Grandezze: Statiche Cinematiche Idrauliche

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1 1 Approccio Rigoroso Meccanica mezzi discontinui Solido particellare + Fluido continuo Approccio Ingegneristico Meccanica continuo Solido & Fluido = continui sovrapposti Grandezze: Forze interparticellari Spostamenti Pressioni Statiche Cinematiche Idrauliche Tensioni Deformazioni Pressioni

2 dimensioni dei granuli volumi di terreno interesse ingegneristico (anche dei provini sottoposti a prove di laboratorio) Validità dell approccio ingegneristico Possiamo considerare validi gli strumenti (analitici/numerici) sviluppati nell ambito della meccanica del continuo

3 Mezzo continuo alla Cauchy Vettore ( tensore) tensione t = lim A 0 F A Vettore ( tensore) deformazione d = s lim l l 0 I vettori t e d sono legati tra loro dal legame costitutivo del mezzo Se il mezzo è indeformabile (d 0) il legame costitutivo è di tipo rigido

4 4 Componenti Normali Compressione Contrazione Componenti Tangenziali Taglio Distorsione w F N z y v w u x F S u z z = lim A 0 F N A Tensione = lim A 0 F S A = lim z 0 w z Deformazione = lim z 0 u z nb..: xz = 1 In mecc. delle terre prevalgono i fenomeni di compressione ad essi si attribuisce segno positivo. (quindi, per mantenere le stesse convenzioni della Scienza delle Costruzioni occorre anteporre il segno - nella definizione di tensione e di deformazione - ovvero - orientare la normale verso l interno dell elemento)

5 5 Riferimento: sistema cartesiano (x, y, z) (1 pedice direzione normale, pedice direzione componente) x xy xz = yx y yz zx zy z Tensori x x xy xy xz xz = = yx yx y y yz yz zx zy zx zy z z N. B.: le componenti sono dipendenti dal sistema di riferimento! Equilibrio statico alla traslazione Equazioni di continuità (Cauchy) y x z yz xz yz + dy y z yz W z xz z z + dz z xz + dx x x yx zx + + Wx = 0 x y z xy y zy + + Wy = 0 x y z xz yz z + + Wz = 0 x y z (W x, W y, W z = componenti forze di massa lungo x, y, z)

6 6 Equilibrio statico alla rotazione reciprocità tensioni tangenziali yx = zx = yz = xy xz zy Definizione reciprocità deformazioni tangenziali = = = = = = yx xy yx xy zx xz zx xz yz zy yz zy Simmetria dei tensori rispetto alla diagonale esiste un sistema di riferimento ( principale ) in cui il tensore è diagonale Sistema principale delle tensioni τ xy = τ yz = τ xz = 0

7 7 Il cerchio di Mohr descrive la variazione di componenti normali e tangenziali con la direzione della normale all elemento di volume in un piano. m mn V (, ) n nm nm n t H (, ) m mn P Se si orienta la normale uscente secondo l asse σ: estremo posteriore del vettore = polo P del cerchio punto V rappresenta ( n, nm ) piano verticale punto H rappresenta ( m, mn ) piano orizzontale) Ciò corrisponde a: > 0 se di compressione, > 0 se antioraria.

8 8 1 1 Compressione isotropa h = v P 4 5 Compressione anisotropa h v 1 4 Compressione e taglio h 1 H P V v Taglio puro 5 H P = V 1 P H v V V h P H 1

9 9 1 1 Riferimento: sistema principale (1,, ) [pedice 1// tensione (deformazione) principale massima/media/minima] Tensori diagonali Valori e coseni direttori (n 1, n, n ) di tensioni principali si ottengono imponendo soluzione non banale al sistema σ{n}=[σ]{n}, il che richiede: x xy xz det yx y yz = 0 zx zy z

10 10 L annullamento del determinante corrisponde alla soluzione dell equazione di III grado: I (I 1, I, I = invarianti * del 1,, ordine) = x y z 1 I I I + I I = 1 0 = x y y z z x xy xz yz 1 1 = + x y z x yz y xz z yx xy zy xz 1 E E E Analogamente per le deformazioni: E + E E = 1 0 (E 1, E, E = invarianti * del 1,, ordine) = x y z 1 1 = x y + y z + z x ( xy xz yz ) = x y z ( x yz y xz z yx ) + xy zy xz * invarianti = non dipendono dal sistema x, y, z

11 11 Piano ottaedrale = piano ortogonale alla trisettrice del quadrante 1,, (coseni direttori n 1 =n =n = /) Proiettando le 1,, ( considerando l equilibrio del tetraedro): oct I1 = = 1 oct = ( ) + ( ) + ( ) = I I p = tensione media + + p = = 1 oct q = tensione deviatorica I1 p = q = I I 1 1 q = oct = p, q = invarianti di tensione ( ) ( ) ( ) Queste due grandezze (tensionali) descrivono sinteticamente la componente isotropa e quella di taglio dello stato tensionale agente sull elemento indipendentemente dal sistema di riferimento adottato

12 1 Nel riferimento principale per le deformazioni, proiettando ε 1, ε, ε : oct E1 = = oct = ( ) + ( ) + ( ) = E E ε v = deformazione volumetrica ε s = deformazione distorsionale = = + + v oct 1 1 s = oct = ( ) ( ) ( ) v s = E 1 = E E 1 ε v, ε s = invarianti di deformazione Queste due grandezze (deformative) descrivono sinteticamente la componente isotropa (variazione di volume) e quella deviatorica (variazione di forma) dello stato di deformazione dell elemento indipendentemente dal sistema di riferimento adottato.

13 Mdc 1 I carichi esterni e le forze di massa agenti sul mezzo solido continuo ideale sono equilibrati dalle tensioni definite con A 0 F A Nel terreno (mezzo granulare multifase) questa definizione individua le cosiddette tensioni totali [ ] Queste sono a loro volta ripartite in varia misura tra le diverse fasi (scheletro solido e fluidi) t = lim A F t [ ] Analizzando l equilibrio a livello micromeccanico, al contatto tra le particelle si sviluppano le forze intergranulari F c u F c A c NB: ogni sezione A interessa solido + fluidi e la somma delle aree di contatto A c << A A

14 Legami costitutivi 14 t F c Nel mezzo granulare multifase si possono definire: u F c A c Le tensioni di contatto (molto elevate, discontinue) t c = lim A 0 c Fc A c t La pressione interstiziale, u = pressione dell acqua (se la fase fluida è continua) La pressione dell aria, u a = pressione di riferimento (se u a pressione atmosferica) NB: Fluidi incapaci di trasmettere sforzi di taglio Stato tensionale puramente sferico Tensioni (vettori o tensori) pressioni (scalari)

15 Legami costitutivi 15 Si consideri un volume elementare di terreno saturo sezionato con una superficie piana attraverso i contatti intergranulari: Equilibrio alla traslazione in direzione normale alla sezione: Posto i i c = lim A 0 N A ( ) A = N + u A A N + u A cioè: = u N = + u A si ha: = +u si definisce tensione efficace u A N i T i Per l incapacità dell acqua di trasmettere tensioni tangenziali, l equilibrio alla traslazione trasversale fornisce invece: A= Ti i cioè: = T A Quindi, tensioni tangenziali totali ed efficaci coincidono si usa solo

16 16 Tensore delle tensioni efficaci: [ ] = [ ] u [I] dove [I] = matrice unitaria (I ii =1, I ij =0) x xy xz x xy xz = = yx y yz yx y yz u zx zy z zx zy z La pressione interstiziale u è detta anche pressione neutra Come enuncia Terzaghi (196): a) Le tensioni in ogni punto di una sezione attraverso una massa di terra possono essere calcolate dalle tensioni principali totali 1, e che agiscono in quel punto. Se i pori della terra sono pieni d acqua ad una pressione u, le tensioni principali totali si dividono in due parti. Una parte, u, agisce nell acqua e nella fase solida, con uguale intensità, in ogni direzione. Le differenze 1 = 1 u, = u e = u rappresentano un incremento rispetto alla pressione interstiziale ed hanno sede esclusivamente nella fase solida della terra. Questa frazione della tensione principale totale sarà chiamata tensione principale efficace. b) Tutti gli effetti misurabili di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio, sono dovuti esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci.

17 17 1) A c << A : non valido per granuli fragili la rottura dei granuli (p.es. ad alta sollecitazione) può comportare un aumento di A c ) è definita una sola pressione del fluido, u: mezzo asciutto (S r = 0) u = u g = 0 saturo (S r = 1) u = u w mezzo non saturo (S r < 1) principio delle tensioni efficaci deve essere modificato Meccanica delle terre non sature

18 18 Ipotesi tipica: ogni piano verticale (x, z) è di simmetria stato di deformazione piano y = yz = xy = 0 in ipotesi di mezzo elastico yz = xy = 0 = tensione principale (indipendente da y) Problemi tipo prove di taglio muri di sostegno travi di fondazione

19 19 Cerchi di Mohr di stato piano tensioni deformazioni 1 t 1 = 1 1 = 1 + s = s (= ascissa del centro) = tensione media nel piano v 1 + = t (= raggio del cerchio) = tensione deviatorica nel piano L = lavoro di deformazione per unità di volume = 1 ε 1 + ε + ε = 0 L = =... = s v + t

20 0 Ipotesi: l asse verticale (z) è di simmetria radiale ovunque ε = ε e = in asse = 0 direzioni principali = orizzontale e verticale (questo non è verificato in generale altrove) Problemi tipo prove di compressione fondazioni circolari pali

21 1 Cerchi di Mohr di stato assialsimmetrico tensioni deformazioni = 1 = 1 L = lavoro di deformazione per unità di volume = 1 ε ε + 1 ε = = L = =... = p v + q s