Controlli Automatici I

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1 Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino Luca Carlone Controlli Automatici I LEZIONE II

2 Sommario LEZIONE II Trasformata di Laplace Proprietà e trasformate notevoli Funzioni di trasferimento Scomposizione in fratti semplici Calcolo della risposta forzata Calcolo della risposta libera Calcolo della risposta di un sistema LTI Esempi ed esercizi numerici

3 Trasformata di Laplace Associa la funzione di partenza di variabile reale (solitamente il tempo) ad una funzione di variabile complessa È uno strumento per la risoluzione e lo studio di equazioni differenziali lineari Esempio: &x ( t) = Ax( t) + Bu( t) Permette di trasformare operazioni di derivazione e integrazione in operazioni algebriche semplificando la trattazione matematica

4 Trasformata di Laplace DEFINIZIONE: Trasformata di Laplace Sia f una funzione della variabile reale t. La trasformata di Laplace di f è una funzione complessa di variabile complessa s=α+jω, definita come: [ ] st F( s) f ( t) f ( t) e dt nell ipotesi che tale integrale converga per qualche valore di s. NOTAZIONE: solitamente si indica con la lettera minuscola la funzione di variabile reale e con la maiuscola corrispondente la funzione nel dominio di Laplace + = = 0

5 Trasformata di Laplace DEFINIZIONE: Antitrasformata di Laplace La funzione f(t) di origine si può ottenere dalla funzione F(s) attraverso l antitrasformata di Laplace, definita come: α+ j ( ) [ ( )] st f t = F s = F( s) e ds 2 π j α j OSSERVAZIONE: la trasformata di Laplace è una trasformazione biunivoca, ovvero ad ogni funzione di variabile reale corrisponde una e una sola trasformata di Laplace

6 Trasformata di Laplace Motivazioni Per risolvere le equazioni differenziali che descrivono un sistema lineare tempo-invariante:. Si applica la trasformata di Laplace trasformando il problema differenziale in problema algebrico 2. Si ricava una soluzione nel dominio di Laplace 3. Per ottenere la soluzione si applica la trasformazione inversa, nota come antitrasformata di Laplace

7 Proprietà e trasformate notevoli PROPRIETA : Linearità [ α f ( t) + α f ( t) ] = α [ f ( t) ] + α [ f ( t) ] Coniugazione Traslazione in t Traslazione in s Derivazione in t F( s*) = F *( s) 0 [ f ( t t )] = F( s) e st 0 s0t = e f ( t) F( s s0 ) f& ( t) = sf( s) f (0)

8 Proprietà e trasformate notevoli PROPRIETA : Derivazione in s Integrazione in t Convoluzione [ t f ( t) ] t 0 df( s) = ds f ( ξ) dξ = F( s) s [ ] f ( t) f ( t) = F ( s) F ( s) 2 2 Teorema valore iniziale f (0) = lim sf( s) s + Teorema valore finale lim f ( t) = lim sf( s) t + s 0

9 f ( t ) F( s) f ( t) F( s) δ( t) g( t) s e e αt αt m t g( t) ( m )! sin( ωt) g( t) ( s ) α m ω ( s α ) + ω 2 2 m t g( t) ( m )! sin( ωt) g( t) s m s ω + ω 2 2 e t e αt αt cos( ωt) g( t) sin( ωt) g( t) s α ( s α ) + ω ω( s α) (( s α ) + ω ) cos( ωt) g( t) s s + ω 2 2 t e αt cos( ωt) g( t) ( s α) ω 2 2 (( s α ) + ω ) NOTA: g(t) è il gradino unitario e serve a limitare lo studio a t 0

10 Funzioni di trasferimento RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO &x ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) Y s C si A x C si A B D U s ( ) ( ) = (0) + [ ( ) + ] ( ) Risposta libera Risposta forzata

11 Funzioni di trasferimento RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO (SISO) Y ( s) b s + b s b s + b = [ C( si A) B + D] = n m U ( s) s a s... a s a m m m m 0 n n + n FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (fdt) W(s) Esempio di fdt: Y ( s) 2s + = U s s s 2 ( ) 5 6

12 Funzioni di trasferimento RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO Le radici del numeratore prendono il nome di zeri m Y ( s) bm s + b s b s + b = W ( s) = n m n U ( s) s + a s a s + a m m 0 n n 0 Le radici del denominatore prendono il nome di poli

13 Funzioni di trasferimento FORME DI RAPPRESENTAZIONE Forma polinomiale: m bm s + b s b s + b W ( s) = n m n s + a s + + a s + a m m 0 n n... 0 Forma guadagno-zeri-poli: W ( s) = k m i= n i= ( s z ) i ( s p ) i

14 Funzioni di trasferimento FORME DI RAPPRESENTAZIONE Forma coefficienti e poli: W ( s) = n n i c ij ( s p ) i= j= i j Forma costanti di tempo: W ( s) = k s h i ( τ' s) i i 2 ζ ' 2 ( + s + s ) 2 ω' i ω' i 2ζ 2 ( τ is) ( + s + s ) 2 i i ωi ωi

15 Scomposizione in fratti semplici Per ottenere la risposta nel tempo, antitrasformando la corrispondente trasformata di Laplace, è conveniente utilizzare la rappresentazione coefficienti e poli Negli esercizi numerici si parte solitamente da una rappresentazione polinomiale In particolare, è possibile esprimere la F(s) come una combinazione lineare di termini, detti fratti semplici: ( s p) j

16 Scomposizione in fratti semplici POLI REALI DI MOLTEPLICITA UNITARIA: F( s) = m b s + b s b s + b m m m 0 n n... 0 n s + a s + + a s + a Calcolo dei residui F( s) = n i= s r i p i. r = [( s p ) F( s)] = i i s p i 2. Principio d identità dei polinomi n = i p t f ( t) re g( t) i= i OSSERVAZIONE: residui associati a poli reali sono reali

17 Scomposizione in fratti semplici POLI REALI MULTIPLI F( s) = m m n n bm s + bm s b s + b0, ( ) = i ri j F s n n s + an s as + a 0 i= j = ( s p ) n n ( ) = i j t pit f t ri, j e g( t) ( j )! i= j= Calcolo dei residui. ni j d ( n ) i ri, j = ( s p ) ( ) i F s n i j ( n j)! ds i s= p 2. Principio d identità dei polinomi i i j

18 Scomposizione in fratti semplici POLI COMPLESSI CONIUGATI Generano una risposta oscillatoria il cui inviluppo è determinato dalla parte reale dei poli OSSERVAZIONE: residui associati a poli complessi coniugati sono a loro volta complessi coniugati F( s) ms + n r r * = = + 2 s + as + b s + p jq s + p + jq Si possono calcolare utilizzando la procedura vista per I poli reali di molteplicità unitaria oppure utilizzando SCILAB

19 Scomposizione in fratti semplici POLI COMPLESSI CONIUGATI La risposta nel tempo corrispondente ad una coppia di poli complessi coniugati è data dall espressione: F( s) r r * = + s p jq s p + jq ( ) f ( t) = 2 r e pt cos qt + r g( t) p = parte reale del polo q = parte immaginaria del polo r = modulo del residuo associato al polo r = fase del residuo associato al polo

20 Calcolo della risposta forzata PROBLEMA: dato il sistema &x ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) con A, B, C e D note e tempo-invarianti, DETERMINARE L espressione analitica della risposta del sistema y(t) a fronte di un ingresso u(t) polinomiale OSSERVAZIONE: la risposta per ingressi sinusoidali sarà trattata nella LEZIONE IV

21 Calcolo della risposta forzata SOLUZIONE:. Trasformare la rappresentazione ingresso-stato-uscita in funzione di trasferimento 2. Applicare la trasformata di Laplace alla funzione u(t) 3. Ottenere l uscita del sistema nel dominio di Laplace 4. Scomporre in fratti semplici e antitrasformare, ottenendo la risposta forzata y f (t)

22 Calcolo della risposta forzata. Trasformare la rappresentazione ingresso-stato-uscita in funzione di trasferimento &x ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) b s + b s b s + b W ( s) = [ C( si A) B + D] = n m m m m m 0 n n s + an s as + a0 OSSERVAZIONE: In sede d esame questo passaggio si può svolgere utilizzando il calcolatore (vedi [SCILAB])

23 Calcolo della risposta forzata 2. Applicare la trasformata di Laplace alla funzione u(t) m t u( t) = g( t) t 0 ( m )! U ( s) = s m OSSERVAZIONE: Questo passaggio si può svolgere utilizzando le tavole con le trasformate e antitrasformate di Laplace

24 Calcolo della risposta forzata 3. Ottenere l uscita del sistema nel dominio di Laplace W ( s ) U ( s) Ottenuta al passo Ottenuta al passo 2 Y ( s) = W ( s) U ( s) f

25 Calcolo della risposta forzata 4. Scomporre in fratti semplici e antitrasformare, ottenendo la risposta forzata y(t) Forma polinomiale Forma coefficienti e poli (fratti semplici) Yf ( s) y f ( t) OSSERVAZIONE: Questo passaggio si può svolgere utilizzando il calcolatore (vedi [SCILAB]) o seguendo le indicazioni contenute nelle slide precedenti (SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI)

26 Calcolo della risposta libera La risposta libera si ottiene dal primo addendo della relazione: Y s C si A x C si A B D U s ( ) ( ) = (0) + [ ( ) + ] ( ) Risposta libera Risposta forzata C si A x ( ) (0) Dopo aver ottenuto è necessario antitrasformare per ottenere la risposta libera nel tempo che rappresenta l evoluzione naturale di un sistema senza ingressi a partire dalla condizione iniziale x(0)

27 Calcolo della risposta libera SOLUZIONE: Y s C si A x ( ) = ( ) (0). Calcolare a partire da A, C l e le condizioni iniziali x(0) 2. Scomporre in fratti semplici e antitrasformare, ottenendo la risposta libera y l (t)

28 Calcolo della risposta di un sistema LTI Il calcolo dell espressione analitica della risposta di un sistema lineare tempo-invariante (LTI) a fronte di un ingresso u(t) a partire dalle condizioni iniziali x(0) si ottiene, per linearità, sommando il contributo della risposta libera a quello dovuto alla risposta forzata SOLUZIONE:. Calcolare la risposta forzata y f (t) all ingresso u(t) trascurando l evoluzione libera 2. Calcolare la risposta libera y l (t) trascurando l evoluzione forzata 3. La risposta del sistema si ottiene sommando i due contributi: y( t) = y ( t) + y ( t) f l

29 Esempi ed esercizi numerici