 19

13 matrici quadrate se una matrice ha lo stesso numero di righe e colonne è detta quadrata il determinante di una matrice quadrata è un numero che, se diverso da 0, ci dice che la matrice ha rango massimo; in questo caso la matrice è detta non singolare se A è non singolare, è possibile definire la sua inversa A 1, cioè una matrice con le stesse dimensioni di A e tale che AA 1 = A 1 A = I la matrice inversa gode delle seguenti proprietà: (A 1 ) 1 = A (A 1 ) T = (A T ) 1 (AB) 1 = B 1 A 1 I 1 = I P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 13 / 19

14 sistemi lineari quadrati se A è non singolare, esiste ed è unica la soluzione del sistema lineare Ax = b x = A 1 b regola di Kramer: se det(a) 0, il sistema lineare Ax = b ha un unica soluzione che può essere ottenuta tramite la formula x i = det(b i) det(a) dove B i è la matrice ottenuta sostituendo in A la i-esima colonna con b. poichè il determinante è molto costoso da calcolare si preferisce ottenere la soluzione mediante metodi di eliminazione P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 14 / 19

15 autovalori ed autovettori Sia A una matrice quadrata: si chiama autovalore di A ogni soluzione λ complessa di det(a λi ) = 0 dove I è la matrice identica analogamente un autovalore λ è tale che esiste almeno una soluzione non nulla del sistema Ax = λx (cioè il sistema omogeneo (A λi )x = 0 ha soluzioni non banali); il vettore non nullo x è detto autovettore di A ed è determinato a meno di una costante una matrice n n ha al più n autovalori nel campo complesso; se λ è complesso, anche λ è un autovalore il più grande autovalore in modulo di A è detto raggio spettrale e si indica con ρ(a) se un autovalore di A è uguale a 0, allora A è singolare P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 15 / 19

16 matrici simmetriche Sia A una matrice quadrata: una matrice A quadrata è detta simmetrica se a ij = a ji gli autovalori di matrici simmetriche sono reali gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali esistono n autovettori ortogonali tra loro P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 16 / 19

17 norme vettoriali si definisce norma (e si indica con ) una funzione che associa a ciascun vettore o matrice un numero; per i vettori la norma deve soddisfare le seguenti condizioni: x 0 e x = 0 solo quando il vettore x è nullo λx = λ x x + y x + y esempi di norme vettoriali n x 1 = x i x 2 = ( n x T x = i=1 x = max i x i i=1 x 2 i ) 1/2 P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 17 / 19

18 norme matriciali le norme matriciali in più devono soddisfare la seguente proprietà: AB A B esempio: norma di Frobenious m A F = n i=1 j=1 a 2 ij 1/2 P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 18 / 19

19 norme matriciali indotte m A 1 = max a ij j i=1 A 2 = ρ(a T A) A = max i n a ij j=1 A = max x Ax x P. Amodio (pierluigi.amodio@uniba.it) algebra lineare 2016/17 19 / 19