APPLICAZIONI LINEARI

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1 APPLICAZIONI LINEARI Fra le applicazioni definite tra spazi vettoriali sono particolarmente significative quelle che conservano le operazioni, dette applicazioni lineari. Definizione Siano V, W due k-s.v. Un applicazione f : V W si dice lineare se: 1. f (v + v ) = f (v) + f (v ) per ogni v, v V 2. f (av) = af (v) per ogni a k e v V. Lo spazio V si chiama DOMINIO di f e W si chiama CODOMINIO di f. Se f : V W è lineare, allora f (0 V ) = 0 W. Infatti, preso un qualsiasi v V : f (0 v ) = f (0 v) = 0 f (v) = 0 W. 1 / 26

2 Definizione Sia f : V W un applicazione lineare tra due k-s.v. Chiamiamo immagine di f il sottoinsieme di W : Im f = {w W w = f (v) per qualche v V }. Quindi Imf è l'insieme dei vettori di W che provengono da V mediante f. Chiamiamo nucleo di f il sottoinsieme di V : ker f = {v V f (v) = 0 W }. Quindi Kerf è l'insieme degli elementi di V che hanno per immagine 0 W. Osserviamo che 0 W Im f e 0 V ker f, per cui Im f, ker f.

3 Proposizione Siano V, W due k-s.v. e sia f : V W un applicazione lineare. Allora: 1. Im f W e ker f V sono due sottospazi 2. se V = L(v 1, v 2,..., v n ) = Im f = L(f (v 1 ), f (v 2 ),..., f (v n )). DIMOSTRAZIONE

4 L applicazione θ : V W definita da θ(v) = 0 W per ogni v V è un applicazione lineare ed è detta applicazione nulla. Siano U, V, W k-s.v. e siano f : V W e g : W U applicazioni lineari. Allora l applicazione composta g f : V U definita da: (g f )(v) = g(f (v)) v V è un applicazione lineare, detta applicazione lineare composta. Definizione Sia V un k-s.v. Chiamiamo endomorfismo di V un applicazione lineare f : V V. L applicazione identica i V : V V definita da i V (v) = v per ogni v V è un endomorfismo. 2 / 26

5 Definizione Se f : V W e V V è un sottospazio, la restrizione di f a V è f V : V W definita da f V (v) = f (v) per ogni v V ed è un applicazione lineare. Se V U, con U k-s.v. e V sottospazio di U, ogni applicazione lineare f : U W tale che f V = f è detta estensione di f. Definizione Se Im f T, con T k-s.v., allora si può considerare l applicazione lineare g : V T tale che g(v) = f (v) per ogni v V. Si dice che g è indotta da f. Quindi f induce un'applicazione g da V in T se Imf è contenuto in T e tale che g(v) = f(v) per v di V. 3 / 26

6 Definizione Sia f : V W un applicazione lineare tra due k-s.v. V e W. Diremo che f è iniettiva se è un applicazione iniettiva, cioè se: v, v V, v = v = f (v) f (v ). Diremo che f è suriettiva se è un applicazione suriettiva, cioè se ogni vettore di W è immagine di qualche vettore di V, cioè se Im f = W. Diremo che f è un isomorfismo se f è iniettiva e suriettiva. Diremo che f è invertibile se esiste g : W V applicazione lineare tale che g f = i v e f g = i W. g è detta applicazione inversa e si indica con f 1. 4 / 26

7 PROPRIETA' Il seguente risultato fornisce un criterio utile per controllare se un'applicazione è iniettiva. Proposizione Sia f : V W un applicazione lineare tra due k-s.v. V e W. Allora: f è iniettiva ker f = {0 V }. DIMOSTRAZIONE.

8 Le nozioni di isomorfismo e di applicazione lineare invertibile sono equivalenti come afferma il seguente risultato. Proposizione Sia f : V W un applicazione lineare tra due k-s.v. V e W. Allora: f è un isomorfismo f è invertibile. Vediamo adesso l'azione di un'applicazione lineare su vettori linearmente indipendenti. Proposizione (Immagini di vettori linearmente indipendenti) Sia f : V W un applicazione lineare tra due k-s.v. V e W. Allora: 1. se f è iniettiva e v 1,..., v r V sono l.i. = f (v 1 ),..., f (v r ) sono l.i. 2. se f (v 1 ),..., f (v r ) sono l.i. = v 1,..., v r V sono l.i. DIMOSTRAZIONE. 5 / 26

9 Corollario Sia f : V W un applicazione lineare tra due k-s.v. V e W e siano dim V = n e dim W = m. Allora: 1. se f è iniettiva n m 2. se f è suriettiva n m 3. se f è un isomorfismo n = m 4. se f è un isomorfismo e [v 1,..., v n ] è una base di V [f (v 1 ),..., f (v n )] è una base di W. Teorema (Teorema della dimensione) Sia f : V W un applicazione lineare tra due k-s.v. V e W e sia V finitamente generato. Allora: dim ker f + dim Im f = dim V. DIMOSTRAZIONE 6 / 26

10 ASSEGNAZIONE DI UN'APPLICAZIONE LINEARE Ci sono tre modi tra loro equivalenti per assegnare un applicazione lineare. PRIMO MODO (Mediante una base del dominio) Teorema Siano V, W due k-s.v., A = [v 1,..., v n ] una base di V e w 1,..., w n W vettori arbitrari. Allora esiste un unica applicazione lineare f : V W tale che: f (v 1 ) = w 1, f (v 2 ) = w 2,..., f (v n ) = w n. Corollario Siano V, W due k-s.v., f : V W, g : V W due applicazioni lineari e A = [v 1,..., v n ] una base di V. Allora: f = g f (v 1 ) = g(v 1 ), f (v 2 ) = g(v 2 ),..., f (v n ) = g(v n ). 7 / 26

11 SECONDO MODO (Mediante equazioni esplicite) Siano V, W due k-s.v. e siano A = [v 1,..., v n ] una base di V e B = [w 1,..., w m ] una base di W. Ogni vettore v V è determinato dalle sue componenti [v] A = (x 1,..., x n ) e ogni w W da [w] B = (y 1,..., y m ). Quindi, un applicazione lineare f : V W è assegnata se assegniamo una legge: f (v) = w f (x 1 v x n v n ) = y 1 w y m w m, dove y 1,..., y m sono espresse mediante polinomi lineari e omogenei nelle x i : y 1 = a 11 x a 1n x n y 2 = a 21 x a 2n x n... y m = a m1 x a mn x n. 8 / 26

12 TERZO MODO (Assegnando la matrice associata) Definizione Siano V, W due k-s.v. e siano A = [v 1,..., v n ] una base di V e B = [w 1,..., w m ] una base di W. Se f : V W è un applicazione lineare, chiamiamo matrice associata a f rispetto alle basi A e B la matrice M A,B (f ) che ha per colonne [f (v 1 )] B, [f (v 2 )] B,..., [f (v n )] B, cioè: dove: a 11 a a 1n M A,B a 21 a a 2n (f ) = km,n, a m1 a m2... a mn f (v 1 ) = a 11 w 1 + a 21 w a m1 w m f (v 2 ) = a 12 w 1 + a 22 w a m2 w m... f (v n ) = a 1n w 1 + a 2n w a mn w m. 9 / 26

13 Osservazione Se v V e [v] A = (x 1,..., x n ), allora [f (v)] B = M A,B (f )[v] A, cioè: M A,B (f ) M A,B (f ) x 1 x 2... x n v 1 v 2... v n = [f (v)] B. Nel caso in cui le basi A e B sono canoniche vale anche : se v = (v 1,..., v n ), allora f (v) = M A,B (f )[v], cioè: = f (v). 10 / 26

14 Allora data una matrice A, due spazi vettoriali e relative basi è possibile definire l'applicazione lineare associata alla matrice A rispetto alle basi date come segue: Siano V, W due k-s.v., A = [v 1,..., v n ] una base di V, B = [w 1,..., w m ] una base di W e sia A k m,n una matrice: a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn Definiamo applicazione lineare associata ad A rispetto alle basi A e B l applicazione lineare ϕ: V W definita da: cioè tale che A = M A,B (ϕ). ϕ(v i ) = a 1i w 1 + a 2i w a mi w m, i, 11 / 26

15 Notazioni Se f : V V è un endomorfismo e A è una base di V, allora: M A,A (f ) = M A (f ). Se f : k n k n ed E è la base canonica di k n, allora: M E (f ) = M(f ). 12 / 26

16 Studio della dimensione di Imf e Kerf Se f : V W è un applicazione lineare tra due k-s.v. V e W e se A = [v 1,..., v n ] è una base di V e B è una base di W, allora: 1) Im f = L(f (v 1 ),..., f (v n )) dim Im f = ρ(m A,B (f )). 2) Per il teorema della dimensione: dim Kerf = dim V - dim Im f = dim V - ρ (M A,B (f )). 13 / 26

17 Operazioni tra applicazioni lineari e basi assegnate Definizione Siano V, W due k-s.v. e siano f : V W e g : V W due applicazioni lineari. La somma di f e g è l applicazione lineare f + g : V W definita da (f + g)(v) = f (v) + g(v) v V. Definizione Siano V, W due k-s.v., f : V W un applicazione lineare e a k. Il prodotto di af è l applicazione lineare af : V W definita da (af )(v) = af (v) v V. Siano V, W due k-s.v., A una base di V, B una base di W, f : V W e g : V W due applicazioni lineari e a, b k. Allora: M A,B (f + g) = M A,B (f ) + M A,B (g) e M A,B (af ) = am A,B (f ). In particolare, M A,B (af + bg) = am A,B (f ) + bm A,B (g).

18 Proposizione Siano V, W, U k-s.v. e f : V W e g : W U applicazioni lineari. Siano A una base di V, B una base di W e C una base di U. Allora: M A,C (g f ) = M B,C (g) M A,B (f ). Proposizione Siano V, W due k-s.v. e f : V W un isomorfismo. Siano A e B due basi di v e W, rispettivamente. Allora: M B,A (f 1 ) = ( M A,B (f )) 1.

19 Assegnazione di restrizioni ed estensioni di applicazioni lineari 1) Sia f : V W un applicazione lineare e sia U V un sottospazio. Se [u 1,..., u r ] è una base di U, allora f U : U W è definita da f (u 1 ),..., f (u r ). 2) Sia V V, con V k-s.v. di cui V è sottospazio proprio. Sia A = [v 1,..., v n ] una base di V e sia [v 1,..., v n, v n +1,..., v m] una base di V (abbiamo completato ad una base di V ). Un applicazione g : V W è un estensione di f se g V = f. Questo significa che certamente: g(v 1 ) = f (v 1 ), g(v 2 ) = f (v 2 ),..., g(v n ) = f (v n ). Invece, g(v n+1 ),..., g(v m) possono essere dei vettori qualsiasi di W. 14 / 26

20 Siano V un k-s.v. A = [u 1,..., u n ] e B = [v 1,..., v n ] basi di V. Siano: Le matrici: P A,B = Matrici del cambiamento di base u i = a 1i v 1 + a 2i v a ni v n i = 1,..., n v i = b 1i u 1 + b 2i u b ni u n i = 1,..., n. a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn PB,A = b 11 b b 1n b 21 b b 2n b n1 b n2... b nn sono dette matrici del cambiamento di base o di passaggio, la prima da A a B, la seconda da B a A. Quindi, la prima colonna di P A,B è [u 1 ] B, la seconda è [u 2 ] B, e così via fino all ultima che è [u n ] B. 16 / 26

21 PROPRIETA' Sia f : V W un applicazione lineare tra due k-s.v. V e W e siano A, A due basi di V e B, B due basi di W. Allora: Se B = A e B = A, allora: M A,B (f ) = P B,B M A,B (f )P A,A. M A (f ) = P A,A M A (f )P A,A = (P A,A ) 1 M A (f )P A,A. Questa proprietà assume importanza alla luce della nozione che segue. 18 / 26

22 Matrici simili Definizione Due matrici A, B k n,n sono simili se esiste una matrice invertibile P k n,n tale che A = P 1 BP. Teorema Due matrici A, B k n,n sono simili sono associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse.