Negli esercizi che seguono ci sono alcune cose da specificare:

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1 DISCLAIMER Negli esercizi che seguono ci sono alcune cose da specificare: ) voi dovete interpretare i simboli V e A (R) sempre come R. Questo oggetto sarà chiamato alle volte piano affine e alle volte piano euclideo : questa seconda locuzione indica semplicemente un piano (affine) in cui siano definiti concetti quali distanza e angolo. ) troverete termini quali affinità e isometria : non fateci (troppo) caso. La prima è una trasformazione del tipo x = Ax + b dove A è una matrice e b un vettore. La seconda è una trasformazione che, in particolare, conserva le distanze d f isometria d(f(x ), f(x )) = d(x, x ) 3) noterete che alcuni esercizi mancano (si passa, magari, dall esercizio 3 al 5): questo perchè ho eliminato le cose che vanno al di là degli scopi del corso.

2 Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica PIANO AFFINE Geometria - A.A prof. Cigliola Foglio n. Geometria affine del piano Esercizio. Per ciascuna delle seguenti terne di punti A, B, C del piano affine A (R), determinare, se possibile, un quarto punto D affinché ABCD sia un parallelogramma: (i) A = (, 3) B = ( 5, ) C = (3, 5); (ii) A = (, ) B = ( 5, 5) C = (3, 3); (iii) A = (, ) B = (, ) C = (3, 4); (iv) A = (0, 3) B = ( 3, 0) C = (3, 0); (v) A = (0, 3) B = (, 5) C = (, ); (vi) A = (e, π) B = (π, e) C = (0, 0). Per ciascuno dei parallelogrammi costruiti, si trovi l equazione delle rette su cui giacciono i suoi lati. Esercizio. Dati il vettore v V ed il punto P A (R), determinare l unico punto Q A (R) tale che P Q= v: (i) v = (, ) P = (3, ); (ii) v = (, ) P = (, ); (iii) v = (0, 0) (iv) v = (, ) (v) v = (, π) P = (3, ); P = ( 3, ); P = (0, π). Esercizio 3. Sia { O, e, e } un sistema di riferimento affine in A (R). Si dimostri che anche { O, v = e + e, v = e + e } è un sistema di riferimento affine in A (R). Esercizio 4. Per ciascun vettore v V (R) e per ogni punto A A (R) determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta parallela a v passante per A: (i) v = (, 3) A = ( 3, ); x = 3 t [ y = + 3t (ii) v = (, ) A = (, 5); x = + s [ y = 5 + s 3x y = 0] x y 3 = 0] (iii) v = (, ) A = ( 3, 5); 3 (iv) v = ( x = t, 0) A = (0, 0); [ y = 0 y = 0] (v) v = (, ) A = ( 3, ). Esercizio 5. Determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per i punti A e B, dove: (i) A = (, 4) B = (3, ); [3x + 4y 3 = 0, x = + 4t y = 4 3t ] (ii) A = (, ) B = (, ); [3x y + = 0] (iii) A = (π, ) B = (π, ); [x = π, x = π y = t ] (iv) A = (, 5) B = (, 5); [y = 5]

3 x = 3 (v) A = (3, ) B = (3, ). [x = 3, ] y = t Esercizio 6. Stabilire se i punti A, B, C sono allineati. In caso affermativo, determinare la retta che li contiene: (i) A = (, ) B = (, 3) C = (, 3); [non allineati] (ii) A = (, ) B = (, ) C = (, ); [y = ] (iii) A = (, ) B = ( 3, ) C = (, ); [non allineati] 3 (iv) A = (, ) B = (0, 5) C = (, 8); [y = 3x + 5] (v) A = (, 3) B = (7, 0) C = ( 3, 6). Esercizio 7. Determinare la posizione reciproca delle rette r ed s e, se sono incidenti, determinare il loro punto di intersezione: (i) r x 3y = 0 s 4x 6y + = 0; [parallele] (ii) r x + y = 0 s 3x + y + = 0; [incidenti in (3/4, 5/8)] (iii) r 3x y = 0 s 4x 6y + = 0; (iv) r x = + t y = + 3t s x 3y + = 0; (v) r x = + t y = 4t s 4x + y + = 0; [parallele] (vi) r x = + t y = s x y + = 0; [incidenti in (, )] (vii) r x = 5t y = + 3t s 5x = 0; (viii) r x = 5t y = + 3t s x = + 5t y = 7 3t; [parallele] (ix) r x = 5t y = + 3t s x = 3 + 5t y = 3t; [parallele] (x) r x = 4t y = 3 t s x = + t y = t; x = + t x = (xi) r s y = 0 y = 3t. Esercizio 8. Trovare l equazione della retta passante per il punto d intersezione delle rette r 3x y + 7 = 0, r y = x + 5 e parallela alla retta s x 4y = 0. Esercizio 9. Determinare tutte le rette del piano che (i) sono disgiunte dalla retta x y + 3 = 0. [le rette di tipo ax + by + c = 0 con a + b 0] (ii) non passano per l origine. [le rette di tipo ax + by + c = 0 con c 0] (iii) non passano per il punto A = (, ). Esercizio 0. Al variare di k, h R, classificare la posizione reciproca delle rette r kx + y = 0 e r x + ky h = 0. [le rette sono incidenti per k ± (si dica in quale punto); per k = h = le rette coincidono con x + y = ; per k = h = le rette coincidono con x y = ; nei casi rimanenti sono parallele] Esercizio. Al variare di k, h R, stabilire se i seguenti punti sono allineati: A(, +k), B(, k) e C(k, k). [allineati se e solo se k = ± ]

4 Sapienza Università PIANO di EUCLIDEO Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria - A.A prof. Cigliola Foglio n.0 Piano euclideo Esercizio. Un triangolo ABC è isoscele sulla base AB ed ha il vertice C sulla retta x + y =. Calcolare il vertice C e l area del triangolo sapendo che A = (, 0) e B = (4, 6). Esercizio. Trovare l equazione della retta passante per il punto di intersezione delle rette 3x y + 7 = 0 e y = x + 5 e perpendicolare alla retta x 4y = 0. Esercizio 3. Sono dati i punti A(, ) e B( 3, 3). Trovare sull asse delle ascisse il punto equidistante da A e B. Esercizio 4. Un quadrato ABCD ha un vertice in A(, ), le ascisse degli altri vertici positive e BC contenuto nella retta 4x + 6y + 5 = 0. Calcolare tutti i vertici del quadrato, il suo perimetro e la sua area. Esercizio 5. Sia D il punto in cui la retta r x 3y+ = 0 interseca la retta passante per A( 3, ) e B(, ). Condurre da D la retta s perpendicolare ad AB e sia C il punto in cui si intersecano s e la retta per B parallela all asse y. Calcolare l area del triangolo ABC. Esercizio 6. Trovare la distanza di P (, 3) dalla retta 4x 3y + 7 = 0. Esercizio 7. Costruire un rombo di lato 4 sistemando i suoi vertici sulle rette perpendicolari s x y + 3 = 0 ed s x + y 0 = 0. Esercizio 8. Calcolare l ampiezza degli angoli compresi tra le rette r x y + 5 = 0 e s x + y π = 0. Esercizio 9. Determinare tutti i punti equidistanti da A(, ) e da B(, 3). Esercizio 0. Calcolare gli angoli compresi tra una retta r di parametri direttori (, ) e la retta r di equazione x + 3y = 0. Esercizio. Determinare la circonferenza passante per i punti O(0, 0), A(, ) e B(, ). Esercizio. Determinare la circonferenza con un diametro di estremi A(, ) e B(, ). Esercizio 3. Determinare, se esiste, la circonferenze passante per i punti O(, ), A(, ) e B(, ). Esercizio 4. Dato il punto A(, ) e la retta r x y 5 = 0, determinare (i) la proiezione ortogonale di A su r; (ii) la distanza di A da r; (iii) il simmetrico di A rispetto ad r. Esercizio 5. Dati i punti A(, 0), B(3, ) e C(, ), (i) determinare i punti equidistanti da A e da B;

5 (ii) determinare i punti equidistanti da A, B e C; (iii) calcolare l area del triangolo ABC; (iv) calcolare il perimetro del triangolo ABC; (v) calcolare i coseni degli angoli del triangolo ABC. Esercizio 6. Siano dati A(, ) e B(, ). Determinare i punti P del piano tali che AP BP. Esercizio 7. Determinare l insieme dei punti del piano che vedono sotto un angolo retto il segmento di estremi A(, ) e B(, ). Esercizio 8. Determinare l insieme dei punti del piano che vedono sotto un angolo di 30 il segmento di estremi A(, 0) e B(, 0). Esercizio 9. Determinare la circonferenza di centro (, 3) e raggio 4. Esercizio 0. Per quali valori di k la seguente equazione rappresenta una circonferenza? x + y 3x + y + k = 0 Esercizio. Trovare la circonferenza tangente nell origine alla retta y 3x = 0 ed avente il centro nella retta x + y = 0. Esercizio. Sono dati nel piano i punti A(, ) B(, ) C(, ) (i) Determinare il perimetro del triangolo ABC. (ii) Calcolare il centro della circonferenza circoscritta ad ABC. (iii) Calcolare il raggio della circonferenza inscritta ad ABC. (iv) Determinare la circonferenza passante per A, B, C.

6 Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria - A.A prof. Cigliola TRASFORMAZIONI NEL PIANO Foglio n.3 Trasformazioni del piano Esercizio. Classificare le seguenti trasformazioni del piano (stabilisci se sono affinità, isometrie, rotazioni etc.) e interpreta la loro azione geometricamente: (i) f(x, y) = (, ) (ii) f(x, y) = (x, x) (iii) f(x, y) = ( 3 x, 3 y) (iv) f(x, y) = (x +, y 3) (v) f(x, y) = (y, x) (vi) f(x, y) = ( x, y) (vii) f(x, y) = (x, y) (viii) f(x, y) = (x + y, x + y) (ix) f(x, y) = ( x y, x + y) (x) f(x, y) = ( 3 x y +, x + 3 y ) Esercizio. Siano date le affinità f(x, y) = (x+y, x+y+) e g(x, y) = (x+y+, x y). Calcolare le equazioni di f g e di g f e stabilire se sono uguali. Esercizio 3. Dimostrare che la composizione di due rotazioni è una rotazione e che l inversa di una rotazione è una rotazione. Esercizio 4. Dimostrare che la composizione di due traslazioni è una traslazione e che l inversa di una traslazione è una traslazione. Esercizio 5. Data un affinità f, si dice che P è un punto fisso per f se f(p ) = P. Calcolare i punti fissi delle affinità (e delle isometrie) dell Esercizio. Esercizio 6. Data le affinità f e g dell Esercizio, calcolare i trasformati sotto la loro azione del punto P (, ), della retta r x y + = 0 e della conica C x y + xy x + y = 0 Esercizio 7. Scrivere le equazioni della rotazione del piano di 45 attorno all origine in senso orario. Esercizio 8. Siano date ρ la rotazione di π 3 attorno all origine e ρ la rotazione di π 4 anch essa attorno all origine, entrambe in verso antiorario. Scrivere le equazioni della trasformazione composta ρ = ρ ρ ed interpretare geometricamente il risultato ottenuto. Classificare ρ (dire se ρ è un affinità, una trasformazione lineare, una isometria). Esercizio 9. Sia σ la simmetria rispetto alla retta x = e sia τ v la traslazione di vettore v = (0, ). Determinare le equazioni di σ τ v e di τ v σ e classificarle. Descrivere geometricamente queste due trasformazioni e verificare che σ τ v = τ v σ. Esercizio 0. Scrivere le equazioni dell isometria che manda l origine nel punto O (, ) e che ruota gli assi cartesiani di 60 in senso antiorario. Esercizio. Classificare e descrivere geometricamente le seguenti trasformazioni (i) Ψ (ii) Ψ x = x y = y x = x + y = y +

7 x = (iii) Ψ x y y = x + y + 3 (iv) Ψ (v) Ψ x = x + y = y x = y + y = x (vi) Ψ x = 3 x + y y = x + 3 y + 3 Esercizio. Calcolare i trasformati dei punti O(0, 0) e P (, ) sotto l azione delle trasformazioni dell Esercizio. Esercizio 3. Calcolare la trasformata della retta r x y + = 0 sotto l azione delle trasformazioni dell Esercizio. Esercizio 4. Siano date le rette r x + y + = 0 ed s x y + = 0, la trasformazione ϕ x = 3 x y + y = x + 3 y ed i punti A(, ), B(, ) e C(, ). (i) Classificare ϕ. (ii) Determinare le trasformate ϕ(r) e ϕ(s) di r e s rispettivamente sotto l azione di ϕ. (iii) Detto P il punto di intersezione tra r ed s, verificare che ϕ(r) ϕ(s) = ϕ(p ). (iv) Calcolare area e perimetro del triangolo di vertici ϕ(a), ϕ(b) e ϕ(c).