La negazione dell'enunciato di Kelvin-Plank implica la negazione dell'enunciato di Clausius

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1 Equivalenza degli enunciati di Kelvin-Plank e Clausius a negazione dell'enunciato di Kelvin-Plank implica la negazione dell'enunciato di Clausius Negare l'enunciato di Kelvin-Plank significa ammettere che è possibile realizzare una macchina termica che produca lavoro utilizzando una sola sorgente di calore, a temperatura uniforme. Per il primo principio, al completamento di ciascun ciclo, il calore assorbito dalla macchina viene convertito integralmente in lavoro. Questo lavoro può essere utilizzato per far funzionare un vero frigorifero, cioè un frigorifero che estrae calore da una sorgente fredda e, grazie al lavoro esterno, convoglia calore ad una sorgente calda alla stessa temperatura dell'unica sorgente della macchina ipotetica. Si dimostra che la combinazione della macchina che viola l'enunciato di Kelvin-Plank e del frigorifero reale, permette di realizzare un frigorifero che viola l'enunciato di Clausius. Infatti il calore fornito dalla macchina ipotetica può essere utilizzato per far funzionare il frigorifero reale. a temperatura della sorgente fredda va scelta in modo che il frigorifero reale ceda alla sorgente calda la stessa quantità di calore che la macchina ipotetica trasforma in calore. Applicando il primo principio della termodinamica al sistema composto si verifica che, così facendo, la sorgente calda riceve una quantità di calore esattamente uguale a quella fornita della sorgente senza che venga effettuato alcun lavoro dall'esterno. Qui di seguito sono riportati i bilanci energetici ( primo principio) per gli elementi costitutivi della macchina ipotetica, del frigorifero reale e del sistema congiunto. Segue la dimostrazione e la verifica utilizzando quantità numeriche. Macchina formata da: una macchina che viola Kelvin-Plank + frigorifero reale (quindi che funziona secondo le leggi fisiche). Si dimostra che ma macchina totale viola Clausius Macchina ipotetica che viola l'enunciato di Kelvin-Plank: ) sorgente unica a temperatura T, cede calore q (la macchina assorbe calore Q ): q = Q ; per esempio 000J per ciclo. ) Sistema termodinamico: trasforma integralmente i 000J di calore 000J di lavoro: = Q. Frigorifero reale: ) sorgente fredda a temperatura T cede calore al sistema termodinamico q. ) sistema termodinamico: assorbe calore dalla sorgente fredda, = q, utilizza lavoro esterno (il lavoro è positivo quando il sistema compie lavoro verso l esterno, negativo quando il lavoro è compiuto sul sistema) ; cede calore alla sorgente calda a temperatura T, q = Q. bilancio: = Q = Q. 3) sorgente calda: riceve la quantità di calore Q = + Sistema composto dalla macchina ipotetica e dal frigorifero reale: ) sorgente fredda a temperatura T : cede calore al fluido termodinamico, q. ) sistema termodinamico: assorbe calore dalla sorgente fredda, = q ; utilizza il lavoro proveniente dalla macchina ipotetica, = Q, cede calore Q alla sorgente calda a temperatura T

2 bilancio: = Q = Q Q = Q 3) sorgente calda: riceve la quantità di calore Q = Q + in uscita dal sistema; bilancio: Q + Q =. Ovvero la sorgente calda assorbe dal sistema una quantità di calore pari a quella ceduta al sistema dalla sorgente fredda. Il sistema composto si comporta come un frigorifero che assorbe calore dalla sorgente fredda e lo cede alla calda senza che venga eseguito alcun lavoro. Si comporta come un frigorifero che a tutti gli effetti che viola il postulato di Clausius. Il calore fluisce dalla sorgente fredda a quella calda senza altro risultato. q T q q + q = q T Q Q = Q q T q T Fig. 0 Sistema composto dall'ipotetica macchina ad una sola sorgente a temperatura uniforme e da un frigorifero reale. Il sistema è equivalente ad un frigorifero che viola l'enunciato di Clausius. Segni: macchina non kelvin q < 0 la sorgente calda cede calore; Q > 0 il sistema assorbe calore; = Q > 0 il lavoro è compiuto dal sistema; frigorifero reale = Q < 0 il lavoro è compiuto sul sistema; q < 0 la sorgente fredda cede calore; > 0 il sistema assorbe calore; Q < 0 il sistema cede calore; q > 0 la sorgente calda assorbe calore; macchina completa: q + q > 0 il bilancio del calore scambiato dalla sorgente calda è positivo.

3 Dimostrazione numerica a dimostrazione dell'equivalenza è semplicissima, se nel bilancio energetico si usano quantità numeriche (scelte a caso), a dispetto di quanto potrà essere sembrato dalla dimostrazione utilizzante quantità letterali. Macchina ipotetica che viola l'enunciato di Kelvin-Plank: ) sorgente unica a temperatura T, cede calore: per esempio 000J per ciclo (Fig. ). ) Sistema termodinamico: trasforma integralmente i +000J di calore (assorbito dal sistema) in 000J di lavoro. 000J T Q +000J Fig. Macchina che viola l'enunciato di Kelvin-Plank (i segni del calore e del lavoro sono tralasciati perché intuitivi) Frigorifero reale: ) sorgente fredda a temperatura T : cede al sistema termodinamico 300J per ciclo. ) Sistema termodinamico: assorbe calore dalla sorgente fredda, +300J, utilizza lavoro esterno - 000J; cede Q = = 300J alla sorgente calda a temperatura T. 3) sorgente calda: riceve la quantità di calore +300J. +300J T Q 000J +300J T Fig. Frigorifero reale (i segni dei calori e del lavoro sono tralasciati perché intuitivi) Sistema composto dalla macchina ipotetica e dal frigorifero reale: ) sorgente fredda a temperatura T : cede calore al sistema termodinamico, 300J. ) sistema termodinamico: assorbe calore dalla sorgente fredda, 300J ; utilizza il lavoro proveniente dalla macchina ipotetica, 000J, cede calore 300J alla sorgente calda a temperatura T, 3) sorgente calda: riceve la quantità di calore 300J in uscita dal sistema e cede la quantità di calore 000J alla macchina ipotetica; bilancio: 300J 000J = 300J. Il sistema composto si comporta come un frigorifero che estrae calore dalla sorgente fredda e lo cede alla calda senza che venga eseguito alcun lavoro. Esso si comporta a tutti gli effetti come un frigorifero che che viola il postulato di Clausius.

4 000J T +300J +300J T Q +000J 000J 300J T 300J T Fig. 3 Sistema composto dall'ipotetica macchina ad una sola sorgente a temperatura uniforme e da un frigorifero reale. Il sistema è equivalente ad un frigorifero che viola l'enunciato di Clausius. a negazione dell'enunciato di Clausius implica la negazione dell'enunciato di Kelvin-Plank a macchina completa è formata da una macchina che viola l enunciato di Clausius, pertanto è in grado di trasferire calore da una sorgente fredda a una sorgente calda come unico risultato di una trasformazione (senza bisogno di avere lavoro), e da una macchina termica reale (che non viola Kelvin-Plank). q = T q q + q T Q = Q Q q T q 0 T Il sistema termodinamico assorbe con la prima macchina una quantità di calore dalla sorgente fredda (che quindi cede una quantità di calore q ) e successivamente cede la medesima quantità di calore alla sorgente calda (violando Clausius come per ipotesi): la sorgente calda assorbe la quantità di calore. a seconda macchina reale fa assorbire al sistema termodinamico una certa quantità di calore Q da una sorgente calda (che quindi cede q ), compie un lavoro pari a = Q + Q, dove Q il è il calore ceduto dal sistema alla sorgete fredda. a seconda macchina può essere costruita in modo che questo calore ceduto dal sistema alla sorgente fredda sia uguale al calore assorbito dal sistema della prima macchina: Q = q, ovvero il calore q assorbito dalla sorgente fredda dal secondo sistema sia uguale ed opposto al calore ceduto dalla sorgete fredda al primo sistema: q = q. In questo modo, la sorgente fredda scambia un calore totale pari a zero e, quindi, da un punto di vista matematico, è come se non scambiasse affatto calore.

5 a macchina formata da due macchine, una non clausius e una reale è analoga a una macchina termina non kelvin. Quindi, costruire una macchina termica che viola Clausius, produce una macchina termica che viola anche Kelvin-Plank Segni: macchina non calusius q < 0 la sorgente fredda cede calore; > 0 il sistema assorbe calore; Q < 0 il sistema cede calore; q > 0 la sorgente calda assorbe calore; macchina reale: q < 0 la sorgente calda cede calore; Q > 0 il sistema assorbe calore; = Q + Q > 0 il lavoro è compiuto dal sistema; q > 0 la sorgente fredda assorbe calore; Q < 0 il sistema cede calore; macchina completa q + q < 0 il bilancio sulla sorgente calda è negativo, perché la sorgente cede calore; q + q = 0 il bilancio sulla sorgente fredda è nullo, pertanto la sorgente si comporta come se non ci fosse. Dimostrazione numerica +000J T 300J 300J T Q Q 300J 000J T 000J T Fig. 4 Sistema composto dall'ipotetica macchina a due sorgenti che viola l enunciato di Clausius e da una macchina termodinamica reale. Il sistema è equivalente ad una macchina termica che viola l'enunciato di Kelvin-Plank.