Semplici cristalli elementari: grafite

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1 Semplici cristalli elementari: grafite Il precursore del grafene è un cristallo a strati (layered), molto anisotropo, con legami forti nel piano, deboli fra piano e piano. E descritto da un reticolo esagonale: ( a = a (1, 0, 0), b = a 1 ) 3 2, 2, 0, c = c (0, 0, 1), parametri reticolari: a = 2.45Å, c = 6.80Å. La base è formata da quattro atomi, due per piano. I piani distano c = 3.40 Å. 2 Gli atomi sono uno sopra ad un atomo del piano sottostante, l altro sopra al centro dell esagono: d 1 = (0, 0, 0), d2 = (0, 3 a, 0), 3 d 3 = (0, 0, c 2 ), d4 = ( a 2, 3 6 a, c 2 )

2 Semplici cristalli elementari: diamante Il diamante è un cristallo cubico, descritto da un reticolo cubico a facce centrate (o FCC, face-centered cubic): a = a ( 0, 1 2, 1 ) (, 1 b = a 2 2, 0, 1 ) ( 1, c = a 2 2, 1 ) 2, 0, con parametro reticolare a = 3.57 Å, e una base di due atomi, ovvero, due sottoreticoli con origine su ( d 1 = (0, 0, 0), d2 1 = a 4, 1 4, 1 ) 4 (i colori sono riferiti alla figura). Ogni atomo ha i suoi atomi primi vicini sull altro sottoreticolo, disposti su di un tetraedro. La distanza fra vicini è d = 3a 4 = 1.54 Å. Questa struttura poco compatta (c è molto vuoto) caratterizza anche semiconduttori come Si e Ge. Notate quanto le proprietà fisiche del diamante e della grafite sono diverse!

3 Un composto binario: zincoblenda La struttura della zincoblenda è tipica per diversi semiconduttori binari, cioè formati da due atomi di tipo diverso: per esempio, ZnS (la zincoblenda, appunto), GaAs, sotto certe condizioni GaN (il materiale dei diodi LED blu). E uguale in tutto e per tutto alla struttura del diamante, salvo un dettaglio (molto importante!): i due sottoreticoli con origine su d 1 = (0, 0, 0), d2 = a ( 1 4, 1 4, 1 ) 4 sono di atomi di tipo diverso. I primi vicini di ogni atomo, disposti su tetraedri, sono atomi dell altro tipo. Da notare che un reticolo FCC è equivalente a un reticolo cubico semplice con quattro atomi nella base (uno nell origine, uno centrato nelle tre facce del cubo), per cui una struttura diamante o zincoblenda può essere anche descritta come un reticolo cubico semplice con 8 atomi nella base.

4 Piani cristallini e indici di Miller Uno degli aspetti più caratteristici dei cristalli è la tendenza a rompersi lungo piani preferenziali. Come sono definiti i piani in un cristallo? Consideriamo il caso semplice dei reticoli cubici. Prendiamo i punti di reticolo (più vicini all origine) dove il piano intercetta gli assi cristallini: se questi sono n i a i, si usa la notazione ( 1 n 1, 1 n 2, 1 n 3 ) per identificare il piano. Se un asse non intercetta il piano, si pone 1/n i = 0. La barra sopra un numero come in (111) significa numero negativo. 1 Se i numeri n i non sono interi, si moltiplicano per il minimo comune multiplo degli n i in modo da avere numeri interi. Tali numeri sono detti indici di Miller. Per i reticoli esagonali si usa una notazione un po più complicata.

5 Struttura della wurtzite Un altra struttura comunqe per i semiconduttori binari è la wurtzite un solfuro di ferro e zinco. Tale struttura, a destra nella figura, è esagonale con 4 atomi nella base (uno per piano). Come nella zincoblenda, i primi vicini sono 4 e disposti su di un tetraedro. Zincoblenda (osservare i tetraedri lungo la diagonale, confrontarli con gli stessi tetraedri per la wurtzite qui a fianco) Wurtzite La differenza fra zincoblenda e wurtzite sta nell orientamento relativo dei tetraedri. Non è il solo caso di strutture molto simili descritte da reticoli ben diversi.

6 Strutture di massimo impacchettamento Molti metalli semplici cristallizzano in una struttura BCC (cubica a corpo centrato), oppure in una delle strutture dette di massimo impacchettamento (close packing). Assumiamo atomi sferici, tutti uguali, di raggio r. Qual è la struttura con la massima densità? Secondo la congettura di Keplero, dimostrata di recente, è una delle due strutture periodiche seguenti: FCC (cubico a facce centrate) HCP (esagonale con due atomi per cella) La frazione η di spazio riempito dagli atomi sul totale è η 0.74 in entrambe i casi (η = 0.68 per BCC). Non è difficile calcolare i parametri reticolari a e c dato r. Le due strutture FCC e HCP sembrano molto diverse ma sono quasi uguali: In figura, come formare un FCC o un HCP da opportune sovrapposizioni di piani esagonali. In entrambe i casi ogni atomo ha 12 primi vicini

7 Altri composti binari: strutture NaCl e CsCl Le strutture di NaCl ( rocksalt ) e del CsCl sono tipiche per i cristalli ionici (ovvero per quei cristalli in cui ci sono atomi carichi positivamente e atomi carichi negativamente): Struttura rocksalt, o NaCl, formata da due sottoreticoli FCC. Ogni atomo ha 6 primi vicini dell altro tipo. Struttura CsCl: due sottoreticoli cubici semplici, come un BCC ma con l atomo al centro di tipo diverso. Ogni atomo ha 8 primi vicini dell altro tipo.

8 Esercizi 1. Dimostrare che l angolo formato da un atomo di C e due suoi primi vicini nella struttura diamante è Calcolare esplicitamente la frazione massima η di volume riempibile da atomi, considerati come sfere rigide, disposte sui vari reticoli cubici 3. Calcolare η per il reticolo esagonale a massimo impacchettamento. Dimostrare che il rapporto c/a vale 8/ Qual è il rapporto c/a nella wurtzite? (si può sfruttare il risultato precedente) E qual è la relazione fra i parametri reticolari a delle strutture wurtzite e diamante per uno stesso materiale?