Esercitazione n.2 Inferenza su medie

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1 Esercitazione n.2 Esercizio L ufficio del personale di una grande società intende stimare le spese mediche familiari dei suoi impiegati per valutare la possibilità di attuare un programma di assicurazione per tali spese. Per un campione di impiegati si osservano le seguenti spese mediche (in euro) per l anno passato: a) Calcolate un intervallo di confidenza di livello 90% per la media delle spese mediche familiari per tutti gli impiegati della società; b) Calcolate un intervallo di confidenza di livello 95% per la media delle spese mediche familiari per tutti gli impiegati della società. Soluzione Si tratta di determinare l intervallo di confidenza della media con varianza ignota. La v.c. di riferimento è la T di Student con n- gradi di libertà, ma trattandosi di grande campione, possiamo tranquillamente fare riferimento alla v.c. normale standardizzata Preliminarmente calcoliamo la media e la varianza campionarie: 𝑥 80 𝑥 𝑥 𝑥 20 ; 𝑠 8578,54 ; 39 𝑠 8578,54 92,6 a) L intervallo cercato è 𝑠 𝑠 𝑃𝑟 𝑥 𝑧 𝜇 𝑥 + 𝑧 𝛼 92,6 92,6 𝑃𝑟 20,645 𝜇 20 +,645 0,90 𝑃𝑟 85,9 𝜇 234, 0,90 Con una probabilità pari al 90% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la media incognita. b) L intervallo cercato è 𝑠 𝑠 𝑃𝑟 𝑥 𝑧 𝜇 𝑥 + 𝑧 𝛼 92,6 92,6 𝑃𝑟 20,960 𝜇 20 +,960 0,95 𝑃𝑟 8,3 𝜇 238,7 0,95 Con una probabilità pari al 95% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la media incognita.

2 Esercizio 2 Esercitazione n.2 Supponete che il manager di un negozio di vernici voglia stimare la quantità di pittura effettivamente contenuta in un barattolo da un litro acquistato da un produttore nazionale. Il manager sa dal produttore che lo scarto quadratico medio della quantità di pittura contenuta in un barattolo è pari a 0,02 litri. Si estrae un campione di 50 barattoli e si osserva una quantità media di pittura per barattolo di 0,995 litri. a) Calcolate un intervallo di confidenza al livello del 99% per la media della popolazione della quantità di pittura contenuta in un barattolo da un litro; b) Sulla base dei risultati ottenuti, pensate che il proprietario del negozio abbia diritto ad esprimere delle lamentele al produttore? c) In questo problema è necessario supporre che la quantità di pittura abbia una distribuzione normale? Soluzione 2 Si tratta di determinare l intervallo di confidenza della media con varianza nota. La v.c. di riferimento è la Z. Preliminarmente calcoliamo la media e la varianza campionarie. a) L intervallo cercato è: σ Pr x z n μ x + σ z n α Pr 0,995 2,576 0,02 0,02 μ 0, , ,99 Pr 0,9877 μ,0023 0,99 Con una probabilità pari al 99% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la media incognita. b) Poiché il valore è contenuto nell intervallo non c è motivo per ritenere che la media sia inferiore a. c) No, perché σ è noto e n 50; in base al teorema del limite centrale possiamo assumere che X ha distribuzione normale. 2

3 Esercizio 3 In un indagine campionaria condotta su 23 banche sono state rilevate le commissioni annuali che i correntisti pagano annualmente. I dati sono i seguenti: Costruire l intervallo di confidenza al 95% per la commissione media della popolazione e interpretarne il risultato. Soluzione 3 Si tratta di determinare l intervallo di confidenza della media con varianza ignota, piccolo campione. La v.c. di riferimento è la t di Student. Preliminarmente calcoliamo la media e la varianza campionarie: x x n ; s x x 466 n 22 2,8 ; s 2,8 4,6 L intervallo cercato è Pr x t, sn μ x + s t, n α Pr 23 2,0739 4,6 4,6 μ , ,95 Pr 2,0 μ 24,99 0,95 Con una probabilità pari al 95% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la commissione media delle banche. 3

4 Esercizio 4 Il proprietario di una stazione di servizio vuole studiare gli stili di consumo dei motociclisti che si fermano a rifornirsi da lui. Seleziona un campione casuale di 60 motociclisti che si fermano a rifornirsi nell arco di una settimana e ottiene i seguenti risultati: il consumo medio di carburante è stato in media di,3 litri, con uno scarto quadratico medio di 3, litri; Con un livello di significatività di 0,05, vi è evidenza empirica che la media di consumo di carburante sia differente di 0 litri? Soluzione 4 Si tratta della verifica d ipotesi per la media. Il sistema d ipotesi è Il test da utilizzare è Z x μ s n H : μ 0,0 H : μ 0,0,3 0,0 3, 60 3,248 Dalla tavola della Z in corrispondenza di α0,05 troviamo il valore soglia,96; per cui, essendo il valore del test maggiore del valore soglia, possiamo rifiutare l ipotesi nulla: l evidenza empirica è a favore dell ipotesi secondo cui il consumo medio di carburante è maggiore di 0 litri. 4

5 Esercizio 5 Un azienda produce personal computer e sta valutando l introduzione di nuove opzioni cromatiche per l hardware, nella speranza di incrementare le vendite. Produrre computer in più colori, tuttavia, comporta dei costi fissi maggiori. Affinché l operazione porti a un aumento degli utili, l azienda si è posta l obiettivo di vendere 275 unità alla settimana. Il reparto commerciale ha introdotto e pubblicizzato i nuovi colori in un esperimento di marketing della durata di settimane. Al termine del periodo ha raccolto i dati di vendita nelle settimane ed ha ottenuto i seguenti risultati: A. I dati di vendita relativi al test di mercato indicano che le vendite settimanali medie superano le 275 unità? In altre termini, è possibile dimostrare che le vendite settimanali medie, se i PC prodotti verranno dotati delle nuove opzioni cromatiche, supereranno le 275 unità tale da convincere il management che le vendite relative al test di mercato giustificano l introduzione di nuovi colori? B. Supponendo, sulla base di nuove informazioni relative ai costi, di scoprire che le vendite per i nuovi colori devono superare le 285 unità per produrre utile, quali sono le considerazioni da fare, in questo caso? C. Quali sarebbero le conclusioni circa il successo del cambio di colori se le vendite dovessero superare le 300 unità alla settimana? 5

6 Soluzione 5 A. Il sistema d ipotesi è H μ 275 H μ > 275 Occorre preliminarmente calcolare sia la media che lo scarto quadratico medio campionario: x ì x n , 5 s (x x) n 98802, , Trattandosi di grande campione, la statistica test da adottare per verificare l ipotesi è Z X μ 290,5 275 s,757 53, n Dalla tavola della Z, in corrispondenza di z,757 risulta un p-value 0,0392. Quando il p-value è piccolo, è poco probabile che il campione provenga da una popolazione in cui l ipotesi nulla è vera: più piccolo è il p-value, più forte è la prova a favore dell ipotesi alternativa. Essendo in questo caso il p-value di poco inferiore al 4% possiamo rifiutare l ipotesi nulla. Comunque occorre fare una ulteriore considerazione: l introduzione delle opzioni di colore comporta un certo rischio (maggiori costi) e, quindi, se le vendite risultassero mediocri, l azienda potrebbe subire perdite rilevanti. La politica dell azienda deve essere improntata alla prudenza nel momento in cui si valutano i dati provenienti da un test come quello qui considerato. B. Il sistema d ipotesi è H μ 285 H μ > 285 La statistica test da adottare per verificare l ipotesi è Z X μ 290,5 285 s 0, , n Dalla tavola della Z, in corrispondenza di z0,6273 risulta un p-value 0,2652. In questo caso non possiamo rifiutare l ipotesi nulla in quanto il p-value è piuttosto alto. L azienda non dovrebbe quindi introdurre i nuovi colori nel PC. (Una buona strategia potrebbe essere quella di raccogliere più dati durante il test di mercato, per avere un idea più precisa sulle vendite potenziali dei PC con i nuovi colori). C. Essendo la media campionaria minore di 300, non potremmo concludere che le vendite supererebbero le 300 unità. In casi come questo non è neppure necessario eseguire una verifica delle ipotesi: è chiaro che non vi sono sufficienti prove per dimostrare che le vendite supereranno la quota obiettivo. 6

7 Esercitazione n.2 Esercizio 6 Supponiamo che una società che produce software di tipo finanziario voglia valutare la bontà di un nuovo programma prima di lanciarlo sul mercato. La società desidera che, a parità di risultati e caratteristiche, il nuovo software sia significativamente più veloce rispetto a quello attualmente in circolazione. Una possibilità a disposizione dell analista consiste nell estrarre due campioni casuali e indipendenti di tempi di elaborazione e verificare l esistenza di una differenza nei tempi medi richiesti dal vecchio e dal nuovo programma per portare a termine diverse applicazioni di carattere finanziario. I dati sono riportati nella seguente tabella: SW attualmente SW nuovo in uso 9,98 9,88 9,88 9,86 9,84 9,75 9,99 9,80 9,94 9,87 9,86 9,84 0,2 9,87 9,90 9,86 9,9 9,83 9,84 9,86 Scegliendo un livello di significatività del 5%, possiamo affermare che il tempo medio richiesto dal nuovo software è significativamente inferiore rispetto al tempo medio richiesto dal software attualmente in uso? Soluzione 6 H : µ µ 2 Il sistema d ipotesi è 0 H : µ > µ 2 Calcoliamo le medie e le varianze campionarie: 𝑥 𝑥 ì 9,926 𝑠 𝑥 La statistica test è ì 𝑥 𝑇 9,842 𝑠,"#,"#,"#$%# " " 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 0, , ,79 (n ) S2 + (n2 ) S 22 0,07449(9) + 0,00596(9) 0, n + n2 2 8 S 0, La statistica test, se è vera H0, si distribuisce approssimativamente come una t di Student con n+n22 gradi di libertà. Dalla tavola della T risulta in corrispondenza di 8 gradi di libertà e α 0,0 (il livello di significatività si raddoppia quando l ipotesi alternativa è unidirezionale) che il valore soglia è,784. La regola di decisione è: si rifiuta l ipotesi nulla in quanto il risultato del test è superiore al valore soglia. Si può quindi concludere che il tempo medio richiesto dal nuovo software per portare a termine applicazioni di tipo finanziario è significativamente inferiore rispetto al tempo medio richiesto dal software attualmente in uso (il p-value è inferiore all %). 7 Dove S 2

8 Esercizio 7 Il reparto commerciale di una grande azienda di prodotti al dettaglio sta prendendo in considerazione l eventualità di cambiare il packaging di uno dei suoi articoli più venduti, esaminando due alternative. Per valutare la convenienza relativa tra queste alternative, viene chiesto all area marketing di eseguire dei test per stabilire quale package fa vendere di più. Viene perciò selezionato un insieme di 72 distretti di vendita (omogenei fra loro per caratteristiche demografiche): in di essi viene sottoposto a test il package (nuovo), negli altri il package 2 (vecchio). I dati relativi alle vendite raccolti in un test durato un mese sono i seguenti: I campione (package ) II campione (package 2)

9 Esercitazione n.2 Soluzione 7 Il sistema d ipotesi è 𝐻 𝜇 𝜇 𝐻 𝜇 > 𝜇 Calcoliamo le medie e le varianze campionarie: 𝑥 0459 𝑥 ì 290,6 𝑠 𝑥 ì 𝑥 ,9 𝑠 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 2822, ,066 Si suppone che le due varianze delle popolazioni siano ignote ma uguali, per cui: 𝜎 𝜎 𝜎 A questo punto occorre stimare la varianza comune attraverso la media ponderata delle due varianze dei campioni: 𝑆 + 𝑆 ( ) 2822, ,066(35) 𝑆 2550, Quindi S 50,5 Trattandosi di grande campione, la statistica test da adottare per verificare l ipotesi è 𝑍 𝑋 𝑋 𝑠 + 290, ,5 + 2,39 Dalla tavola della Z, in corrispondenza di z 2,39 risulta un p-value 0,004. Questo risultato ci suggerisce di rifiutare l ipotesi nulla, in quanto la probabilità di sbagliare (commettere l errore di prima specie) è di poco superiore all %; quindi possiamo affermare che il package porta ad avere vendite medie (statisticamente) significativamente maggiori del package 2. A questo proposito, un concetto fondamentale da tenere presente è la distinzione fra significatività statistica e significatività economica. Il fatto che la differenza tra le vendite medie dei due tipi di package sia statisticamente significativa vuol dire che abbiamo una forte evidenza empirica a favore di tale differenza; non dice quanto importante essa sia, ovvero se sia economicamente significativa. Nel caso presentato, i risultati campionari evidenziano anche una significatività economica: passando dal package 2 al package si stima che le vendite aumentino in media del 0,5% (290,6262,9)/262,9. Comunque questa significatività economica deve essere valutata con i costi aggiuntivi 9