Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 15/01/2019. Verifica scritta di Matematica Classe V

Transcript

1 Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 15/01/2019 Verifica scritta di Matematica Classe V Soluzione Risolvi 4 degli 8 quesiti proposti. Ogni quesito vale 25 p.ti. 1. Un corpo si muove nel piano Oxy e la traiettoria è descritta dalle seguenti equazioni parametriche: x = t 2, y = t 2 2 t + 2 dove il parametro t rappresenta l istante di tempo, espresso in secondi; x e y sono invece espresse in metri. i. Scrivi l equazione cartesiana della traiettoria e determina per quale valore di x si ha y = 0 ; ii. Determina il modulo della velocità all istante t = 3 s ; Verifica che l accelerazione del corpo è costante in modulo. i. Poiché t = 2x, ottengo y = 2 x 2 x + 1 ( ) 2, quindi x! tale che y = 0. y = ( 2x 1) ii. È richiesto di calcolare v( 3)= x 3 con x 3 ( ), che si può riscrivere come ( ( )) 2 + ( y ( 3) ) 2 : y ( ) = 3 2 e x ( t) = 1 2, quindi y ( 3 2) = 2 m s e v 3 ( x( t) ) = 2 2x t ( ( ) 1) x ( t) ( )= 17 2 m s. L accelerazione in modulo vale a( t)= x t y ( x( t) ) = 4 quindi a t ( x ( t) ) 2 + 2( 2x( t) 1) x t ( ) = y ( x( t) ) = 1 m s 2. ( ( )) 2 + ( y ( t) ) 2, dove si ha che ( ) con, t!, x ( t) = 1 2 e x ( t) = 0 ; Osservazione: le equazioni date rappresentano la legge oraria del moto parabolico. 2. Determina dominio, parità, segno, limiti significativi ed eventuali asintoti, continuità, derivabilità, crescenza, punti estremanti (specificando se sono anche assoluti) e immagine della seguente funzione: y = f ( x)= x x 2. Traccia infine il grafico qualitativo di f. 1 di 6

2 dominio: D f =!. parità: poiché f x ( ) = x x 2 = x x 2 = f x ( ), x D f, f è dispari. Poiché il grafico di f sarà simmetrico rispetto all origine, studio la funzione per x 0 che diventa f x ( ) = x 2 2. segno di f: f ( x) = 0 per x = 0 e f ( x) > 0 per x > 0. Per la disparità, f ( x) < 0 per x < 0. limiti significativi ed eventuali asintoti: 2 = + e, per disparità, lim x x2 La funzione non ammette asintoti verticali in quanto D f =! ; lim x 2 x + 2 =. Quindi Im( f )=!. La funzione non ammette asintoti orizzontali in quanto lim f ( x )= ±. La funzione non ammette asintoti obliqui in quanto lim f ( x) x = +. segno di f : f ( x)= x con x > 0, quindi f è crescente per x > 0 e, per disparità, f è crescente anche per x < 0. lim f ( x)= 0 e, per la parità di f (vedi il punto derivabilità di f ), lim f x 0 x 0 + ( x)= 0, quindi in x = 0 la funzione ammette un punto di flesso a tangente orizzontale. Non ci sono massimi e minimi né relativi né assoluti. continuità di f: f ( x)= x2 2 se x < 0 x 2 2 se x 0, f è continua in!\{ 0} perché polinomiale. Poiché lim anche in x = 0. In conclusione, f è continua in!. derivabilità di f: f è derivabile in!\ 0 f ( x)= x se x < 0 x se x > 0 { } perché polinomiale. Poiché lim anche in x = 0. In conclusione, f è derivabile in!. grafico qualitativo di f: f ( x)= f ( 0 )= lim x 0 x 0 +, f x 0 ( x)= 0 = lim f x 0 + f ( x ), f è continua ( x), f è derivabile 2 di 6

3 3. In figura sono stati tracciati il grafico della funzione f e quello della sua derivata prima. Individuali, motivando esaurientemente la tua risposta. Traccia sullo stesso piano un possibile grafico della derivata seconda di f. Negli intervalli nei quali la curva rossa cresce la curva blu si trova sopra l asse delle x; nell intervallo nel quale la curva rossa decresce la curva blu si trova sotto l asse delle x; i punti stazionari della curva rossa corrispondono agli zeri della curva blu. Se ne deduce che la curva rossa è il grafico di f e quella blu della sua derivata prima. Il grafico della derivata seconda di f coinciderà con il grafico della derivata prima di f : poiché f è decrescente per x <!x, crescente per x >!x, essa ammette un punto di minimo (assoluto) in x =!x. Questo significa che f ( x)< 0 per x <!x, f ( x)> 0 per x >!x e f ( x)= 0 per x =!x. Il grafico di f è stato tracciano del piano dato. Osservazione: non è detto che f sia una polinomiale di grado tre, potrebbe avere ad esempio grado cinque. Ne consegue che non è lecito stabilire che f sia una polinomiale di grado due, il cui grafico corrisponderebbe a una parabola. 4. Prova che l equazione 3ln x x = 0 ammette almeno due soluzioni (aiutati con un confronto tra grafici). Dimostra che tali soluzioni sono esattamente due. Siano f 1 ( x)= 3ln x e f 2 ( x)= x. I punti di intersezione dei grafici di queste due funzioni corrispondono alle soluzioni dell equazione data. Evinco che l equazione deve avere esattamente due soluzioni: 3 di 6

4 Sia f ( x)= 3ln x x ; f è continua in D f = 0; + continue. Poiché f 1 ( ) f 2 ( )= ln 8 2 perché somma algebrica di funzioni ( )! 0,08 < 0 e f è continua in 1; 2, per il Teorema di esistenza degli zeri, z 1 1; 2 tale che f ( z 1)= 0. Poiché f ( 4) f ( 5)= ( ln64 4) ( ln125 5)! 0,03 < 0 e f è continua in 4; 5, per il Teorema di esistenza degli zeri, z 2 4; 5 tale che f ( z 2)= 0. Ora, poiché f ( x)= 3 x, f risulta crescente in 0; 3 x e decrescente in 3; +, quindi gli zeri sono unici. Ne consegue che l equazione data ammette esattamente due soluzioni. 5. Considera la funzione: f ( x)= x 3 se x 4 3 k x se x > 4, k!. i. Determina per quale valore di k la funzione è continua in!. ii. Per il valore di k trovato f è anche derivabile in!? In caso negativo, studia la natura dei punti di non derivabilità. ii. i. f è continua in!\{ 4} per note proposizioni sulle funzioni continue. Impongo la continuità in x = 4 : lim f ( x)= f ( 4 )= lim f ( x ) 1= 3 k 4 k = 5. x 4 x 4 + Quindi per k = 5 la funzione risulta essere continua in!. Ho che 1 se x < 4 f ( x)=. 1 se x > ( 5 x) 2 f è derivabile in!\ 4; 5 Poiché 1= lim f ( x) lim f x 4 { } per note proposizioni sulle funzioni derivabili. x 4 + ( x)= 1 3, f non è derivabile in x = 4 dove ammette un punto angoloso. Poiché lim f ( x)= = lim f x 5 x 5 + un punto di flesso a tangente verticale. ( x), f non è derivabile in x = 5 dove ammette 4 di 6

5 6. Utilizzando la definizione di derivata, determina il valore di f ( 4), con f ( x)= 2x +1. Poi: i. Traccia il grafico di f; ii. ( ) e, con eventuali restrizioni minime, Determina dominio e immagine di f x determina l espressione analitica della funzione inversa f 1 ( y); Determina l equazione della retta t tangente a f 1 ( y) nel punto di ordinata 4. 2( 4 + h) lim h = lim 9 + 2h 3 h = 0 0 = lim 9 + 2h 9 h 9 + 2h + 3 ( ) = lim h + 3 = 1 3. x 1 2, y 0 i. y = 2x +1 2 ; il grafico di f è un arco di parabola di vertice 1 2 ; 0 x +1 2 = y 2 ( ) e concavità rivolta verso destra. ii. D f = 1 2 ; + e Im ( f )= 0; +. La funzione è iniettiva e, restringendo il codominio! a Im( f ), anche suriettiva. f : 1 2 ; + 0; + è biiettiva e quindi invertibile di inversa f 1 y Sia g( x)= f 1 ( x) = x 2 1 ( ) 2. ( ) = y 2 1 ( ) 2. È richiesto di determinare l equazione tangente al grafico di g in ( 3; 4). Poiché g ( x)= x, ho che t : y 4 = 3( x 3) t : y = 3x Sia f una funzione definita in! a valori reali. Discuti la veridicità delle seguenti affermazioni: i. se f è iniettiva allora è monotona (crescente o decrescente); ii. iv. se f è monotona (crescente o decrescente) allora è iniettiva; se f è suriettiva allora non ammette massimi e minimi assoluti; se f non ammette massimi e minimi assoluti allora è suriettiva. 5 di 6

6 i. L affermazione è falsa: considero la funzione f ( x)= x se x 0 1 x se 0 < x <1. Essa è iniettiva ma crescente per x < 0 e decrescente per 0 < x <1. ii. Se f è crescente (decrescente) allora x 1 < x 2 f ( x 1 )< f ( x 2 ) ( f ( x 1 )> f ( x 2 )), ma f è iniettiva quando x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ), condizione che la monotonia garantisce. iv. Se f è suriettiva allora Im( f )=! quindi f non ammette massimi e minimi assoluti. L affermazione è falsa: f :!! definita dalla posizione f ( x)= arctan x, non ammette massimi e minimi assoluti ma non è nemmeno suriettiva in quanto Im( f )= π 2 ; π 2!. 8. Determina i valori dei parametri reali a e b in modo tale che la funzione f ( x) = ax2 + 4x + b x presenti un punto di estremo relativo per x = 2 e che il suo asintoto obliquo passi per il punto di coordinate 3; 8 ( ). Affinché f presenti un estremo relativo per x = 2, poiché è ivi derivabile, dev essere f ( 2)= 0. Poiché f ( x)= ( ax b x) = a b x 2, ottengo che b = 4a. f ammette un asintoto obliquo in quanto lim f ( x)= ±, lim ( f ( x) x)= a e lim ( f ( x) ax)= 4. L equazione dell asintoto è y = ax + 4 e, poiché deve passare per il punto di coordinate 3; 8 ( ), ottengo a = 4 3. Dunque b = NOTE: i. È ammesso l uso del calcolatore elettronico o di tavole numeriche; ii. Punteggio massimo 100 p.ti. Per la sufficienza è necessario raggiungere il punteggio di 60 p.ti. 6 di 6