Esercizi di GEOMETRIA (Ing. Ambientale e Civile - Curriculum Civile) 1. Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili:

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1 Esercizi di GEOMETRIA (Ing. Ambientale e Civile - Curriculum Civile). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = B = C = D = ( 0 ) E = ( ) F = Data la matrice A = 0 2 2, calcolare A A t A + I Calcolare i determinanti e, quando possibile, le inverse delle seguenti matrici: 4 A = 2 2 B = C = D = Determinare quali tra i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali. Per i sottospazi vettoriali determinare la dimensione ed una base. U = (x, y) R 2 x + y = 0} U 2 = (x, y) R 2 x + y = 3} U 3 = (x, y, z) R 3 2x = y + } U 4 = (x, y, z, t) R 4 x + y z = 0, t = 3x} 5. Determinare la dimensione ed una base dei seguenti sottospazi vettoriali: U = L((, 0, ), (2,, ), ( 6, 2, 4)) R 3 U 2 = L((, 2, 3), (4,, 5), ( 3, 3, 2), (6, 3, )) R 3 U 3 = L((, 0, ), (2,, )) R 3

2 U 4 = L((8, 3, 5, 0), (0,,, 0), (3,, 2, )) R 4 U 5 = L((2,,, 0), (0,,, ), (0, 0, 0, )) R 4 U 6 = L((3, 0,, ), (,, 0, ), (2h, h + 2, h, h + )) (al variare di h R). 6. Stabilire quali tra le seguenti applicazioni sono lineari; per queste ultime determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell immagine. Stabilire inoltre quali sono iniettive, quali suriettive e quali isomorfismi. f : R 4 R 3 f (x, y, z, t) = (x y, y + z, t) f 2 : R 3 R 2 f 2 (x, y, z) = (x + 3y, y 4z x) f 3 = f 2 f f 4 : R 2 R 3 f 4 (x, y) = (x + y, y, x) f 5 : R 2 R 4 f 5 (x, y) = (3x, x, 2x, 0) f 6 : R 3 R 2 f 6 (x, y, z) = (x + 3, y) f 7 : R 3 R 3 f 7 (x, y, z) = (2x + y, z, x y). 7. Per ciascuna delle seguenti applicazioni lineari determinare la matrice associata rispetto alle basi B e B, dimensione ed una base dell immagine e del nucleo: (a) f : R 4 R 3, f(x, y, z, t) = (x y, y + z, t) B = ((2,, 0, 0), (,, 0, ), (0,, 0, 0), (, 0,, )) B = ((,, ), (0,, ), (, 4, 3)); (b) g : R 3 R 2, g(x, y, z) = (x + 3y, y 4z x) B = ((,, ), (0,, ), (, 4, 3)), B = base canonica di R 2 ; (c) h = g f, B = ((2,, 0, 0), (,, 0, ), (0,, 0, 0), (, 0,, )), B = base canonica di R Data la famiglia di applicazioni lineari f λ : R 3 R 4 f λ (x, y, z) = (x y + ( λ)z, λx + 2y + λz, 2x, λy + 2z) determinare la dimensione di Im f λ al variare di λ R. 2

3 9. Determinare gli eventuali valori di λ R per i quali l applicazione lineare: f λ : R 3 R 3, f λ (x, y, z) = (5x + 2y, (λ 2)z, y x) è un isomorfismo. Per tali valori di λ determinare l inversa di f λ. 0. Determinare l applicazione lineare f : R 3 R 4 tale che Kerf = L((, 0, )), f((2,, 3)) = ( 2, 0,, 3), f((, 0, 0)) = (2, 3,, )).. ( Determinare) l applicazione lineare f : R 3 R 2 che ha la 5 matrice come matrice associata rispetto alle basi B = ((,, ), (0, 2, ), (2, 4, 3)) di R 3 e B = ((, ), (0, 2)) di R Calcolare il rango delle seguenti matrici: A = B = C = D = Risolvere, quando possibile, i seguenti sistemi lineari: 3x 5y 3z t = 2 2x y + t = 3 2x 3y + 5z = x + y z = 2 3x y z t = 2 x 4y + 6z = 5x 2y z = 5 x 5y + 6z = 0 x 3y = 4 y 3z = 2 2x + y z + t = 2 2x + 2y + z + 2t = 0 4x + 7y z + 5t = 6 8x + 2y 4z + 2t = 3 4. Discutere i seguenti sistemi lineari, al variare del parametro λ R: 3

4 λx + λy + z + t = λ x λy + z = 3λ 2x + 2z + λt = 4 ( λ)x + 2y + t = 2λ ( λ)x + y + z + t = 2 x + λy = 2 x + y + 3z t = 4 x + αy 3z + 4t = 2x y + 2z 2t = 4 3x + y z + αt = 3 4x + 3y 4z + 6t = 2 3x + y + z = ( λ)x 2y + z = 2x + 3y = λ 4x y + (2 λ)z = 2 3x + 3y + 3z = α 3x + αy + z = 0 y + αz = 2 5. Data la matrice 2 A = 2 2 trovare, se esiste, una matrice regolare E tale che E AE sia diagonale Data la matrice A = 3 2 0, trovare una matrice regolare 0 0 E tale che E AE sia diagonale. 0 0 Dire se la matrice B = è simile alla matrice A Trovare il rango delle seguenti forme quadratiche: q (x, y) = 4x 2 6xy + y 2 q 2 (x, y) = 4x 2 4xy + y 2 q 3 (x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z 2 + 2xz 2yz. 8. Data la forma quadratica q : R 3 R definita da q(x, y, z) = 3x 2 + y 2 + 5z 2 2xz, determinare la matrice associata a q rispetto alla base B = ((, 0, ), (0, 3, 0), (5,, )). 4

5 9. Data la famiglia di forme quadratiche q α : R 3 R definita da q α (x, y, z) = αx 2 + (2α 3)y 2 + αz 2 + 2αxy, determinare gli eventuali valori di α R per i quali q α è degenere e quelli per i quali q α è definita; 20. Date le matrici A, B S 3 (R): A = B = verificare che A e B sono congruenti. 2. La matrice A S 4 (R) ha polinomio caratteristico: A (t) = (t 2 t 6)(t 2 9t + 20). La matrice B S 4 (R) ha polinomio caratteristico: B (t) = (t 2 )(t3 + 6t 2 + 3t 0). A e B sono congruenti? 22. In E 2, fissato un sistema di riferimento cartesiano, sono date le rette r di equazione 3x 4y+2 = 0 e s di equazione 2x y+8 = 0. Determinare la mutua posizione di r e s. Scrivere l equazione della retta r parallela a r e passante per P ( 3 2, ) e della retta s passante per P ed ortogonale a r. Calcolare poi l area del trapezio formato dalle rette r, s, r, s. 23. In E 2, fissato un sistema di riferimento cartesiano, sono dati i punti A (, 2), B (3, 3), C (4, 7), D (2, 6). Verificare che ABCD è un parallelogramma e calcolarne l area. 24. Date in E 2, le rette r : 3x + 4y 7 = 0 e s : x + 3y + = 0, trovare una retta t che interseca r nel punto A (, ) e dista 3 5 dall origine del riferimento. Calcolare l area del triangolo formato dalle rette r, s, t. 25. Dati in E 2 i punti A (0, 0), B (, 0), C (, 2), determinare i punti D E 2 in modo tale che A, B, C, D} sia l insieme dei vertici di un parallelogramma. 26. Dati in E 3 i punti A (, 0, ), B (2,, 0), C (3, 0, ), verificare che A, B, C sono affinemente indipendenti e trovare un equazione cartesiana del piano π passante per A, B, C. Scrivere poi una equazione della retta r per P (,, ), e ortogonale a π. 5

6 27. In E 3, verificare che il piano α : 2x + y + z + 2 = 0 e la x + y 5 = 0 retta r : sono paralleli e calcolarne la distanza. Scrivere y z 3 = 0 l equazione del piano contenente r e parallelo a α. Scrivere l equazione del piano passante per P (0,, 2) e ortogonale a r. 28. Dati, in E 3 x + y = 0, il punto P (, 2, 0) e le rette r : 2x z 2 = 0 y + z = 0 e s :, verificare che r e s sono incidenti e trovare le x 2z + 2 = 0 coordinate del punto A = r s. Scrivere un equazione del piano π passante per l origine, per P e per A. Scrivere inoltre una rappresentazione cartesiana del piano passante per P = (, 0, ) e parallelo a π. x + 2y 3z = 29. Dati la retta r : ed il piano π : αx + 3y x + y + z = 3 2z = 2α, discutere, al variare di α R, la reciproca posizione di r e π. 30. Date le rette di E 3, x y + z 3 = 0 r : 2x + y z 3 = 0 s : x 4 = y 5 = z verificare che sono sghembe e calcolarne la distanza. 3. Date in E 3 le rette x + ky z = 0 r k : x y = k s k : 3x 6y kz + = 0 x 2y kz + 3 = 0 (k 0) determinare, al variare di k R 0}, la mutua posizione di r k e s k. 32. Date le rette di E 3, r : x + 2y 2z 20 = 0 z + 6 = 0 x = + 2t s : y = t z = 4 verificare che sono parallele e calcolarne la distanza. 6

7 33. Nel piano euclideo si consideri la retta r di equazione 6x+8y 3 = 0 ed il punto P (2, 2). Si determinino: (a) le coordinate della proiezione ortogonale P di P su r; (b) le coordinate del simmetrico P di P rispetto a r; (c) l equazione della retta r simmetrica di r rispetto alla retta s di equazione 4x 3y 2 = 0; 34. Nel piano euclideo sono date le trasformazioni x = y + x = x + 2 y = x + 2 y = y +. Verificare che sono isometrie, stabilire se sono dirette e determinarne i punti fissi. 35. Nel piano euclideo scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto alla retta di equazione x 2y + 5 = Classificare, al variare del parametro reale k, la conica del piano euclideo di equazione (5 k)x 2 + (5 4k)y 2 + 4kxy 20x 0y = Studiare le seguenti coniche di E 2, determinandone, se possibile, centro, asintoti, assi, vertici, fuochi ed una equazione canonica. Nel caso dell iperbole equilatera determinare anche l equazione riferita agli asintoti. (a) 3x 2 + y 2 2x + 2 3y + 2 = 0; (b) 3x 2 y 2 6x 2 3y + 3 = 0; (c) x 2 + 4y 2 4xy 6x 2y + 9 = 0; (d) 2xy 2x + 6y = Scrivere l equazione della polare del punto P (, 0), rispetto ad ognuna delle coniche dell esercizio 2; nei casi (b),(c),(d) stabilire quindi la posizione del punto P rispetto alla conica. 7

8 39. Classificare la quadrica di E 3 di equazione x 2 6z 2 + 8yz + 2x + 2y 2z + = 0, determinarne i piani principali ed una equazione canonica. 40. Classificare la quadrica di E 3 di equazione 3x 2 + y 2 + z 2 + 4y 4z + 5 = 0, verificare che è di rotazione, determinarne il sottospazio di rotazione e scriverne una equazione canonica. 4. Dato il fascio di quadriche di E 3 di equazione: ( k)x 2 + ( + k)y 2 + ( + k)z 2 + 2y 2z + 2 k = 0, (a) classificare le quadriche non specializzate del fascio al variare di k R; (b) determinare la quadrica Q del fascio avente come centro C (0, 2, 2 ); (c) scrivere l equazione del piano diametrale di Q, che passa per i punti P (, 0, ) e P 2 (0, 2, ). 42. Dati in E 3 i seguenti fasci di quadriche: F : (2 α)x 2 + 3y 2 4yz + αx + 4y α = 0 F 2 : x 2 + 2αy 2 + 2z 2 2xz + 2z + α = 0 F 3 : 5x 2 + 5y 2 αz 2 6xy + 2αyz 8x + 8y + 4 4α = 0 (a) classificare le quadriche non specializzate di ciascun fascio al variare di α R; (b) determinare gli eventuali valori di α per i quali le quadriche di F sono di rotazione e determinare i relativi sottospazi di rotazione; (c) studiare il paraboloide del fascio F, determinandone i piani principali ed una equazione canonica. Soluzioni 8

9 es. 3 det A = 7, det B = 0, det C = 4, det D = 442. es. 4 Una base di U è (, )}; U 2 e U 3 non sono sottospazi vettoriali; una base di U 4 è (, 0,, 3), (0,,, 0)}; es. 5 dim U = 2; dim U 2 = 2; dim U 3 = 2; dim U 4 = 3; dim U 5 = 3; dim U 6 = 3 per h ; dim U = 2 per h = ; es. 6 f è suriettiva, dim Ker f =, Ker f = L((,,, 0)). f 2 è suriettiva, dim Ker f 2 =, Ker f 2 = L(( 3,, )). f 3 è suriettiva, dim Ker f 3 = 2, Ker f 3 = L(( 2,, 0, ), ( 3, 0,, )). dim Im f 4 = 2, f 4 è iniettiva, Im f 4 = L((, 0, ), (,, 0)). dim Im f 5 =, dim Ker f 5 =, Im f 5 = L((3,, 2, 0)), Ker f 5 = L((0, )). f 6 non è lineare. f 7 è un automorfismo es. 7 (a) A = ( ) 4 3 (b) A = ( ) (c) A = es. 8 per λ 2, dim Im f λ = 3; per λ = 2, dim Im f λ = 2. es. 9 λ 2, f (x, y, z) = ( 7 x 2 7 z, 7 x z, λ 2 y) es. 0 f(x, y, z) = (2x 2z, 3x + 3y + 3z, x z, x + 2y z); non esistono. es. f(x, y, z) = (5x y + z, 2x + 3z) es. 2 ρ(a) = ρ(b) = ρ(c) = ρ(d) = 2 es. 3 es. 4 - il sistema è possibile con 2 soluzioni; - il sistema è impossibile; - il sistema è possibile con soluzioni; - il sistema è impossibile; - Per λ 0, il sistema è di Cramer, per λ = 0 è impossibile, per λ = è possibile con 2 soluzioni; - per λ 0, 3 il sistema è impossibile, per λ = 0 è possibile con soluzioni, per λ = 3 ha una soluzione; 9

10 - per ogni λ R il sistema è possibile con soluzioni. - il sistema è possibile per ogni α, è impossibile per α =. - il sistema è possibile per ogni α R. 5. E = E = 0 3 ; A e B sono simili; ρ(q ) = 2, ρ(q 2 ) =, ρ(q 3 ) = q α è degenere per α = 0, 3 ; q α è definita positiva per α > r : 6x 8y = 0, s : 4x + 3y 9 = 0, 23. Area = 7. Area = t : 2x+y 3 = 0, Area = 5 2 oppure t : x+2y 3 = 0, Area = D (0, 2), D 2 (2, 2). 26. π : y + z = 0, x = y = z. 27. d(r, α) = 2 3 6, 2x + y + z 7 = 0, x y z 3 = A (2, 2, 2), π : 2x y 3z = 0, π : 2x y 3z + = Per α 2 sono incidenti in P (2, 2 5, 3 5 ); per α = 2, r π. 30. d(r, s) = 3; perpendicolare comune x = y = z. 3. le rette sono sgembe per k R 5, 0, }, sono incidenti per k = 5 e k = ; per k = 0, s k non è una retta. 32. d(r, s) = (a) P ( 2, 0); (b) P (, 2); (c) r = r. 34. Isometria diretta con punto fisso C ( 3 2, 2 ) (rotazione) e isometria inversa senza punti fissi. x = x y 2 y = 4 5 x 3 5 y iperbole k >, ellisse k <, conica degenere per k =. 37. (a) ellisse di centro C (2, 3), assi y + 3 = 0 e x 2 = 0, vertici V (2, 0), V 2 (2, 2 3), V (, 3), V (3, 3), equazione canonica x2 3 + y2 = e fuochi F (2, 2 3), F 2 (2, 3 2); 0

11 (b) iperbole di centro C (, 3), asintoti 3x + y = 0, 3x y 2 3 = 0, assi y+ 3 = 0 e x = 0 (trasverso), vertici V (, 2 3), V 2 (, 0), equazione canonica x2 3 y2 = e fuochi F (, 2 3), F 2 (, 2 3); (c) parabola di asse 5x 0y + 9 = 0, vertice V ( 3 25, ), equazione canonica y = x2 e fuoco F ( 3 5, 6 5 ); (d) iperbole equilatera di centro C ( 3, ), asintoti y = 0, x+3 = 0, assi x y + 4 = 0 e x + y + 2 = 0 (trasverso), vertici V ( 3 3, + 3), V2 ( 3 + 3, 3), equazione canonica x2 6 y2 6 =, equazione riferita agli asintoti xy = 3 e fuochi F ( 3 6, + 6), F 2 ( 3 + 6, 6). 38. (b) P appartiene al supporto della conica e la retta è tangente; (c) punto esterno; (d) punto interno. 39. iperboloide iperbolico; piani principali x = 0, 8y 6z + 3 = 0, 4y + 2z + = 0 ; X2 7 + Y 2 7 Z2 7 = ellissoide reale; asse di rotazione y + 2 = 0 ;X 2 + Y Z2 3 =. z 2 = 0 4. (a) k < iperboloidi iperbolici, < k < 0 ellissoidi reali; 0 < k < ellissoidi immaginari; k > iperboloidi iperbolici. (b) k = 3. (c) piano diametrale 5x + 6y + 4z = (a) F : α < 2 3 ( 7) iperboloidi ellittici, 2 3 ( 7) < α < 2 3 ( + 7) iperboloidi iperbolici, α > 2 3 ( + 7), α 2 iperboloidi ellittici, α = 2 paraboloide iperbolico. F 2 : α < 0 iperboloidi iperbolici, 0 < α < ellissoidi reali, α > ellissoidi immaginari. F 3 : α < 6 5 iperboloidi ellittici, α = 6 5 paraboloide ellittico, 6 5 < α < 3 ellissoidi reali, 3 < α < 0 ellissoidi immaginari, α > 0 iperboloidi iperbolici. 2y z + = 0 (b) α = 2, asse di rotazione ; α = 3, asse di rotazione 4x = 0 2x 3 = 0 y z + = 0