MATEMATICA - Esempio di prova per il Liceo Scientifico - MIUR

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1 QUESTIONARIO - Quesito 1 (soluzione di L. Tomasi) Una possibile funzione con un grafico simile a quello dato è la seguente: f x 3,se x 0 '( x) 1,se x 0 x Questa funzione ha un asintoto verticale che coincide con l asse y. Nell origine la funzione f '( x ) non è derivabile perché è addirittura discontinua a destra. La funzione f ( x ) nell origine non può essere derivabile perché a destra di x 0 la sua derivata tende a. A destra di x 0 la funzione f ( x ) deve essere crescente molto velocemente, ma cresce sempre meno (la derivata seconda f ''( x ) è negativa). A sinistra di x 0 la funzione f ( x ) è crescente, ma cresce sempre meno verso l origine; ciò corrisponde al grafico della derivata prima f '( x ), che è positiva. La funzione f ( x ) in un intorno dell origine potrebbe avere il seguente grafico (con una discontinuità per x=0).

2 Giudizio sul quesito 1 Livello di difficoltà Basso Medio Alto Molto alto nel Sì Sì No No Non è esplicitato / Non Non è esplicitato / Non Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre No Non in tutti Sì Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Parzialmente Molto

3 QUESTIONARIO - Quesito (soluzione di L. Tomasi) Le funzioni date costituiscono un fascio di iperboli equilatere aventi tutte per derivata prima f k '( x) ( x k). Imponiamo che f 1 '(0) tan. Si ottiene: , da cui si ricava k 3. k 3 La funzione è pertanto f '( x) x x 3. Il grafico è riportato di seguito. Giudizio sul quesito Livello di difficoltà Basso Medio Alto Molto alto nel Sì Sì No No Non è esplicitato / Non Non è esplicitato / Non Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre

4 No Non in tutti Sì Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Parzialmente Molto

5 QUESTIONARIO - Quesito 3 (soluzione di L. Tomasi) Occorre disegnare i grafici delle funzioni f ( x) x e g( x) x 6. Si ottiene x 4. Il grafico è il seguente. Giudizio sul quesito 3 Livello di difficoltà Basso Medio Alto Molto alto nel Sì Sì No No Non è esplicitato / Non Non è esplicitato / Non Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre No Non in tutti Sì Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Molto

6 Sì No Parzialmente

7 QUESTIONARIO - Quesito 4 (soluzione di L. Tomasi) R L area del quarto di cerchio è data da 4 è dato da r. Poiché devono essere equivalenti, si ha: mentre l area del cerchio centrato nel quadrato a destra R 4 r. Quindi R r R, da cui segue r. 4 Giudizio sul quesito 4 Livello di difficoltà Basso Medio Alto Molto alto nel Sì Sì No No Non è esplicitato / Non Non è esplicitato / Non Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre No Non in tutti Sì Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Parzialmente Molto

8 QUESTIONARIO - Quesito 5 (soluzione di L. Tomasi) La retta AB ha equazione a b a b y a x a ( ), ovvero y a a b x a ( )( ). La retta OC ha equazione y c x. Poiché le rette sono parallele, si ha a b c. Il punto medio M del segmento AB ha coordinate: a b ; a b c ; a b. Il punto medio N del segmento OC ha coordinate: Consideriamo il punto Dd; d e il punto E e; e ha ascissa: c x. c ; c., con DE parallela a AB;il punto medio L di DE d e c. Quindi i tre punti medi appartengono alla stessa retta, che ha equazione

9 Giudizio sul quesito 5 Livello di difficoltà Basso Medio Alto Molto alto nel Sì Sì No No Non è esplicitato / Non Non è esplicitato / Non Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre No Non in tutti Sì Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Parzialmente Molto

10 QUESTIONARIO - Quesito 6 (soluzione di L. Tomasi) Consideriamo inizialmente la funzione polinomiale: f ( x) ( x 10)( x 100)( x 1000) f x x x x 3 ( ) che si può anche scrivere nel seguente modo: f ( x) ( x k)( x 10 k)( x 100 k), con k 10. La funzione polinomiale cubica può anche essere scritta nella forma 3 f ( x) x ax bx c, a ( x x x ), b x1x x1x3 xx3, c x1x x3 con 1 3 dove x1 k, x 10 k, x3 100k sono le radici del polinomio. Poiché e f ''( x) 6x a, il flesso si ha per f ''( x) 0, ovvero per f '( x) 3x ax b a x1 x x3 111k possiamo trovare l ascissa del flesso, che sarà: x 37k a x, 3 L informazione data nel testo è quindi sufficiente per determinare l ascissa del punto di flesso della funzione f ( x) ( x 10)( x 100)( x 1000). L ascissa del flesso di questa funzione è la stessa del flesso della più generale cubica g( x) a0( x 10)( x 100)( x 1000) - con a 0 coefficiente reale non nullo - avente per zeri 10, 100 e Tuttavia le informazioni date nel testo non sono sufficienti per determinare, in generale, l ordinata del flesso. Giudizio sul quesito 6 Livello di difficoltà Basso Medio Alto Molto alto nel Sì Sì No No Non è esplicitato / Non Non è esplicitato / Non Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre No Non in tutti Sì Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Molto

11 Sì Solo parzialmente No Sì No Parzialmente Nota. Ringrazio M.A. Chimetto per una correzione apportata a questa soluzione.

12 QUESTIONARIO - Quesito 7 (soluzione di L. Tomasi) Consideriamo il vettore v (1,,1) come vettore direzione della retta r passante per il centro K(1,0,1) della sfera e ortogonale al piano tangente. La retta r avrà quindi equazioni parametriche: x 1t r : y t z 1 t Intersecando la retta r con il piano (di equazione x y z 1 0 ) si ottiene: 1 t ( t) 1 t 1 0, ovvero 6t 3, da cui T 1 1,1,. 1 t. Il punto di tangenza è pertanto Giudizio sul quesito 7 Livello di difficoltà Basso Medio Alto Molto alto nel Sì Sì No No Non è esplicitato / Non Non è esplicitato / Non Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre

13 No Non in tutti Sì Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Parzialmente Molto

14 QUESTIONARIO - Quesito 8 (soluzione di L. Tomasi) La risposta è: no. Infatti, se lanciamo 4 volte una moneta regolare, la probabilità di ottenere due teste e due croci, in qualsiasi ordine, è data da: pe ( ) 37,5% Giudizio sul quesito 8 Livello di difficoltà Basso Medio Alto Molto alto nel Sì Sì No No Non è esplicitato / Non Non è esplicitato / Non Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre No Non in tutti Sì Formulazione Scorretta Ambigua Poco Corretta Sì Solo parzialmente No Sì No Parzialmente Molto