Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni

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1 Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel mercato delle assicurazioni. In particolare, studiamo la divisione ottima del rischio tra i partecipanti allo scambio e discutiamo in che modo lo scambio possa essere di beneficio agli individui in questo contesto. A tale scopo, impieghiamo gli elementi di teoria dei due capitoli precedenti congiuntamente ai concetti studiati nel capitolo 8 (che aveva ad oggetto lo scambio in generale). In analogia con il capitolo 8, assumiamo un economia molto semplice popolata dai due soggetti A e B. Ipotizziamo che l insieme degli eventi possibili comprenda soli i due stati e 2. Ex ante, A e B non conoscono con certezza quale dei due stati del mondo si realizzerà, ma solo le loro rispettive probabilità di realizzazione π 1 e π 2. Ex post, si realizza solo uno dei due stati del mondo. Entrambi gli individui hanno a disposizione una certa dotazione iniziale di reddito/consumo e possono decidere di prendere parte allo scambio per modificarla. La considerazione di un economia così semplificata è utile a comprendere come lo scambio nel mercato delle assicurazioni conduca ad un allocazione efficiente del rischio. Naturalmente, la nostra analisi può essere estesa al caso di più individui o di più possibili stati del mondo. 25.2: Una scatola di Edgeworth Assumiamo che l individuo A percepisca un reddito di 75 se si verifica lo stato e di 50 se si realizza lo stato e che i due stati del mondo siano egualmente probabili. A ha preferenze del modello dell Utilità Attesa, con una funzione di utilità con avversione assoluta al rischio costante e r = Rappresentiamo nella figura 25.1 le preferenze e la dotazione iniziale di A. Assumiamo che B abbia la stessa dotazione iniziale di A: un reddito contingente allo stato del mondo 1 di 75 e un reddito contingente allo stato di 50. Per ipotesi, B è più avverso al rischio di A: la sua funzione di utilità con avversione assoluta al rischio costante è caratterizzata da un valore di r pari a Rappresentiamo preferenze e dotazione iniziale di B nel modo usuale nella figura 25.2 e in maniera funzionale alla costruzione della scatola di Edgeworth nella figura 25.3.

2 Seguendo la procedura che conosciamo e facendo in modo che le dotazioni iniziali dei due individui si sovrappongano, otteniamo una scatola di Edgeworth di dimensioni 150 (il reddito/consumo totale contingente allo stato ) per 100 (il reddito/consumo totale contingente allo stato del mondo 2). La combinazione delle dotazioni iniziali di A e B è posizionata esattamente al centro del diagramma perché A e B hanno identiche dotazioni iniziali di reddito/consumo.

3 Nella figura sono rappresentate le linee delle certezza di A e B, ovvero, la retta a 45 gradi che parte dall origine in basso destra e la retta a 45 gradi che parte dall origine in alto a sinistra. Essendo i due stati del mondo egualmente probabili, l inclinazione delle curve di indifferenza di A e B lungo le rispettive linee della certezza è pari a 1. Dove si posiziona la curva dei contratti? I due individui hanno funzioni di utilità con avversione assoluta al rischio costante e la curva dei contratti è rappresentata dalla retta a 45 gradi posizionata tra le due linee della certezza, ma più vicina a quella del soggetto più avverso al rischio (B). La posizione della curva dei contratti è indicativa della natura della divisione del rischio tra i due individui. Infatti, il fatto che la curva dei contratti sia più vicina alla linea della certezza del soggetto più avverso al rischio implica che B si trova in una situazione meno rischiosa di A 1 in ogni allocazione efficiente del rischio. In altri termini, A (il soggetto meno avverso al rischio) affronta una rischiosità maggiore rispetto a B (il soggetto più rischio avverso). (E da notare che il rischio da dividere tra A e B riguarda il fatto che il reddito totale è 150 in uno stato del mondo e 100 nell altro. Non c è modo di eliminare completamente il rischio di subire la perdita di reddito associata alla realizzazione dello stato. Gli individui, tuttavia, possono redistribuirlo in modo efficiente in base alla loro attitudine al rischio). L equilibrio competitivo si colloca in corrispondenza del punto indicato con C nella figura Nella stessa figura sono rappresentate anche le curve di prezzo-offerta di A e B e la curva dei contratti. Al fine di calcolare il prezzo relativo di equilibrio (il prezzo del reddito contingente allo stato relativamente al prezzo del reddito contingente allo stato ), il punto di allocazione iniziale è stato unito all allocazione dell equilibrio concorrenziale. 1 Ricordiamo che lungo la retta della certezza il rischio è inesistente.

4 La seguente tabella sintetizza i risultati prodotti dallo scambio tra i due individui. Allocazione iniziale Individuo A Individuo B Società Allocazione di equilibrio concorrenziale Variazione tra le due allocazioni Individuo A Individuo B Società Individuo A Individuo B Società Il comportamento di B è di facile comprensione. Nella situazione iniziale, B ha un reddito rischioso ex ante di (75, 50) per cui guadagna 75 nello stato e 50 se si verifica lo stato del mondo 2. Il valore atteso del reddito di B è 62.5 e la rischiosità di ± 12.5, ovvero, lo scostamento (positivo o negativo) dal reddito atteso. In corrispondenza dell equilibrio prodotto dallo scambio, B ha un reddito rischioso ex ante (67, 55), a cui è associato un reddito atteso di 61 (minore rispetto a quello della situazione iniziale) e una rischiosità di ± 6. Di conseguenza, B ottiene una riduzione della rischiosità del proprio reddito ex ante attraverso lo scambio, a costo di un reddito atteso minore. B è avverso al rischio e preferisce accettare un reddito atteso inferiore pur di ridurre il

5 rischio di incorrere nella perdita di reddito. Notiamo, infatti, che in C l individuo B si colloca su una curva di indifferenza più elevata rispetto ad E. A dispone inizialmente di un reddito rischioso ex ante di (75, 50). Il valore atteso del reddito di A è 62.5 con rischiosità pari a ± In seguito allo scambio e in corrispondenza dell equilibrio concorrenziale, A ottiene un reddito rischioso ex ante di (83, 45) con reddito atteso di 64 e rischiosità ± 19. Lo scambio, dunque, produce un aumento della rischiosità del reddito di A, il quale però vede aumentare il proprio reddito atteso. Nonostante A sia moderatamente avverso al rischio, egli accetta un po più di rischio in cambio di un lieve incremento del valore atteso del proprio reddito. In corrispondenza di C, A si colloca su una curva di indifferenza più elevata rispetto a quella tangente in E. Osserviamo che lo scambio produce una divisione più efficiente del rischio rispetto alla situazione iniziale. Prima dello scambio, A e B si trovavano in una situazione ugualmente rischiosa. In corrispondenza dell equilibrio concorrenziale, A (meno avverso al rischio di B) si accolla più rischio di B (più avverso al rischio di A); A è compensato dal maggiore valore atteso del reddito, mentre B ottiene una riduzione del rischio a costo di un minore reddito atteso. [Nel nostro esempio, il mercato delle assicurazioni non è equo in quanto il prezzo relativo è diverso da 1. Infatti, il prezzo relativo è minore di 1. Chiedetevi perché.] 25.3: Identica attitudine al rischio e diverse dotazioni iniziali Analizziamo ora alcuni scenari alternativi rispetto all esempio del paragrafo precedente. In primo luogo, ipotizziamo che i due individui abbiamo la stessa attitudine al rischio, ma diverse dotazioni iniziali. Assumiamo una funzione con avversione assoluta al rischio costante con r = 0.02 per entrambi. La curva dei contratti si colloca in posizione intermedia tra le curve della certezza di A e B. Ipotizziamo diverse allocazioni iniziali in termini di rischiosità, ma lo stesso valore atteso del reddito di A e B. In particolare, le dotazioni iniziali di A e B sono (100, 25) e (50, 75). In entrambi i casi, il reddito atteso è pari a 62.5; la rischiosità di A è pari a ± 37.5, quella di B è data da ± La scatola di Edgeworth associata a questo esempio è rappresentata nella figura

6 Lo scambio tra A e B produce i risultati esposti nella seguente tabella: Allocazione iniziale Individuo A Individuo B Società Allocazione di equilibrio concorrenziale Variazione tra le due allocazioni Individuo A Individuo B Società Individuo A Individuo B Società Naturalmente, l equilibrio concorrenziale si colloca in un punto appartenente alla curva dei contratti, la quale è più vicina all origine di A che a quella di B. Infatti, lo scambio produce benefici maggiori per B che per A. Partendo dalla situazione iniziale con un reddito atteso di 62.5 e rischiosità di ± 12.5, B termina lo scambio con la dotazione (82, 56), per un reddito atteso di 69 e rischiosità pari a ± 13. B, dunque, ottiene un notevole aumento di reddito atteso in cambio di un rischio solo lievemente maggiore. Viceversa, il reddito atteso di A prima dello scambio era 62.5 con una rischiosità di ± Al termine dello scambio, A ottiene la combinazione (68, 44), per un reddito atteso di 56 e una rischiosità pari a ± 12. Di conseguenza, egli deve subire una riduzione

7 consistente del proprio reddito atteso in cambio di una riduzione del rischio. Ciò è dovuto al fatto che A era inizialmente esposto ad un rischio relativamente maggiore di B. 25.4: Allocazioni iniziali simili e preferenze diverse Un caso interessante si verifica se A e B percepiscono un reddito positivo solo in uno dei due stati del mondo: A nello stato e B nello stato. Come si comportano i due soggetti in questo caso? Ammettiamo che il reddito ex ante di A sia 100 nello stato e 0 nello stato e che il reddito ex ante di B sia 0 nello stato e 100 nello stato. Il reddito della società non è rischioso: è pari a 100 indipendentemente dallo stato del mondo che si realizza. Di conseguenza, la scatola di Edgeworth ha dimensioni 100 per 100 e la combinazione delle dotazioni iniziali di A e B si colloca in corrispondenza dell angolo in basso a destra del diagramma. Ipotizziamo preferenze diverse per A e B: A ha una funzione di utilità con avversione assoluta al rischio costante e r = 0.01, mentre B ha la stessa funzione di utilità con r = Come nei casi precedenti, la curva dei contratti si colloca in posizione intermedia tra le due curve della certezza, le quali si sovrappongono (con la diagonale che unisce le due origini), e lo stesso avviene per la curva dei contratti (figura 25.12). Le due curve passanti per il punto E sono le curve di prezzo-offerta di A e B. Esse si intersecano in corrispondenza del punto C sulla curva dei contratti. In corrispondenza dell equilibrio competitivo, A e B si collocano entrambi nel punto (50, 50) e guadagnano entrambi 50 indipendentemente dallo stato del mondo che si realizza. L interesse di questo esempio risiede nel fatto che lo scambio elimina completamente il rischio al quale i due individui erano soggetti inizialmente. L inclinazione del vincolo di bilancio di equilibrio è pari a -1 e l equilibrio viene raggiunto a partire dalle due allocazioni iniziali indipendentemente dall attitudine al rischio dei due individui. La curva dei contratti, inoltre, non può che essere la diagonale principale della scatola di Edgeworth in quanto in tal caso viene a coincidere con le linee della certezza dei due soggetti e le inclinazioni delle curve di indifferenza di A e B sono entrambi uguali a 1. Solo in corrispondenza del punto C, infine,

8 l inclinazione della curva dei contratti è pari all inclinazione della retta che congiunge il punto E al punto C. 25.5: Uno dei soggetti neutrale al rischio Analizziamo ora il caso in cui uno dei due individui è neutrale al rischio e l altro avverso al rischio. Assumendo che A sia neutrale al rischio e B avverso al rischio, otteniamo la figura La curva dei contratti coincide con la linea della certezza di B per cui l equilibrio competitivo C si colloca lungo la linea della certezza di B. Indipendentemente dalla posizione dell allocazione iniziale, l equilibrio concorrenziale si troverà sempre sulla linea della certezza di B. Inoltre, l inclinazione della curva di prezzo-offerta di A è uguale a 1 (lo stesso valore dell inclinazione delle curve di indifferenza di A) e, di conseguenza, nell equilibrio competitivo B ha lo stesso valore di reddito atteso associato all allocazione iniziale. L unica differenza tra le due allocazioni è che lo scambio produce l eliminazione del rischio iniziale. Tale rischio si trasferisce ad A il quale, comunque, è neutrale al rischio. Concludendo, il nostro esempio dimostra che la presenza di un soggetto neutrale al rischio consente l eliminazione completa del rischio a cui è soggetto l altro individuo. 25.5: Riassunto In questo capitolo abbiamo applicato la teoria dello scambio studiata nel capitolo 8 all analisi dell allocazione efficiente del rischio tra due individui. Abbiamo dimostrato che in generale lo scambio del rischio può avvenire. In alcuni casi, lo scambio produce l eliminazione completa del rischio. Nei casi in cui il rischio non può essere eliminato completamente, lo scambio ha per effetto una divisione del rischio più efficiente rispetto all allocazione iniziale (con l individuo meno avverso al rischio che si accolla un livello maggiore di rischiosità). Il mercato delle assicurazioni ha la funzione di permettere una divisione del rischio più efficiente per la società. In generale, al termine dello scambio nel mercato delle assicurazioni il soggetto meno avverso al rischio si accolla un rischio maggiore.

9 Più in particolare, se uno dei due individui è neutrale al rischio e l altro è avverso al rischio, al termine dello scambio il primo si assume tutto il rischio.

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