La Matematochetta gioco dell aggiungere e del togliere in preparazione all addizione e alla sottrazione
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1 Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012 La Matematochetta gioco dell aggiungere e del togliere in preparazione all addizione e alla sottrazione Giancarlo Navarra GREM, Università di Modena e Reggio Emilia
2 Dalla Matematoca alla Matematochetta La Matematochetta è nata da un adattamento del gioco della Matematòca (dalla 2 a primaria) da parte di tre docenti della scuola dell infanzia del 3 Circolo di Porto Torres (SS). È stata sviluppata nel corso di tre anni con la collaborazione di insegnanti di diversi livelli scolastici dei gruppi ArAl di Belluno, Motta S.Giovanni (RC), Porto Torres (SS), Sassari, Trieste. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 2
3 Il Gioco della Matematochetta Il gioco si basa sul confronto tra situazioni espresse in diversi codici linguistici - iconico, verbale, gestuale - aventi un comune sfondo matematico legato alle azioni dell aggiungere e del togliere come premesse all addizionare e al sottrarre e all embrione del concetto di incognita. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 3
4 Il percorso della Matematochetta Contenitori con oggetti vari Dado Tessere Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 4
5 La principessa Le tessere con la fatina Il vassoio d oro Il castello La fatina Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 5
6 Un esempio di tessera con la fatina Nel vassoio ci sono quattro perle magiche La fatina porta in regalo delle perle La principessa è in ansia perché non sa quante perle le regalerà la fatina Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 6
7 Il lancio del dado Sarà il dado incantato a decidere quante perle porta in regalo la fatina Il bambino somma i due numeri Deposito dei Numeri del dado incantato Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 7
8 Un episodio del gioco 8 passi Quattro più quattro fa otto. Adesso faccio otto passi. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 8
9 Alcune considerazioni generali Sul piano matematico la tessera che stiamo considerando rappresenta la parafrasi iconica della somma 4+x. Sul piano espressivo rappresenta il canovaccio di una storia. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 9
10 La storia e le azioni 4+x Metafora dell incognita La principessa possiede in un vassoio d oro quattro perle magiche e attende che la fatina gliene regali altre; è molto curiosa di sapere quante saranno e chiede l aiuto di un bambino che lancia il dado incantato, che svela tale numero. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 10
11 La storia e le azioni Dopo aver lanciato il dado il bambino cerca nel Deposito dei Numeri del Dado Incantato la faccia giusta del dado da porre sulle ali. Se lanciando il dado esce il numero 3, la fatina rappresenta ora l operatore +3. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 11
12 La storia e le azioni La principessa desidera sapere quante perle possiede ora in tutto. Il bambino esegue ad alta voce il calcolo. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 12
13 La storia e le azioni Per premiarlo, la principessa fa compiere al bambino tanti passi quante sono le perle che possiede ora (in questo caso 7). Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 13
14 Una prima situazione particolare Talvolta la fatina è scherzosa e non porta perle (metafora dello zero); la faccia del dado in questo caso è vuota. Il bambino deve comunque essere invitato ad esprimere ad alta voce la sua interpretazione della situazione. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 14
15 Una prima situazione particolare La fatina non regala nessuna perla e alla principessa restano È uscito lo zero e ci quattro perle... sono solo quattro Talvolta la fatina è scherzosa perle... e non porta perle (metafora dello zero); la faccia del Quattro più zero è dado in questo caso vuota. uguale a quattro... nel Il bambino deve comunque essere vassoio rimangono invitato ad esprimere ad alta voce il quattro perle calcolo. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 15
16 Una prima situazione particolare Il dado è stato un po modificato coprendo la faccia con il numero 6 e trasformandola così in uno 0. Torneremo più avanti su questo aspetto, che analizzeremo dal punto di vista matematico. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 16
17 Una seconda situazione particolare In una tessera la principessa non possiede nemmeno una perla, e può succedere che la fatina (scherzosamente) non ne porti nemmeno una perché il Dado Incantato ha fatto il Burlone. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 17
18 La storia e la matematica storia Linguaggio importanza matematica tempo Con il trascorrere del tempo sfuma la presenza della storia e aumenta quella della matematica. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 18
19 La principessa Le tessere con la streghetta Il vassoio d oro La streghetta Il castello Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 19
20 Un esempio di tessera con la streghetta Nel vassoio ci sono cinque perle magiche La streghetta porta via delle perle La principessa è in ansia perché non sa quante perle porterà via la streghetta Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 20
21 Un esempio di tessera con la streghetta Sarà il dado incantato a decidere quante perle porta via la streghetta Deposito dei Numeri del dado incantato Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 21
22 Un episodio del gioco La principessa ha sei perle magiche la streghetta gliene porta via quattro nel vassoio restano due perle faccio due passi Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 22
23 Le tessere con la streghetta Sul piano matematico la tessera che stiamo considerando rappresenta la parafrasi iconica della differenza 6-4. Sul piano espressivo rappresenta, come per la fatina, il canovaccio di una storia. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 23
24 La streghetta non ruba nessuna perla Può succedere che la streghetta sia momentaneamente in vena di bontà e non porti via nemmeno una perla; nel suo sacco in questo caso verrà inserita una faccia di dado vuota come accade per la fatina (metafora dello zero). Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 24
25 Il Gioco della Matematoca Tradurre dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa Interpretare rappresentazioni differenti della stessa situazione matematica Incontrare il numero sconosciuto Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 25
26 Il Gioco della Matematoca Tradurre dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa Triplica il punteggio del dado Moltiplica il punteggio del dado per 3 Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 26
27 Il Gioco della Matematoca Tradurre dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa d 0 d-0 d+5-4 Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 27
28 Dalla Matematoca alla Matematochetta Nella Matematochetta si intende mantenere l obiettivo di costruire la competenza chiave della Matematoca: produrre/interpretare parafrasi, cioè rappresentazioni dello stesso oggetto matematico o dello stesso processo facenti riferimento a codici linguistici differenti. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 28
29 Dalla Matematoca alla Matematochetta Moltiplica per 3 la differenza fra 6 e il punteggio del dado (6-d) 3 Altri codici linguistici Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 29
30 Alcune considerazioni generali sulle tessere del togliere La principessa ha sei perle; la streghetta ne porta via quattro e quindi nel castello ne rimangono due. Questa verbalizzazione sostiene un pensiero sofisticato perché le perle visibili sono sempre sei, e dire ne rimangono due significa rendere trasparente il frutto del processo mentale (l individuazione della differenza fra 6 e 4). Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 30
31 Rappresentare il togliere Al livello della rappresentazione l atto del togliere presenta una complessità maggiore di quello dell aggiungere. Questa difficoltà ha stimolato insegnanti e ricercatori delle comunità ArAl. Sono state individuate numerose rappresentazioni produttive dell azione del togliere che favoriscono la riflessione degli alunni nell accostarsi all embrione della sottrazione. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 31
32 Rappresentare il togliere : la drammatizzazione Il narratore La principessa ha otto perle arriva la streghetta e non sa quante perle prendere e allora lancia il Dado Incantato Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 32
33 Rappresentare il togliere : la drammatizzazione La principessa ha sette perle magiche. La streghetta non sa quante perle portare via e allora lancia il dado incantato Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 33
34 Rappresentare il togliere 5-2 Barrare disegni Non importa quali stelle vengono crociate Ho messo le crocette su questi disegni perché Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 34
35 Rappresentare il togliere 5-2 Questo disegno Disegni barrati per me non (da interpretare) rappresenta la Ho scelto questo tessera perché disegno perché Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 35
36 Rappresentare il togliere 5-2 Copertura dei disegni Il bambino ha a disposizione dei cartoncini con i quali può coprire Perché i disegni hai coperto (che nel gioco rappresentano questi le perle due che soli? la streghetta porta via) Ho coperto questi due soli perché Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 36
37 Rappresentare il togliere 5-2 Distacco Non di ho disegni capito perché Luigi ha staccato questi due cuori Sul Ho cartoncino staccato questi rimangono la differenza (3), le due tracce cuori del perché sottraendo (2) ed è ancora percepibile l immagine del minuendo (5). Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 37
38 Rappresentare il togliere 5-2 Metto cinque Io metto due di perle nel La rappresentazione queste iconica perle nel vassoio sacco della perché strega perché Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 38
39 Rappresentare il togliere 5-2 Trasparenza 1 Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 39
40 Rappresentare il togliere 5-2 Trasparenza 2 Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 40
41 Rappresentare il togliere 5-2 Trasparenza 3 Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 41
42 Rappresentare il togliere 5-2 Trasparenza 4 Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 42
43 Rappresentare il togliere 5-2 Ho girato due Trasparenza 5 pagine perché la streghetta ha portato via due perle così si vede che alla principessa rimangono tre perle Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 43
44 L analogia strutturale Le rappresentazioni relative all aggiungere e al togliere vanno esplorate nella fase propedeutica al gioco. Verranno poi utilizzate durante il suo svolgimento in quanto faranno parte dei materiali fra i quali gli alunni dovranno scegliere quelli strutturalmente analoghi al contenuto matematico di una determinata tessera. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 44
45 Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere Vediamo come sono congegnate le tessere dal punto di vista matematico per capire: quante sono quelle con la fatina, quante sono quelle con la streghetta, quali calcoli possiamo proporre agli alunni di scuola dell infanzia, come deve essere fatto il dado. Ma prima di tutto facciamo delle scelte. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 45
46 Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere La somma fra il numero delle perle della principessa e quello delle perle che porta la fatina è minore di 10; quindi il minuendo nelle tessere con la streghetta è minore di 10; introduciamo lo zero, quindi il punteggio massimo del dado è 5: si sostituisce la faccia del 6 con una vuota. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 46
47 Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere Le tessere con la fatina Lanciando il dado le uscite possibili sono: (rappresentano il secondo addendo) Poiché si è deciso che la somma in ogni tessera deve essere minore di 10 Il primo addendo (il numero di perle della principessa) deve essere compreso fra 0 e 4. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 47
48 Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere La somma deve essere minore di sì sì sì sì sì no Quindi Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 48
49 Le tessere con la fatina possiamo realizzare solo cinque tessere con la fatina Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 49
50 Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere Le tessere con la streghetta Lanciando il dado le uscite possibili sono: (rappresentano il sottraendo) Poiché si è deciso che il minuendo in ogni tessera deve essere minore di 10 Il minuendo (il numero di perle della principessa) deve essere compreso fra 5 e 9. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 50
51 Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere Il minuendo deve essere minore di no no no no no Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 51
52 Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere Il minuendo deve essere minore di sì sì sì sì sì Il minuendo è compreso fra 5 e 9 Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 52
53 Le tessere con la streghetta possiamo realizzare solo cinque tessere con la streghetta Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 53
54 START L organizzazione del gioco Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 54
55 START L organizzazione del gioco Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 55
56 L argomentazione: episodio 2 La principessa ha sei perle magiche per vedere quante perle le porta via la streghetta lancio il dado è venuto due allora porta via due perle sei meno due fa quattro faccio quattro passi Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 56
57 L argomentazione: episodio 1 Adesso cerco un disegno che sia come quello della tessera Prendo questo perché ci sono sei gnomi e stacco questi due qui e così rimangono quattro gnomi Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 57
58 L argomentazione: episodio 3 Metto insieme sei bambini, che è come il numero delle perle della principessa poi faccio come la streghetta e porto via due bambini e ne restano quattro come le perle Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 58
59 La rappresentazione attraverso il disegno Rappresentare Non capisco il suo disegno Il mio disegno vuol dire che Argomentare Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 59
60 Parafrasare Nel castello ci sono tre perle e la fatina ne porta cinque Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 60
61 Parafrasare Parafrasare il contenuto di una tessera porta ad esplorare le relazioni fra gli elementi del problema (sviluppo del pensiero relazionale) e a scoprire l analogia strutturale con altre rappresentazioni (sviluppo del pensiero analogico). Nel castello ci sono Viene favorita in questo modo l evoluzione quattro perle e la del balbettio logico-linguistico. fatina ne porta tre Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 61
62 Parafrasare Il controllo di rappresentazioni diverse della stessa situazione e la traduzione fra rappresentazioni facenti riferimento a linguaggi diversi (naturale, iconico, gestuale, grafico, ecc), costantemente supportati dall argomentazione, favoriscono l interiorizzazione dei concetti. Nel castello ci sono quattro perle e la fatina ne porta tre Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 62
63 Parafrasare La ricchezza e la coerenza del linguaggio usato dipendono non solo dalle competenze espressive dell alunno, ma dal fatto che l argomentazione sia un valore condiviso all interno di un contratto didattico basato più sui processi verbali che sui prodotti verbali. Nel castello ci sono quattro perle e due la esempi fatina ne porta tre Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 63
64 Contratto didattico: episodio 1 Tiziano lancia il dado e fa otto passi senza parlare. Tiziano si è limitato al prodotto del suo pensiero, opaco rispetto alle ragioni che lo hanno determinato. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 64
65 Contratto didattico: episodio 2 Anna lancia il dado e dice La principessa ha cinque perle magiche, la fatina le regala tre perle e in tutto sono otto poi fa otto passi. Anna ha verbalizzato il suo processo mentale, la cui trasparenza può aiutare compagni meno competenti, e quindi favorisce una costruzione sociale della conoscenza. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 65
66 Il Gioco della Matematoca Aggiungi 2 al punteggio del dado e poi togli 1 d+2-1=5 Immaginate di lanciare il dado senza mostrare il punteggio. I vostri compagni vi vedono fare 5 passi. Come si può rappresentare in linguaggio matematico questa situazione in modo che Brioshi capisca quello che è successo? Argomentate la risposta. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 66
67 Situazione problematica per la Matematochetta Cristina è partita dalla tessera dove ora c è Michele e ha fatto cinque passi. Nessuno ha fatto in tempo a vedere il punteggio del dado. Si può ricostruire il punteggio del dado? Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 67
68 Il Gioco della Matematoca d-1 d+d d Dopo il lancio del dado, su quale tessera preferireste che fosse il vostro segnalino per fare il numero maggiore? Su quale preferireste non essere? Argomentate le risposte. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 68
69 Situazione problematica per la Matematochetta Sebastiano ha lanciato il dado e ha ottenuto un 3. Su quale tessera preferireste essere per fare più passi? Argomentate le risposte. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 69
70 Nuovi orizzonti p+2 p-5 Si può arricchire il gioco con una nuova generazione di schede nelle quali sia sconosciuto non il numero delle perle che regala la fatina o porta via la streghetta, ma quello delle perle della principessa. Come saranno le nuove tessere? Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 70
71 Le tessere con l incognita a sinistra Le tessere con la fatina sono sempre cinque Non ci sono tessere con la streghetta Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 71
72 Conclusioni La ricchezza della Matematochetta si manifesta a tre livelli: nella sua preparazione (la storia, le tessere, il dado, le tante rappresentazioni); nel corso del gioco (calcolare, scegliere, argomentare); nei suoi sviluppi successivi (situazioni problematiche stimolanti per formulare congetture). Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 72
73 Conclusioni Il gioco in sé è in fondo, di tutta l attività, la parte meno significativa. È il momento di coagulo e di verifica delle esperienze sviluppate in precedenza, ma è soprattutto il volano per espansioni costruite attorno a situazioni problematiche stimolanti che possano favorire, attraverso la riflessione collettiva, un approccio significativo a competenze matematiche destinate a fondamentali sviluppi negli anni successivi. Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 73
74 Vi ringrazio Materiali riguardanti la Matematochetta verranno inseriti nella prossima Newsletter ArAl: Castel S.Pietro (BO) - Incontri con la matematica 26, ottobre 2012, 74
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