Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria

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1 Es. Es. Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale 5 Settembre Compito A Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.: 6 punti; Es.: punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni: Riportare le soluzioni nelle caselle. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati.. Stabilire per quali valori del parametro reale α, la seguente funzione 3 x (arctan x) α se x > f(x) = se x = e x se x < è continua su tutto R. Si noti preliminarmente che f è continua in tutti i punti x. Di conseguenza bisogna calcolare il valore del limite destro e sinistro di f in x =. Per quanto riguarda il limite destro, utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni di asintoticità e lim f(x) = x + 3 x x 3 (arctan x) α x α per x +. Di conseguenza, tornando al limite, abbiamo +, se α <, 3, se α =, +, se α >. Inoltre, il limite sinistro vale per ogni α. Di conseguenza, f risulta continua per α <.

2 . Studiare la funzione f(x) = ln (e x x) Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio. Dominio di f: D(f) = R. Si osservi ciò è conseguenza della diseguaglianza e x > x, che può essere dedotta per ogni x R da un semplice confronto grafico. Studio del segno di f: f(x) > per x e f(x) = per x =. Anche in questo caso, questo si può dedurre per confronto grafico tra le funzioni e x e x +. Limiti agli estremi: f(x) = + e lim lim x x + f(x) = + Eventuali asintoti: y = x è asintoto obliquo per x +, mentre per x la funzione non ammette asintoti. Derivata prima: f (x) = ex e x x Studio del segno di f : f (x) > in (, + ), f (x) < in (, ) e f (x) = per x =. Estremanti di f: f ha un punto di minimo assoluto in x =. Non esistono massimi assoluti. Derivata seconda: f (x) = (x )ex + (e x x) Studio del segno di f : Studiando (ancora una volta per confronto grafico) la diseguaglianza e x > x, si deduce l esistenza di α < e β > tali che f (x) > in (α, β), f (x) < in (, α) (β, + ) e f (x) = per x = α, β. Convessità/concavità: x = α e x = β sono punti di flesso per f. Grafico di f:

3 3. Sia data l equazione differenziale y = y. (a) Trovare l integrale generale; (b) risolvere il problema di Cauchy che associa all equazione il dato iniziale y() =, specificando l intervallo massimale di esistenza della soluzione. (a) L equazione è a variabili separabili. Notiamo preliminarmente che, affinchè l equazione abbia un senso, allora y(x) sul suo insieme di definizione. Notiamo anche che non sono presenti soluzioni costanti, perchè il secondo membro non è mai nullo. Allora, procedendo per separazione di variabili, si ha ( y)dy = ( y) dx da cui deduciamo che l integrale generale è dato delle funzioni = x + c y = ± x + c, y = ± x + c, y(x) = + x + c, se y(x) >, e y(x) = x + c, se y(x) <, al variare di c R. (b) Si noti che la condizione di Cauchy y() = forza la soluzione ad essere sempre maggiore di. Di conseguenza, la formula di rappresentazione opportuna è la prima delle due. Quindi, imponendo y() =, si trova + c = c = e, dunque, la soluzione cercata ammette la formula di rappresentazione y(x) = + x. Tale funzione è soluzione dell equazione data nell intervallo (, /).

4 4. Calcolare il seguente integrale curvilineo dove γ è la curva di equazioni parametriche γ xy sin y + x ds, γ(t) = (x(t), y(t)) = (t, t /), t [, ]. Si ha che ds = γ (t) dt = x (t) + y (t) dt = + t dt. Di conseguenza, con semplici conti si verifica che l integrale richiesto è uguale a Integrando per parti si ottiene ( ) [ t t sin t dt = t cos = [ cos = cos ( ( ) ( ) t + t cos ( ) ] + sin t ) ( ) + sin. ( ) ] t dt ( ) t3 sin t dt.

5 Es. Es. Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale 5 Settembre Compito B Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.: 6 punti; Es.: punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni: Riportare le soluzioni nelle caselle. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati.. Stabilire per quali valori del parametro reale α, la seguente funzione è continua su tutto R. (e x ) α 5 se x > x 4 f(x) = se x = ln( + x ) se x < Si noti preliminarmente che f è continua in tutti i punti x. Di conseguenza bisogna calcolare il valore del limite destro e sinistro di f in x =. Per quanto riguarda il limite destro, utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni di asintoticità e (e x ) α x α 5 x 4 x4 5 per x +. Di conseguenza, tornando al limite, abbiamo +, se α > 4, lim f(x) = 5, se α = 4, x + +, se α < 4. Inoltre, il limite sinistro vale per ogni α. Di conseguenza, f risulta continua per α > 4.

6 . Studiare la funzione f(x) = ln (e x x) Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio. Dominio di f: D(f) = R. Si osservi ciò è conseguenza della diseguaglianza e x > x, che può essere dedotta per ogni x R da un semplice confronto grafico. Studio del segno di f: f(x) > per x e f(x) = per x =. Anche in questo caso, questo si può dedurre per confronto grafico tra le funzioni e x e x +. Limiti agli estremi: f(x) = + e lim lim x x + f(x) = + Eventuali asintoti: y = x è asintoto obliquo per x +, mentre per x la funzione non ammette asintoti. Derivata prima: f (x) = ex e x x Studio del segno di f : f (x) > in (, + ), f (x) < in (, ) e f (x) = per x =. Estremanti di f: f ha un punto di minimo assoluto in x =. Non esistono massimi assoluti. Derivata seconda: f (x) = (x )ex + (e x x) Studio del segno di f : Studiando (ancora una volta per confronto grafico) la diseguaglianza e x > x, si deduce l esistenza di α < e β > tali che f (x) > in (α, β), f (x) < in (, α) (β, + ) e f (x) = per x = α, β. Convessità/concavità: x = α e x = β sono punti di flesso per f. Grafico di f:

7 3. Sia data l equazione differenziale y = y. (a) Trovare l integrale generale; (b) risolvere il problema di Cauchy che associa all equazione il dato iniziale y() =, specificando l intervallo massimale di esistenza della soluzione. (a) L equazione è a variabili separabili. Notiamo preliminarmente che, affinchè l equazione abbia un senso, allora y(x) sul suo insieme di definizione. Notiamo anche che non sono presenti soluzioni costanti, perchè il secondo membro non è mai nullo. Allora, procedendo per separazione di variabili, si ha (y )dy = dx (y ) da cui deduciamo che l integrale generale è dato delle funzioni = x + c y = ± x + c, y = ± x + c, y(x) = + x + c, se y(x) >, e y(x) = x + c, se y(x) <, al variare di c R. (b) Si noti che la condizione di Cauchy y() = forza la soluzione ad essere sempre minore di. Di conseguenza, la formula di rappresentazione opportuna è la seconda delle due. Quindi, imponendo y() =, si trova c = c = 4 e, dunque, la soluzione cercata ammette la formula di rappresentazione y(x) = x + 4. Tale funzione è soluzione dell equazione data nell intervallo (, + ).

8 4. Calcolare il seguente integrale curvilineo γ xy cos x 4 + y ds, dove γ è la curva di equazioni parametriche γ(t) = (x(t), y(t)) = (t, t), t [, /]. Si ha che ds = γ (t) dt = x (t) + y (t) dt = 4 + 4t dt. Di conseguenza, con semplici conti si verifica che l integrale richiesto è uguale a Integrando per parti si ottiene / t t cos ( t ) dt = t sin ( t ) / = 4 sin ( 4 = 4 sin ( 4 / ) + cos ( t ) / ) ( ) + cos. 4 t sin ( t ) dt / t 3 cos ( t ) dt.